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第第 9 9 章章梁的变形与刚度设计梁的变形与刚度设计DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONSDESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS一。一。弯曲变形概念弯曲变形概念 O OPyxv受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平面曲线。梁弯曲后的轴线称为面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线挠曲线。梁截面有沿垂直方向的线位移梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为，称为挠度挠度；相对于原截面转过的角位移；相对于原截面转过的角位移，称为，称为转角转角 挠挠曲曲线线是一条是一条连续连续光滑平面曲光滑平面曲线线，其方程是，其方程是挠度挠度v截面形心在坐标截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；坐标轴正负相符；转转角角横截面横截面绕绕中性中性轴转过轴转过的角度，其正的角度，其正负负号，逆号，逆时针为时针为正，正，顺时针为负顺时针为负，在小，在小变变形形情况下，有情况下，有 二。二。挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程对梁，有：对梁，有：对平面曲线，有关系式：对平面曲线，有关系式：由上两式可得：由上两式可得：考虑到弯矩考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系的符号与挠曲线凸向之间的关系 M M00v v00 x xy yM M00v v0b时时，最大，最大挠挠度度发发生在生在AC段，可求得段，可求得则则最大最大挠挠度度为为四。计算弯曲变形的叠加法四。计算弯曲变形的叠加法在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和（代数和或矢量和）。这就是的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理叠加原理。例例9-2用叠加法求用叠加法求图图示外伸梁的示外伸梁的C和和vC，梁的抗弯，梁的抗弯刚刚度是度是EI。aBACaq qaM M=qa=qa2 2P P=qa=qa解解 使用叠加使用叠加积积分法求分法求转转角和角和挠挠度。度。(a)将梁上的将梁上的载载荷分解荷分解为为三种三种简单载简单载荷荷单单独作用的情形。独作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)(b)而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)BACaqaaqa(32)BACaaaqa2/2(c)应用挠度表确定三种下，梁应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。点处的转角和挠度。查表：查表：而而对对第三种情形下二种第三种情形下二种载载荷荷单单独作用下，独作用下，应应用叠加法用叠加法进进行叠加。行叠加。(d)应应用叠加法，将用叠加法，将三种情形下三种情形下转转角和角和挠挠度叠加。度叠加。五。梁的刚度条件与合理刚度设计五。梁的刚度条件与合理刚度设计 1.梁的梁的刚刚度条件度条件指梁的最大指梁的最大挠挠度和最大度和最大转转角不能超角不能超过许过许可可值值，即，即 弯曲构件的弯曲构件的刚刚度条件。度条件。2 刚度的合理设计刚度的合理设计对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。BAP=3.5 kNC500500q=1.035 kNm例例9-3。简简化化电电机机轴轴的尺寸和的尺寸和载载荷如荷如图图所示，已知所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子与，定子与转转子的子的许许用用间间隙隙=0.35mm；校核；校核轴轴的的刚刚度。度。解解(a)用叠加法求梁的最大用叠加法求梁的最大挠挠度度(b)刚刚度校核度校核轴轴的的刚刚度足度足够够。3 提高梁的弯曲刚度的措施提高梁的弯曲刚度的措施由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：可采用如下一些措施：1）.选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2）.调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；力分散成分布力；3）.减小梁的跨度；增加支承约束；减小梁的跨度；增加支承约束；其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的。转角的。六。六。简单静不定梁简单静不定梁求解简单静不定梁。首先，根据静不定次数选取静不定梁的基本结构。解除多余约束求解简单静不定梁。首先，根据静不定次数选取静不定梁的基本结构。解除多余约束(个数与静不定次数相同个数与静不定次数相同)，用多余约束力来代替，得到静不定梁的基本结构，用多余约束力来代替，得到静不定梁的基本结构 C CB BA AP PC CB BA AP PR RC C其次，找出变形几何关系，即多余约束处梁的变形应满足的条件其次，找出变形几何关系，即多余约束处梁的变形应满足的条件，求出多余约束处，求出多余约束处的变形，由此得到补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力的变形，由此得到补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力，lCl/2BDA例例9-4。图图示杆系中，示杆系中，AB和和CD梁的抗弯梁的抗弯为为EI，BD杆的拉杆的拉压刚压刚度是度是EA，不，不计计剪切剪切变变形的影响，求形的影响，求BD杆的内力。杆的内力。解解(a)确定静不定梁的基本确定静不定梁的基本结结构构 取取D为为多余多余约约束束C CB BD DA AR RD DRRD DD D(1)(1)(2(2)(b)求求变变形几何关系形几何关系(c)求物理关系求物理关系(d)补补充方程充方程(e)求求BD杆的内力杆的内力；