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测量程序设计第四讲 线性方程组与最小二乘法成都理工大学地球科学学院测绘工程系测绘工程专业主讲教师：杨容浩联系电话：13683470591电子邮箱：一、线性方程组及其求解方法概述二、一般线性方程组求解第四讲 线性方程组与最小二乘法4.1 线性方程组及其求解方法概述线性方程组的一般形式：（1）当m=n时，若A非奇异，则线性方程组有唯 一解，否则，有无穷多组解；（2）当mn时，若A的秩tr(A)=n，则线性方程组有唯 一 解；若tr(A)n，方程 不存在精确解，可以求得近似解。4.1 线性方程组及其求解方法概述（1）当tr(A)=n时，A非奇异 直接法直接法：将结构上比较复杂的原始方程组，通过等价变换化成结构简单的方程组，使之变成易于求解的形式，然后再通过求解结构简单的方程组来得到原始方程组的解。通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法。（G通常是对角矩阵、三角矩阵或者一些简单结构的矩阵。）间接法间接法：把原方程组改写成一个等价方程组，对这个等价方程组建立迭代格式。是用某种极限过程去逐次逼近方程组解的方法。4.1 线性方程组及其求解方法概述（2）当tr(A)n时无法求解精确解，只能求解近似解。最小二乘解最小二乘解：指当方程组无法求得精确解，而以欧式距离下最接近的解作为近似，所求得的解。最小二乘的正规方程：为最小二乘解。4.2 一般线性方程组求解（1）高斯消元法对于线性方程组，写成分量形式为若记则有4.2 一般线性方程组求解（1）高斯消元法第一次消元第一次消元：设由第2,3，n个方程减去第一个方程乘以则有其中，消除第一个未知数x1后，与原方程组同解的方程组4.2 一般线性方程组求解（1）高斯消元法第二次消元第二次消元：设由第3,4，n个方程减去第二个方程乘以则有消除第二个未知数x2后，与原方程组同解的方程组其中，4.2 一般线性方程组求解（1）高斯消元法继续前述过程，经过n-1次消元后，得到与原方程组同解的方程组其中，4.2 一般线性方程组求解（1）高斯消元法通过回代过程，可以求得每一个未知数的值：高斯消元法总的计算量约为 高斯消元法始终假设主元若则消元过程无法进行；实际上，即使但很小时，用它作除数对计算结果也是很不利的。4.2 一般线性方程组求解（2）全选主元高斯消元法对于如下所示的方程组，有性质：任意交换线性方程组两行系数和常量，线性方程 组解不变；任意交换线性方程组两列，并同时交换与列号对 应的未知数的位置，线性方程组解不变；线性方程组一行系数加上另一行系数的m倍（m 为非零实数），线性方程组解不变。4.2 一般线性方程组求解（2）全选主元高斯消元法输 入：方程组系数矩阵A（1:n,1:n），常量数组b1:n。输 出：方程组系数上三角矩阵A（1:n,1:n），列交换记录 数组T（1:n）。过程名：CPGElimination(A,b)begin T（1:n）1:n;for k=1:n-1 begin 确定满足kn和kn，使得|A(,)|=maxA(i,j)|i=k:n,j=k:n A(k,1:n)A(,1:n);A(1:n,k)A(1:n,);T(k)T();if A(k,k)0 begin for i=k+1:n begin m=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:n A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);end end end end