2.1.2演绎推理 (3)(精品).ppt

2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.12.1.1合情推理合情推理著著名名猜猜想想哥德巴赫哥德巴赫:德国数学家。德国数学家。17421742年年6 6月月7 7日，他在写日，他在写给著名数学家欧拉的一给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大封信中，提出了两个大胆的猜想：胆的猜想：一、一、任何不小于任何不小于6 6的偶数，的偶数，都是两个奇质数之和都是两个奇质数之和;二、二、任何不小于任何不小于9 9的奇数，的奇数，都是都是3 3个奇质数之和。个奇质数之和。这就是数学史上著名的这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。据说歌德巴赫无意中观察到据说歌德巴赫无意中观察到:3+7=10,3+17=20,13+17=30 3+7=10,3+17=20,13+17=30大胆猜想大胆猜想:任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数的偶数,都等于都等于两个奇质数之和两个奇质数之和10,20,3010,20,30都是偶数都是偶数,都可以表示成都可以表示成:其它偶数呢其它偶数呢其它偶数呢其它偶数呢?,?,?,?,6=3+3,8=3+5 12=5+76=3+3,8=3+5 12=5+714=7+7 16=5+11 14=7+7 16=5+11 1000=29+9711000=29+9711002=139+8631002=139+863他有意把上面的式子改成他有意把上面的式子改成:10=3+7,20=3+17,20=13+17 10=3+7,20=3+17,20=13+17奇质数奇质数奇质数奇质数+奇质数奇质数奇质数奇质数哥德巴赫提出猜想的推理过程哥德巴赫提出猜想的推理过程:通过一些偶数发现一个共同性质通过一些偶数发现一个共同性质.验证其它的偶数也有这个性质验证其它的偶数也有这个性质,而且没有出现反例而且没有出现反例,于是提出猜想于是提出猜想.这种由某类事物的部分对象具有某些特征这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由或者由个别个别事实事实概括出概括出一般结论一般结论的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).归纳推理归纳推理是由是由部分部分到到整体整体,由由个别个别到到一般一般.例如例如:1:1、由铜、铁、铝、金、银等金属能导电、由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,归纳出归纳出:一切金属都能导电一切金属都能导电.2 2、由、由RtRt、等腰、等腰、等边、等边的内角和为的内角和为180180,归纳出归纳出:所有三角形的内角和为所有三角形的内角和为180180.再看再看两个两个例子例子 1 1 1 1、蛇是用肺呼吸的、蛇是用肺呼吸的、蛇是用肺呼吸的、蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的,蛇蛇蛇蛇,鳄鱼鳄鱼鳄鱼鳄鱼,海龟海龟海龟海龟,蜥蜴都是爬行动物蜥蜴都是爬行动物蜥蜴都是爬行动物蜥蜴都是爬行动物,结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。猜想猜想(mm为正实数为正实数为正实数为正实数)2、由上述具体事实能得出怎样的结论由上述具体事实能得出怎样的结论?1+3=4=21+3=4=22 21+3+5=9=31+3+5=9=32 21+3+5+7=16=41+3+5+7=16=42 21+3+5+7+9=25=51+3+5+7+9=25=52 2 猜想猜想:前前n个连续的奇数的和等于个连续的奇数的和等于n的平方的平方,即即:1+3+5+(2n-1)=n2应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。例例1:观察下列各组数据：观察下列各组数据：观察下列各组数据：观察下列各组数据：例例例例2.2.已知数列已知数列已知数列已知数列 a an n 的第的第的第的第1 1项项项项a a1 1=1=1，且，且，且，且（n n=1,2,)=1,2,)，试归纳出这个数列的通项公式。，试归纳出这个数列的通项公式。，试归纳出这个数列的通项公式。，试归纳出这个数列的通项公式。解：分别把解：分别把解：分别把解：分别把n=1,2,3,4 n=1,2,3,4 代入代入代入代入 得得得得:归纳归纳归纳归纳:在创造发明中，在创造发明中，人们经常应用人们经常应用类比类比工匠鲁班工匠鲁班类比类比带齿带齿的草叶和蝗虫的牙的草叶和蝗虫的牙齿齿,发明了锯发明了锯观察与思考观察与思考观察与思考观察与思考探究探究1 1：火星上是否有生命？：火星上是否有生命？地球地球 火星火星行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转有大气层有大气层一年中有四季的变更一年中有四季的变更温度适合生物的生存温度适合生物的生存有生命的存在有生命的存在 地球地球 火星火星行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转有大气层有大气层有大气层有大气层一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更温度适合生物的生存温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存上某些已知生物的生存有生命的存在有生命的存在 地球地球 火星火星行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转有大气层有大气层有大气层有大气层一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更温度适合生物的生存温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存上某些已知生物的生存有生命的存在有生命的存在可能有生命存在可能有生命存在 由两类对象具有某些类似特征和其中一类由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理叫做这些特征的推理叫做类比推理类比推理.(.(简称类比简称类比)类比推理是有类比推理是有特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2探究：利用圆的性质类比得出球的性质探究：利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：平面平面空间空间正方形正方形正方体正方体圆圆球球三角形三角形三棱锥（四面体）三棱锥（四面体）等边三角形等边三角形正四面体正四面体线线面面例例3 3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:OAOA、OBOB、OCOC两两两两垂直垂直 归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有的事实，经过观都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理（合乎情合情推理（合乎情理的推理）理的推理）合情推理的推理过程：合情推理的推理过程：从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出猜想提出猜想 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个结论之前，常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个结论之前，合情推理合情推理 常常能为我们提供证明的思路与方向。常常能为我们提供证明的思路与方向。例例4:4:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规如图有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。把金属片从一根针上全部移到另一根针上。1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片;2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?1 1 1 12 2 2 23 3 3 3解解解解;设设设设a a a an n n n表示移动表示移动表示移动表示移动n n n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当当当n=1n=1n=1n=1时时时时,a,a,a,a1 1 1 1=1=1=1=1当当当当n=2n=2n=2n=2时时时时,a,a,a,a2 2 2 2=3 3 3 3当当当当n=1n=1n=1n=1时时时时,a,a,a,a1 1 1 1=1=1=1=1当当当当n=2n=2n=2n=2时时时时,a,a,a,a2 2 2 2=3 3 3 3解解解解;设设设设a a a an n n n表示移动表示移动表示移动表示移动n n n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当当当n n=3=3=3=3时时时时,a,a,a,a3 3 3 3=7 7 7 7当当当当n=4n=4n=4n=4时时时时,a,a,a,a4 4 4 4=15151515猜想猜想猜想猜想 a a a an n n n=2 2 2 2 2 2n n n n n n-1-1-1-1-1-11 1 1 12 2 2 23 3 3 3一般地，有合情推理得到的结论，仅仅是一一般地，有合情推理得到的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。种猜想，未必可靠。2 2、在正三角形内任意一点、在正三角形内任意一点P P到三边距离之和到三边距离之和等于正三角形的一条高等于正三角形的一条高,类比在正四面体中类比在正四面体中,则有则有练习练习1、课本第、课本第77页练习页练习2回答：（回答：（1）第行的倒数第个数是）第行的倒数第个数是_,倒数第个数是倒数第个数是_ （2）设第）设第n（n2）行的第三个数为）行的第三个数为an，则则an=_2 2、在正三角形内任意一点、在正三角形内任意一点P P到三边距离之和到三边距离之和等于正三角形的一条高等于正三角形的一条高,类比在正四面体中类比在正四面体中,则有则有在正四面体内任意一点在正四面体内任意一点P P到四面距离之和等到四面距离之和等于正四面体的一条高于正四面体的一条高.练习练习1、课本第、课本第77页练习页练习2回答：（回答：（1）第行的倒数第个数是）第行的倒数第个数是_,倒数第个数是倒数第个数是_ （2）设第）设第n（n2）行的第三个数为）行的第三个数为an，则则an=_3 3、计算机中常用的十六进位制是逢进、计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字的计算制，采用数字-和字母和字母-共共个计数符号，这些符号与十进制的数的个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用进位制表示例如用进位制表示+，则，则（）（）十六进位十六进位十进位十进位E E（1 1 1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。该结论超越了前提所包容的范围。该结论超越了前提所包容的范围。该结论超越了前提所包容的范围。该结论超越了前提所包容的范围。该结论超越了前提所包容的范围。（2 2 2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。（3 3 3）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过）归纳推理是一种具有创造性的推理。通过 归纳法得到的猜想，可以作为进归纳法得到的猜想，可以作为进归纳法得到的猜想，可以作为进归纳法得到的猜想，可以作为进归纳法得到的猜想，可以作为进归纳法得到的猜想，可以作为进 一步研究一步研究一步研究一步研究一步研究一步研究 的起点，帮助人们发现问题和提出问题。的起点，帮助人们发现问题和提出问题。的起点，帮助人们发现问题和提出问题。的起点，帮助人们发现问题和提出问题。的起点，帮助人们发现问题和提出问题。的起点，帮助人们发现问题和提出问题。归纳推理的特点：归纳推理的特点：一般一般特殊特殊类比推理的几个特点：类比推理的几个特点：1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础,类比类比出新的结果出新的结果.2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发但它却有发现的功能现的功能.特殊特殊特殊特殊2.1.2 演绎推理演绎推理 我们常以某些一般的判断为前提，得出一我们常以某些一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断些个别的、具体的判断。例如：。例如：（1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；以铀能够导电；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，而冥王星是太阳系的大行星，因此冥王运行，而冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；星以椭圆形轨道绕太阳运行；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是）在一个标准大气压下，水的沸点是1000C，所以在一个标准大气压下把水加热到，所以在一个标准大气压下把水加热到1000C时，水会沸腾；时，水会沸腾；（4）一切奇数都不能被）一切奇数都不能被2整除，（整除，（2100+1）是奇数，所以（是奇数，所以（2100+1）不能被）不能被2整除；整除；演绎推理的定义：演绎推理的定义：上面列举的推理都是上面列举的推理都是从一般性的原理出从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这，我们把这种推理称为种推理称为演绎推理演绎推理。简而言之，简而言之，演绎推理演绎推理是是由一般到特殊的推理由一般到特殊的推理。演绎推理的定义：演绎推理的定义：（6）“两条直线平行，同旁内角互补两条直线平行，同旁内角互补”。如。如果果 A与与 B是两条平行直线的同旁内角，那是两条平行直线的同旁内角，那么么 A+B=1800。（5）三角函数都是周期函数，而）三角函数都是周期函数，而tan是三角是三角函数，因此函数，因此tan是周期函数；是周期函数；上面列举的演绎推理的例子都有三段，称为上面列举的演绎推理的例子都有三段，称为“三段论三段论”。其中第一段称为其中第一段称为其中第一段称为其中第一段称为“大前提大前提大前提大前提”，讲的是，讲的是，讲的是，讲的是一般的原理一般的原理一般的原理一般的原理；第二段称为第二段称为第二段称为第二段称为“小前提小前提小前提小前提”，指的是，指的是，指的是，指的是一种特殊情况一种特殊情况一种特殊情况一种特殊情况；第；第；第；第三段称为三段称为三段称为三段称为“结论结论结论结论”，是，是，是，是所得到的结论所得到的结论所得到的结论所得到的结论。“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：（1 1）大前提）大前提）大前提）大前提已知的一般的原理；已知的一般的原理；已知的一般的原理；已知的一般的原理；（2 2）小前提）小前提）小前提）小前提所研究的种特殊情况；所研究的种特殊情况；所研究的种特殊情况；所研究的种特殊情况；（3 3）结论）结论）结论）结论根据一般原理，对特殊情况做出的判根据一般原理，对特殊情况做出的判根据一般原理，对特殊情况做出的判根据一般原理，对特殊情况做出的判断。断。断。断。数学上的证明主要通过演绎推理来进行的，我们来看一个例子。数学上的证明主要通过演绎推理来进行的，我们来看一个例子。（1）因为）因为有一个内角是直角的三角形有一个内角是直角的三角形是是直角三角形直角三角形，在在 ABD中，中，AD BC，即，即 ADB=900，所以所以 ABD是是直角三角形直角三角形。同理同理 ABE是直角三角形。是直角三角形。（2）因为直角的三角形斜边上的中线等于斜边的一半，）因为直角的三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而而M是是Rt ABD斜边斜边AB的中点，的中点，DM是斜边上的中线，是斜边上的中线，大前提大前提大前提大前提小前提小前提小前提小前提结论结论结论结论大前提大前提大前提大前提小前提小前提小前提小前提结论结论结论结论所以所以DM=AB。同理同理EM=AB。所以，所以，DM=EM。例例1.如图所示，在锐角三角形如图所示，在锐角三角形ABC中，中，AD BC，BE AC，D，E是垂足。求证：是垂足。求证：AB的中点的中点M到到D，E的距离相等。的距离相等。AMBCDE证明：证明：“三段论三段论”可以表述为可以表述为大前提：大前提：大前提：大前提：MM是是是是P P。小前提：小前提：小前提：小前提：S S是是是是MM。结结结结 论：论：论：论：S S是是是是P P。“三段论三段论三段论三段论”可以表述为可以表述为可以表述为可以表述为大前提：大前提：M P。小前提：小前提：S M。结结 论：论：S P。思考：思考：P81 合情推理与演绎推理的主要区别是什么？合情推理与演绎推理的主要区别是什么？从形式看：从形式看：从结论看：从结论看：合情推理合情推理合情推理合情推理：归纳归纳归纳归纳是由部分到整体、个别到一般的推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比类比类比类比是由特殊到特殊的推理是由特殊到特殊的推理。演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理是由一般到特殊的推理。合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。论一定正确。就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。要学会猜想。从作用看：从作用看：