保险精算第三章2(精品).ppt

1/25知识回顾知识回顾n生命的分布函数、生存函数、余命、生命的分布函数、生存函数、余命、T的分布函数、的分布函数、T的生的生存函数、概率密度函数存函数、概率密度函数nK(x)、K(x)与与T(x)的关系的关系n死力的定义，计算公式，与生存函数的关系，与死力的定义，计算公式，与生存函数的关系，与T的概率密的概率密度函数的关系。度函数的关系。2/25学习目标学习目标n掌握生命表中生存数的表示方法，含义。掌握生命表中生存数的表示方法，含义。n掌握死亡数，死亡率的含义，计算。掌握死亡数，死亡率的含义，计算。n掌握生存率的含义，计算。掌握生存率的含义，计算。n掌握掌握n n年内生存概率，年内生存概率，n n年内死亡概率的计算公式，年内死亡概率的计算公式，n掌握平均余命或生命期望值的计算。掌握平均余命或生命期望值的计算。n掌握完全平均余命的计算掌握完全平均余命的计算3/253.2生命表生命表n生命表是寿险精算的科学基础生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金它是寿险费率和责任准备金计算的依据，也是寿险成本核算的依据。计算的依据，也是寿险成本核算的依据。n3.2.1生命表的含义：生命表的含义：生命表是根据已往生命表是根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制编制的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表是过去经验的的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表是过去经验的记录，通常用于预测那些将来和过去情况大致相同的未来事记录，通常用于预测那些将来和过去情况大致相同的未来事件件。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族、居住环境等。一般情况下，在设计生命表以往病史、种族、居住环境等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。时，只注重考虑年龄和性别。4/25n生命表可分为：生命表可分为：(1)国民生命表国民生命表。国民生命表是根据全体国。国民生命表是根据全体国民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主要民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主要来源于人口普查的统计资料。来源于人口普查的统计资料。(2)经验生命表经验生命表。经验生命表。经验生命表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验经验)所编制的所编制的生命表。保险公司使用的是经验生命表，主要因为国民生命生命表。保险公司使用的是经验生命表，主要因为国民生命表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择，一般表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择，一般情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同。情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同。n生命表的特点生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）布假定（非参数方法）5/25n3.2.2生命表的内容生命表的内容n在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数，这个数称为个合适的人数，这个数称为基数基数。一般选择。一般选择0岁为初始年龄，岁为初始年龄，并规定此年龄的人数，通常取整数如并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、万、100万、万、1000万万等。等。在生命表中还规定最高年龄，用在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足表示，满足lw+1=0。一般的生命表中都包含以下内容：一般的生命表中都包含以下内容：(1)x:年龄年龄.(2)lx:生存数，是指从初始年龄至满生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。岁尚生存的人数。例：例：l25表示在初始年龄定义的基数中有表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到人活到25岁。岁。1)lx表示自出生至满表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。岁时尚存活人数的期望值。2)lx为连续函数，随年龄为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以增加而递减。但生命表中则以6/25整数年龄表示，在整数年龄表示，在0岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在岁附近死亡率变化较大，从而生存人数在短期内也有显著差异。短期内也有显著差异。3)通常以通常以l0=10 000 000人为基数，表示出生时的人数，若存活人为基数，表示出生时的人数，若存活函数函数s(x)为生存至为生存至x岁时的生存概率，则所有岁时的生存概率，则所有l0人在人在x岁时有岁时有l0*s(x)人仍生存，此即为在人仍生存，此即为在x岁时的所有生存人数岁时的所有生存人数lx，故，故lx=l0*s(x)n(3)dx：死亡数，是指：死亡数，是指x岁的人在一年内死亡的人数岁的人在一年内死亡的人数,即指即指x岁的岁的生存数生存数lx人中，经过人中，经过1年死亡的人数。年死亡的人数。1)dx表示表示x岁的生存人数岁的生存人数lx中，经过整中，经过整1年所死亡的人数，亦即年所死亡的人数，亦即lx中自中自x岁至岁至x+1岁间岁间1年内死亡的人数，称为年内死亡的人数，称为x岁的死亡人数。岁的死亡人数。7/25n例例3.2.1 9292079-9259817=32262(人人)n(4)极限年龄极限年龄,即生命的最高年龄，以即生命的最高年龄，以w表示，表示，lw+1=0.(5)qx:死亡率，表示死亡率，表示x岁的人在岁的人在1年内死亡的概率。年内死亡的概率。1)qx表示表示x岁的人在岁的人在1年内死亡的概率。年内死亡的概率。2)n2)8/25n另：另：9/25(6)px:生存率，表示生存率，表示x岁的人在岁的人在1年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。即到即到x +1岁时仍生存的概率。岁时仍生存的概率。1)px 表示表示x岁的人经过岁的人经过1年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。2)3)（7）npx表示表示x岁的人在岁的人在n年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。10/25意义：意义：(x)在在x+m+n年后仍年后仍生存的概率等于生存的概率等于x在在m年后仍生存的概率，乘以至年后仍生存的概率，乘以至x+m岁时岁时又生存了又生存了n年的概率，因为两者是相依事件，所以要用乘法。年的概率，因为两者是相依事件，所以要用乘法。11/25（8）nqx:x岁的人在岁的人在n年内死亡的概率。如下图年内死亡的概率。如下图12/25（9）m|nqx：x岁的人在岁的人在x+m岁与岁与x+m+n岁的岁的n年内死亡的年内死亡的概率。概率。13/25n如图所示：如图所示：当当n=1时，用时，用m|qx表示表示x岁的人在生存岁的人在生存m年后的那一年年后的那一年(m+1年年)中内死亡的概率。则：中内死亡的概率。则：14/2515/25n(10)ex：平均余命或生命期望值：平均余命或生命期望值1)ex表表示示现现年年x岁岁的的人人尚尚可可再再生生存存若若干干年年的的平平均均数数，即即每每一个到达一个到达x岁的人，今后仍生存的平均年数。岁的人，今后仍生存的平均年数。2)假定死亡者都在年初死亡，则假定死亡者都在年初死亡，则x岁后第岁后第1年全体生存的年全体生存的年数共年数共lx+1年，同理，第年，同理，第2年全体生存年数为年全体生存年数为lx+2年。依此类年。依此类推，此推，此x岁的人的总生存年数为岁的人的总生存年数为16/25n但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年但事实上这一现象并不合理，因为不可能所有的人都在年初死亡，于是假定初死亡，于是假定1年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于年内死亡人数呈均匀分布，或可假定于年中死去，即每人应该比年初死亡多活半年，年中死去，即每人应该比年初死亡多活半年，所以定义，所以定义，并称此为并称此为完全平均余命或完全完全平均余命或完全生命期望值生命期望值。n例例3.2.4下表为某个生命表的一部分下表为某个生命表的一部分17/2518/25n根据这部分生命表，我们可以算出各种有用的概率。例如，根据这部分生命表，我们可以算出各种有用的概率。例如，查表可得查表可得34岁的人在岁的人在35岁以前死亡的概率为岁以前死亡的概率为q34=0.00150n34岁的人在岁的人在35岁仍活着的概率为岁仍活着的概率为p34=1-q34=0.99850n两年后仍活着的概率为两年后仍活着的概率为2p34=p34*p35=p34*(1-q35)=0.99691n在两年内死亡的概率为在两年内死亡的概率为2q34=1-2p34=0.00309n在在36岁岁37岁之间死亡的概率为岁之间死亡的概率为2|q34=2p34*q36=0.00169n例例3.2.5已知已知20岁的生存人数为岁的生存人数为1000人，人，21岁的生存人数岁的生存人数为为998人，人，22岁的生存人数为岁的生存人数为992人。试求人。试求20岁的人在岁的人在2l岁那岁那年死亡的概率年死亡的概率1|q20n(0.06)19/25n例例3.2.6已知已知40岁的死亡率为岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为岁的死亡率为0.06，而而42岁的人生存至岁的人生存至43岁的概率为岁的概率为0.92。如果。如果40岁生存人数为岁生存人数为100人，求人，求43岁时的生存人数。岁时的生存人数。n83.0208(人人)n(11)n完全平均余命完全平均余命是随机变量的数学期望，即：是随机变量的数学期望，即：20/25n(3.2.11)式的证明过程：式的证明过程：注意注意，因为，因为t 大于一定年数之后大于一定年数之后等于零等于零21/25取整平均余命是取整余命取整平均余命是取整余命K(x)的数学期望，记为的数学期望，记为ex，即，即(3.2.12)(3.2.13)(3.2.14)22/2523/25知识小结知识小结n生命表中生存数的表示方法，含义。生命表中生存数的表示方法，含义。n死亡数，死亡率的含义，计算。死亡数，死亡率的含义，计算。n生存率的含义，计算。生存率的含义，计算。nn n年内生存概率，年内生存概率，n n年内死亡概率的计算公式，理解年内死亡概率的计算公式，理解n平均余命或生命期望值的计算。平均余命或生命期望值的计算。n完全平均余命的计算完全平均余命的计算24/25练习题：练习题：n1.给出生存函数给出生存函数，求：，求：(1)人在人在50岁岁60岁之间死亡的概率。岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在岁的人在60岁以前死亡的概率。岁以前死亡的概率。(3)人能活到人能活到70岁的概率。岁的概率。(4)50岁的人能活到岁的人能活到70岁的概率。岁的概率。n2.已知已知求求n3.已知已知25/25练习题：练习题：n4.设某群体的初始人数为设某群体的初始人数为3000人，人，20年内的预期死亡人数为年内的预期死亡人数为240人，第人，第21年和第年和第22年的死亡人数分别为年的死亡人数分别为15人和人和18人。求生人。求生存函数存函数s(x)在在20岁、岁、21岁和岁和22岁的值。岁的值。n5.如果如果若若则则在该生命表中在该生命表中1岁到岁到4岁之间的死亡人数为岁之间的死亡人数为()A.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.56n6.已知已知20岁的生存人数岁的生存人数1000人，人，21岁的生存人数为岁的生存人数为998人，人，22岁的生存人数为岁的生存人数为992人，则人，则为为()A.0.008B.0.007C.0.006D.0.005