广东省惠州市华罗庚中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷含答案.pdf
试卷第 1页，共 4页惠州市华罗庚中学惠州市华罗庚中学 2022-2023 学年度第二学期学年度第二学期 3 月月考高二数学试题月月考高二数学试题2023 年 3 月2023 年 3 月试卷分数：试卷分数：150 分考试时间：分考试时间：120 分钟分钟一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分）一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分）1已知2i10iz，则z（）A24i B42i C24i D42i2二项式621axx的展开式的常数项为 60，则a的值为（）A2B2C2D33已知函数1()elnxf xxx，则 1f（）A0B1CeD24已知na为等比数列,472aa,568a a ,则110aa（）A7B5C5D75“(1)(2)0 xx”是“102xx”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分非必要条件6 已知三条直线2310 xy，4350 xy，10mxy 不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A4 2,3 3B4 2 4,3 3 3C42,33D42 2,33 37已知多项选择题的四个选项A、B、C、D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）A12B310C16D3118若一个三棱锥的底面是斜边长为2 3的等腰直角三角形，三条侧棱长均为2 3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A4B4 3C8D16二、多项选择题（本题共 4 小题，共 20 分。每题的四个选项中，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）二、多项选择题（本题共 4 小题，共 20 分。每题的四个选项中，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）9已知数列 na的前 n 项和为nS，21nSnan，则（）A na是等差数列B na不是等差数列C 若 nS是递增数列，则 a 的取值范围是 2,)D 若 nS是递增数列，则 a 的取值范围是(3,)试卷第 2页，共 4页10点P在圆221:1Cxy上，点Q在圆222:68240Cxyxy上，则（）A|PQ的最小值为 3B|PQ的最大值为 7C两个圆心所在的直线斜率为43D两个圆相交弦所在直线的方程为68250 xy11设函数 sin 2fxx，已知 fx在0,2上有且仅有 1 个极大值点，则下列四个结论中正确的有（）A fx在0,2内有 5 个零点B fx在0,2有 2 个极小值点C fx在0,10上单调递增D可以取21220222202201220221axaa xa xax，若18088a ，则下列结论正确的有（）A4a B202201220223aaaa C二项式系数的和为20222D202212220220222aaa三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分）13计算：4355AC_.14曲线 y2lnx 在点(1，0)处的切线方程为_.15设 A，B 是椭圆 C:x23y2m1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是_16若直角坐标平面内,A B两点满足：点,A B都在函数()f x的图像上，且点,A B关于原点对称，则称(,)A B是函数()f x一个“姊妹点对”（(,)A B与(,)B A可看作同一“姊妹点对”）.已知22,0,()2,0,xxx xf xxe则()f x的“姊妹点对”有_个.四、解答题四、解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题 10 分)在公差为 2 的等差数列 中，1+1，2+2，3+4 成等比数列.（1）求 na的通项公式；（2）求数列2nna 的前n项和nS.试卷第 3页，共 4页18(本小题12分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosBbcosA)c(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长19(本小题12分)在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是菱形，60ABC，PA 平面 ABCD，2PAAB(1)求证：PCBD；(2)求二面角PCDA的正弦值20(本小题12分)2020 年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对 100 名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照90,110，110,130，130,150，150,170分成 4组，得到如图所示的频率分布直方图（1）试估计这 100 名果农苹果销售量的平均数；（2）根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到 0.1）；（3）假设这 100 名果农在未打开销路之前都积压了 2 万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为 1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失 2 元的成本费，试估计这 100 名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润试卷第 4页，共 4页21(本小题12分)已知椭圆222210yxabab的离心率为22，且22ab（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数 m，使直线:0l xym与椭圆交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点在圆225xy上？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由22(本小题12分)已知函数 lnaxf xx，曲线 fx在点,e f e处的切线与直线2ye xe垂直.（1）求a的值及 fx的极值；（2）是否存在区间2,03t tt，使函数 fx在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式 21x f xk x对任意1,x恒成立，求整数k的最大值.答案第 1页，共 4页惠州市华罗庚中学惠州市华罗庚中学 2022-2023 学年度第学年度第二二学期学期 3 月月考月月考高二数学高二数学参考答案：参考答案：题目123456789101112答案ACDDCDADBDABCBDACD6D【分析】根据题意得到直线10mxy 与直线2310 xy 和直线4350 xy分别平行时或直线10mxy 过直线2310 xy 和直线4350 xy的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的m值即可.8D【详解】三条侧棱棱长相等，P 在底面的射影 D 是ABC的外心又ABC是斜边为 BC 的等腰直角三角形，D 是 BC 中点，易知直线 PD 上的点到 A、B、C 的距离相等，故三棱锥外接球的球心 O 在直线 PD 上，记球的半径为 R，则直角三角形 BOD 中有222()RPDRBD223PDPBBD，2R，故外接球表面积为16.故选：D11BD【详解】因为函数 sin 2fxx的最小正周期22T，又因为 fx在0,2上有且仅有 1 个极大值点，所以函数 fx的图象如图所示.所以 fx在0,2内有 4 个零点，fx在0,2有2 个极小值点，fx在0,10上单调递减，由 0sin1f解得22k，k Z.所以 BD 正确，AC错误.故选：BD.三三、13.11014.y2x215(0，19，)162.【详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数22(0)yxx x的图象关于原点对称的图象，看它与函数2(0)xyxe交点个数即可.如图所示：当1x 时，201xe观察图象可得：它们有 2 个交点.故答案为：2.答案第 2页，共 4页四、四、17解：（1）na的公差为2d,212aa,134aa.11a,22a,34a 成等比数列,2111184aaa,解得18a,从而82126nann.（2）由（1）得26nan,2(26)2nnnan28 1026222nnSn82622 221 2nnn 1722nn n21722nnn18解析：(1)2cosC(acosBbcosA)c，由正弦定理得：2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，ABC，A、B、C(0，)，sin(AB)sinC0，2cosC1，cosC12C(0，)，C3(2)由余弦定理得：c2a2b22abcosC，7a2b22ab12，即(ab)23ab7，S12absinC34ab3 32，ab6，(ab)2187，ab5，ABC 周长为 abc5 7 19【详解】（1）证明：连接 AC 交于 BD 点 O,因为底面 ABCD 是菱形，所以ACBD又因为PA 平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD，又因为PAACA，所以BD平面 PAC，PC 平面 PAC，所以BDPC（2）取 CD 中点为点 F，连接 AF，PF,因为底面 ABCD 是菱形，60ABCADC，所以ACD是等边三角形，所以AFCD因为PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以PACD，而PAAFA，所以CD 平面 PAF，PF 平面 PAF，所以CDPF，所以AFP是二面角PCDA的平面角因为2ADPA，则3AF,因为PAAF，所以2237PF，所以22 7sin77AFP,所以二面角PCDA的正弦值为2 7720解：（1）设这 100 名果农苹果销售量的平均数为x百千克，则1000.00251200.01 1400.02251600.01520140 x，故这 100 名果农苹果销售量的平均数为 1.4 万千克答案第 3页，共 4页（2）因为0.00250.0100200.250.8，0.250.225200.70.8，所以 80%分位数在第 4 组内，且 80%分位数为0.80.715020156.710.7（3）销售量在90,110的每位果农的利润为4100 100 1.32 10100 10020.7 万元；销售量在110,130的每位果农的利润为4120 100 1.32 10120 10020.04 万元；销售量在130,150的每位果农的利润为4100 140 1.32 10140 10020.62万元；销售量在150,170的每位果农的利润为4100 160 1.32 10160 10021.28万元因为90,110，110,130，130,150，150,170这 4 组的人数分别为 5，20，45，30，所以这 100 名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为0.750.04200.6245 1.28 3062万元21【详解】解：（1）由题意得2222222caabbac，解得2,1,1,acb故椭圆的方程为2212yx（2）设11,A x y，22,B xy，线段 AB 的中点为00,Mxy联立直线与椭圆的方程得221,20,yxxym即223220 xmxm，所以2224 320mm ，即23m，且12023xxmx，0023myxm，即2,33mmM，又因为 M 点在圆225xy上，所以222533mm，解得3m ，与23m 矛盾，故实数 m 不存在22【详解】（1）由()alnxf xx，得21()alnxfxx因为()f x在点(e，f（e）)处的切线与直线2ye xe垂直，所以22211()alneafeeee，解得1a，所以1()(0)lnxf xxx，令2()0lnxfxx，得1x 因为当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x时，()0fx所以()f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故()f x在1x 处取得极大值 1，无极小值；（2）因为()f x在(1,)上单调递减，且()0f x 又由（1）知()f x在(0,1)上单调递增，且22221()0lnef eee，f（1）10 答案第 4页，共 4页所以由零点存在原理得()f x在区间(0,1)存在唯一零点，函数()f x的图象如图所示：因为函数()f x在区间2(,)(0)3t tt上存在极值和零点，所以由20131()0ttlntf tt ，解得113te 所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为(1 1,3 e)；（3）当(1,)x时，不等式2()(1)x f xk x可变形为(1)1xlnxkx设(1)()1xlnxh xx，(1)x，则22()(1)xlnxh xx设()2xxlnx，(1)x，则1()1xx 因为1x 时，1()0 xxx，所以()2xxlnx在(1,)上单调递增，又因为（3）130ln，（4）240ln所以存在唯一的0(3,4)x，使得0()0 x，即002lnxx，当0(1,)xx时，()0 x，即0()0h x，当0(xx，)时，()0 x，即0()0h x，所以()h x在0(1,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增，故00000000000(1)(12)(1)()()111minxlnxxxxxh xh xxxxx，因为0(1)1minxlnxkxx，且0(3,4)x，所以整数k的最大值为 3
