(精品)线性代数课件第一章行列式.ppt
教材：教材：线性代数 吴天毅等吴天毅等 主编主编 南开大学出版社南开大学出版社教案作者：韩会磊教案作者：韩会磊第一章第一章 行列式行列式 行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则主要内容：主要内容：行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开11 11 行列式定义行列式定义用消元法解二元用消元法解二元一次方程组：一次方程组：一、一、二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式 分母为分母为的系数交叉相乘相减：的系数交叉相乘相减：定义定义二阶行列式二阶行列式：主对角线主对角线元素元素图示记忆法图示记忆法例例用消元法解三元线性方程组用消元法解三元线性方程组：可得可得的的分母为分母为(若不为零）：若不为零）：定义定义三阶行列式三阶行列式：图示记忆法图示记忆法例例 解解例例 计算三阶行列式的例子：计算三阶行列式的例子：对于数码对于数码 is 和和 it：逆序数逆序数：一个排列中逆序的个数，：一个排列中逆序的个数，例例 求求 132、436512 的逆序数的逆序数解解逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，n 阶阶（级级）排列排列：由：由n个不同的数码个不同的数码1,2,n组成的有序数组组成的有序数组132 是奇排列，是奇排列，436512 是偶排列。是偶排列。但但 312是偶排列，是偶排列，634512、436521是奇排列。是奇排列。（二）（二）排列与逆序数排列与逆序数大前大前小后小后叫叫逆序逆序(反序反序)记为：记为：为奇数的称为为奇数的称为奇排列奇排列。可见：可见：交换任何两个元素（交换任何两个元素（对换对换）改变了排列的奇偶性！）改变了排列的奇偶性！再再分析分析P.5的表的表1-1排列排列1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1逆逆 序序无无322121，3131，32 32，31，21逆逆 序序 数数011223奇偶性奇偶性偶偶偶偶偶偶奇奇奇奇奇奇 一个对换改变排列的奇偶性；一个对换改变排列的奇偶性；3!个排列中，奇、偶排列各占一半。个排列中，奇、偶排列各占一半。定理定理1 1 对换对换改变排列的奇偶性。改变排列的奇偶性。证证（1）设元素）设元素 i,j 相邻：相邻：若若 ij,则新排列则新排列减少减少一个逆序。一个逆序。改变了奇偶性改变了奇偶性（2）设元素）设元素 i,j 不相邻：不相邻：共共作了作了2s+1次相邻对换，次相邻对换，由（由（1）知，排列改变了奇偶性。）知，排列改变了奇偶性。定理定理2 2 n 个数码构成个数码构成 n!个个n 级排列，级排列，奇奇偶偶排列各占一半（排列各占一半（n!/2 个）。个）。证证设有设有p p 个个奇奇排列，排列，q q 个个偶偶排列，排列，p 个个奇奇排列排列p 个个偶偶排列排列q 个个偶偶排列排列q 个个奇奇排列排列（三）三）n n 阶行列式定义阶行列式定义2 阶：阶：3 阶：阶：n 阶：阶：1 阶：阶：几种特殊行列式：几种特殊行列式：例例 解解 由定义由定义，只有只有左下三角形行列式左下三角形行列式右上三角形行列式右上三角形行列式等于等于对角线上元素之乘积对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：类似可得：特别：特别：对角形行列式对角形行列式等于等于对角线上元素之乘积对角线上元素之乘积(P.10)OO例例的的一般项还可记为一般项还可记为或（定理或（定理1.3）(P.10)列标列标按自然顺序排列按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示阶行列式的另外两种表示(证明略）证明略）：例例下列元素之积是否为四阶行列式的项？下列元素之积是否为四阶行列式的项？否否，因为第二行有两个元素；，因为第二行有两个元素；是是，因为四个元素取自不同行不同列，因为四个元素取自不同行不同列，例例 解解 1.2 行列式的性质行列式的性质复习：复习：定义：定义：的的转置行列式转置行列式行变列，列变行行变列，列变行例例证证D的一般项的一般项：它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转置中位于不同的列不同的行所以这置中位于不同的列不同的行所以这n个元素的乘积在个元素的乘积在的转置中应为的转置中应为性质性质1 1所以所以由此性质也知：由此性质也知：行具有的性质列也同样具有行具有的性质列也同样具有性质性质2 2交换行列式的两交换行列式的两行行（列列）,行列式反号。行列式反号。证证D的一般项的一般项：交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，即行标排列中，即行标排列中，i和和s作了对换，作了对换，改变了排列的奇偶性，改变了排列的奇偶性，故反号故反号。推论：推论：n 阶行列式某阶行列式某两行两行（列列）对应元素全相等对应元素全相等，则行列式等于零。则行列式等于零。证证性质性质3 3证证记记左边的行列式为左边的行列式为D1,有有注：注：该性质对列也成立。该性质对列也成立。推论：推论：n 阶行列式某阶行列式某两行两行（列列）对应元成比例对应元成比例，则行列式等于零。则行列式等于零。证证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，由由前面的推论知行列式为零。前面的推论知行列式为零。性质性质4 4 注：注：该性质该性质对列也成立对列也成立。证证左边行列式的一般项为：左边行列式的一般项为：可推广到可推广到 m 个数的情形。个数的情形。性质性质5（保值变换保值变换）证证成比例成比例例例 计算行列式计算行列式思路思路：用保值变换化成三角形行列式：用保值变换化成三角形行列式将将过程记在行列式符号的右边，用过程记在行列式符号的右边，用“箭头箭头”表示。表示。解解为对称行列式对称行列式例例为反对称行列式反对称行列式例例是是反对称行列式反对称行列式不是不是反对称行列式反对称行列式两个重要概念两个重要概念例例 证明证明奇数阶奇数阶反对称行列式的值为零反对称行列式的值为零。证证当当n为为奇数时有奇数时有 用性质计算行列式用性质计算行列式=9一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。关于范德蒙行列式注意以下三点1.形式形式:按升幂排列按升幂排列,幂指数成等差数列幂指数成等差数列.2.结果结果:可为正可为负可为零可为正可为负可为零.3.共共n(n-1)/2项的乘积项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？例：例：1.3余子式余子式n-1阶行列式阶行列式Aij=(-1)i+j Mijaij 的的 代数余子式代数余子式（一）一）按某一行（列）展开按某一行（列）展开定理定理4 4 按行按行展开展开按按列展开列展开即：即：D 等于第等于第 i 行（行（列列）元素）元素与与对应的代数余子式相乘相加。对应的代数余子式相乘相加。证证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）(3)四阶行列式按第三行展开的结果四阶行列式按第三行展开的结果n阶行列式按第阶行列式按第i行展开：行展开：例例2 计算行列式计算行列式解解 按第三列展开按第三列展开其中：其中：所以所以解解2按按第二行第二行展开展开按按第一列第一列展开展开例例 讨论当为何值时讨论当为何值时解解所以，当所以，当例例4 求证求证证证按第按第1列列展开展开n-1阶阶即即：第第 i 行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理定理5 5 证证0=i 行s 行综合定理综合定理4，定理，定理5对于对于行行：对于对于列列：1.4其其解：解：记记系数行列式系数行列式讨论讨论 n 个方程、个方程、n 个未知量个未知量的的线性方程组线性方程组的解的解一、一、非齐次非齐次线性方程组线性方程组系数行列式：系数行列式：用用常数项列替换常数项列替换 D 的第的第 j 列，其余列不变。列，其余列不变。记记6911定理定理5 5（克莱姆法则克莱姆法则）对于方程组（对于方程组（1），若），若有有唯一解，且唯一解，且证明思路：证明思路：1 验证验证满足各方程（存在性）；满足各方程（存在性）；2 （1）的）的 解定能表成形式解定能表成形式（唯一性）。唯一性）。所用结果：所用结果：证证1 将将 Dj 按按第第 j 列展开列展开代入第代入第1个方程的左端个方程的左端将将4左左（证证b1)()D按第按第1行展开行展开00满足第满足第1个方程个方程类似验证第类似验证第2，n个方程也满足。个方程也满足。是是方程组（方程组（1）的解。）的解。2 由由1知，（知，（1）有解，）有解，a11x1+a12x2a1nxn+=b1a21x1+a22x2a2nxn+=b2an1x1+an2x2annxn+=bn用用D的的第第j列列元素元素的代的代数余数余子式子式乘两乘两边边AnjA2jA1jA1j这证明了（这证明了（1）有解）有解。A1jA1jA2jA2jA2jAnjAnjAnj对应对应相加相加整理整理由由定理定理4和定理和定理5证毕证毕例例二、二、齐次齐次线性方程组线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解一定有解（零解（零解 xj=0)，现在讨论在什么条件下现在讨论在什么条件下有非零解有非零解。定理定理6证证2 由由1可得。可得。例例 定理定理7
