2023届北京市朝阳区高三下学期一模数学试题含答案.pdf

第 1页/共 6页北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学 20233（考试时间（考试时间 120 分钟满分分钟满分 150 分）本试卷分为选择题分）本试卷分为选择题 40 分和非选择题分和非选择题 110 分第一部分（选择题共分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共分）一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合24Ax x，集合0Bx x，则AB（）A.,2 B.2,0C.2,D.0,22.若0ab，则（）A.33abB.abC.11abD.ln0ab3.设20121nnnxaa xa xa x，若23aa，则n（）A.5B.6C.7D.84.已知点1,0A，10B,若直线2ykx上存在点 P，使得90APB，则实数 k 的取值范围是（）A.,3 B.3,C.3,3D.,33,5.已知函数 3f xxx，则“120 xx”是“120f xf x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.过双曲线222210,0 xyabab的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A 若2AFOAOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.52B.2 33C.2D.2 33或 27.在长方体1111ABCDABC D中，1AC与平面1ABD相交于点 M，则下列结论一定成立的是（）A.AMBDB.1AMBD第 2页/共 6页C.112AMMCD.MBMD8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音若一个复合音的数学模型是函数 1sin2R2sinfxxx x，则下列结论正确的是（）A.f x的一个周期为B.f x的最大值为32C.f x的图象关于直线x 对称D.f x在区间0,2上有 3 个零点9.如图，圆 M 为ABC的外接圆，4AB，6AC，N 为边 BC 的中点，则AN AM （）A.5B.10C.13D.2610.已知项数为*k kN的等差数列 na满足11a，-112,3,4nnaank 若128kaaa，则 k 的最大值是（）A.14B.15C.16D.17第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共分）二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.若复数21 iz，则|z _.12.函数 13log,13,1xx xf xx的值域为_13.经过抛物线24xy的焦点的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若AB4，则OAB（O 为坐标原点）的面积为_14.在ABC中，4 2a，bm，sincos0AA（1）若8m，则c _；（2）当m_（写出一个可能的值）时，满足条件的ABC有两个15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：第 3页/共 6页 0000coshsinhcoshsinhbx tXabtYabtaay tYabtXabtb，其中正实数0X，0Y分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；x t，y t分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力;正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；eecosh2xxx和eesinh2xxx分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数规定当红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为 T给出下列四个结论：若00XY且ab，则 0 x ty ttT；若00XY且ab，则00001lnXYTaXY；若00XbYa，则红方获得战斗演习胜利；若00XbYa，则红方获得战斗演习胜利其中所有正确结论的序号是_三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA 平面 ABC，D，E 分别为 AC，11AC的中点，5ABBC，12ACAA（1）求证：AC 平面 BDE；（2）求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；（3）求点 D 到平面 ABE 的距离17.设函数 2sincoscos0,0fAxxAxx，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得 f x存在第 4页/共 6页（1）求函数 f x的解析式；（2）求 f x在区间0,2上的最大值和最小值条件：=f xfx；条件：f x的最大值为32；条件：f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立（1）分别从上述 200 名男生和 300 名女生中各随机抽取 1 名，求抽到的 2 名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1 名，从该地区高一女生中随机抽取 1 名，以 X 表示这 2 名学生中获奖的人数，求 X 的分布列和数学期望EX；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为0p；从该地区高一男生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为1p；从该地区高一女生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为2p，试比较0p与122pp的大小（结论不要求证明）19.已知函数 2e1Rxf xaxa（1）求 f x的单调区间；（2）若 0f x 对0,x恒成立，求 a 的取值范围；（3）证明：若 f x在区间0,上存在唯一零点0 x，则02xa第 5页/共 6页20.已知椭圆22:1 044xyEnn经过点2,1（1）求椭圆 E 的方程及离心率；（2）设椭圆 E 的左顶点为 A，直线:1l xmy与 E 相交于 M，N 两点，直线 AM 与直线4x 相交于点 Q 问：直线 NQ 是否经过 x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由21.已知有穷数列*12:,3NA a aaNNN满足1,0,11,2,iaiN 给定正整数 m，若存在正整数 s，t st，使得对任意的0,1,2,1km，都有s kt kaa，则称数列 A 是m 连续等项数列（1）判断数列:1,1,0,1,0,1,1A 是否为3连续等项数列？是否为4连续等项数列？说明理由；（2）若项数为 N 的任意数列 A 都是2连续等项数列，求 N 的最小值；（3）若数列12:,NA a aa不是4连续等项数列，而数列112:,1NA a aa，数列212:,0NAa aa与数列312:,1NAa aa都是4连续等项数列，且30a，求Na的值第 1页/共 23页北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学 20233（考试时间（考试时间 120 分钟满分分钟满分 150 分）本试卷分为选择题分）本试卷分为选择题 40 分和非选择题分和非选择题 110 分第一部分（选择题共分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共分）一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合24Ax x，集合0Bx x，则AB（）A.,2 B.2,0C.2,D.0,2【答案】C【解析】【分析】化简2|2Axx，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意2|4|22Ax xxx，0Bx x，所以|220|22,ABxxx xx x .故选：C.2.若0ab，则（）A.33abB.abC.11abD.ln0ab【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质判断 A，取特殊值判断 BCD.【详解】0ab，330,0ab，即33ab，故 A 正确；取1,2ab，则ab不成立，故 B 错误；取1,2ab，则11ab不成立，故 C 错误；取11,22ab，则lnln10ab，故 D 错误.故选：A3.设20121nnnxaa xa xa x，若23aa，则n（）第 2页/共 23页A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】先求出(1)nx展开式第1r 项，再由23aa列出方程，即可求出n的值.【详解】(1)nx展开式第1r 项1CrrrnTx，23aa，23CCnn，235n.故选：A.4.已知点1,0A，10B,若直线2ykx上存在点 P，使得90APB，则实数 k 的取值范围是（）A.,3 B.3,C.3,3D.,33,【答案】D【解析】【分析】将问题化为直线2ykx与圆221xy有交点，注意直线所过定点(0,2)与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求 k 的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点(0,2)的直线2ykx与圆221xy有交点，又(0,2)在圆外，所以只需2211k，可得k,33,.故选：D5.已知函数 3f xxx，则“120 xx”是“120f xf x”的（）第 3页/共 23页A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由()f x的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为 3f xxx定义域为R，3()()()()fxxxf x ，所以()f x为奇函数，且()f x为R上的增函数.当120 xx时，21xx，所以12110fxfxfxfx，即“120 xx”是“120f xf x”的充分条件，当 120f xf x时，122()()fxf xfx，由()f x的单调性知，12xx，即120 xx，所以“120 xx”是“120f xf x”成立的必要条件.综上，“120 xx”是“120f xf x”的充要条件.故选：C6.过双曲线222210,0 xyabab的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A 若2AFOAOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.52B.2 33C.2D.2 33或 2【答案】B【解析】【分析】由题意易得所以30AOF，从而3tan303ba，再由21cbeaa求解.【详解】解：在RtAFO中，因为2AFOAOF，所以30AOF，则3tan303ba，所以2232 31133cbeaa，故选：B第 4页/共 23页7.在长方体1111ABCDABC D中，1AC与平面1ABD相交于点 M，则下列结论一定成立的是（）A.AMBDB.1AMBDC.112AMMCD.MBMD【答案】C【解析】【分析】根据平面交线的性质可知11=ANACM，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于 ABD可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接,AC BD，交于N，连接11AC，1AN，在长方体中，平面11ACC A与平面1ABD的交线为1AN,而1AC 平面11ACC A，且1AC 平面1ABDM，所以1MAN，又11/AN AC，1112ANAC，所以112AMMC，故 C 正确.对于 A，因为长方体中AC与BD不一定垂直，故推不出AMBD，故 A 错误；对于 B，因为长方体中1AD与1AB不一定相等，故推不出1AMBD，故 B 错误；对于 D，由 B 知，不能推出1AN与BD垂直，而1AN是中线，所以推不出MBMD，故 D 错误.故选：C8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音若一个复合音的数学模型是函数 1sin2R2sinfxxx x，则下列结论正确的是（）A.f x的一个周期为B.f x的最大值为32第 5页/共 23页C.f x的图象关于直线x 对称D.f x在区间0,2上有 3 个零点【答案】D【解析】【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.11sinsin2sinsin222fxxxxxfx，故 A 错误；B.sinyx，当2 2xk，Zk时，取得最大值 1，1sin22yx，当22 2xk，Zk时，即4xk，Zk时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以 f x的最大值不是32，故 B 错误；C.112sin 2sin2 2sinsin222fxxxxxf x，所以函数 f x的图象不关于直线x 对称，故 C 错误；D.1sinsin2sinsin cos02f xxxxxx，即sin1 cos0 xx，0,2，即sin0 x 或cos1x ，解得：0,2x，所以函数 f x在区间0,2上有 3 个零点，故 D 正确.故选：D9.如图，圆 M 为ABC的外接圆，4AB，6AC，N 为边 BC 的中点，则AN AM （）A.5B.10C.13D.26【答案】C【解析】【分析】由三角形中线性质可知1()2ANABAC，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知第 6页/共 23页1|cos|2AMBAMAB，同理可得1|cos|2AMCAMAC，再由数量积运算即可得解.【详解】N是 BC 中点，1()2ANABAC，M 为ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，2211|cos|4822AM ABAMABBAMAB ，同理可得21|182AM ACAC ，11111()8181322222AM ADAMABACAM ABAM AC .故选：C10.已知项数为*k kN的等差数列 na满足11a，-112,3,4nnaank 若128kaaa，则 k 的最大值是（）A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】【分析】通过条件11a，-112,3,4nnaank，得到332dk，再利用条件128kaaa得到162(1)kk kd，进而得到不等关系：3162(1)32kk kk，从而得到k的最大值.【详解】由11a，-112,3,4nnaank，得到1(2)4 1(1)ndnd，即3(32)0nd，当2,3,nk时，恒有3(32)0nd，即332dn，所以332dk，由128kaaa，得到12(1)()822kkkdk aa，所以3162(1)2(1)32kk kdkk kk，N,2kk，整理得到：2349320kk，所以15k.故选：B第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）第 7页/共 23页二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.若复数21 iz，则|z _.【答案】2【解析】【分析】根据|zz以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21iz，所以2|1zzi222|1|1 1i.故答案为：2【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.函数 13log,13,1xx xf xx的值域为_【答案】,3【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求1x和1x 的值域，再取并集即可.【详解】因为当1x时，13log0 x，当1x 时，33x，所以函数 13log,13,1xx xf xx的值域为,3，故答案为：,313.经过抛物线24xy的焦点的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若AB4，则OAB（O 为坐标原点）的面积为_【答案】2【解析】【分析】求出焦点坐标，设直线AB方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得 O点到直线AB距离，进一步求出三角形面积.第 8页/共 23页【详解】由题意知，抛物线24xy的焦点0,1F，设11,A x y，22,B xy，直线 AB：1ykx，联立方程214ykxxy，消去 x 可得22(24)10yky，2242(24)416160kkk，韦达定理得2121224,1yyky y，因为21222424ABAFFByyk，所以20k，即0k，所以直线 AB：1y，所以点 O 到直线 AB 的距离为1OF，所以111 4222OABSOFAB.故答案为：214.在ABC中，4 2a，bm，sincos0AA（1）若8m，则c _；（2）当m_（写出一个可能的值）时，满足条件的ABC有两个【答案】.4 2.6（答案不唯一）【解析】【分析】（1）求出A，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m的范围即可得解.【详解】（1）sincos0AA，tan1A，0A，4A，由余弦定理，2222cosabcbcA，即223264162cc，解得4 2c.（2）因为4A,4 2a,所以当sin4bab时，方程有两解，即4 28m，取6m 即可满足条件（答案不唯一）15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：第 9页/共 23页 0000coshsinhcoshsinhbx tXabtYabtaay tYabtXabtb，其中正实数0X，0Y分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；x t，y t分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力;正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；eecosh2xxx和eesinh2xxx分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数规定当红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为 T给出下列四个结论：若00XY且ab，则 0 x ty ttT；若00XY且ab，则00001lnXYTaXY；若00XbYa，则红方获得战斗演习胜利；若00XbYa，则红方获得战斗演习胜利其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】对于根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 000eatx ty tXY，所以正确；对于，利用中结论可得蓝方兵力先为 0，即000eeee22atatatatYX解得00001lnXYTaXY，正确；对于和，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为 0 时所用时间1t、2t，比较大小即可知错误，正确.【详解】对于，若00XY且ab，则 0000coshsinhcoshsinhx tXatYaty tYatXat，即 0000eeee22eeee22atatatatatatatatx tXYy tYX，所以 00eatx ty tXY，由00XY可得 000eatx ty tXY，即正确；对于，当ab时根据中的结论可知 x ty t，所以蓝方兵力先为 0，第 10页/共 23页即 00eeee220atatatatyYXt，化简可得0000eeatatXYXY，即20000eatXYXY，两边同时取对数可得0000ln2XYatXY，即000000001l1ln2nXYXYtXXYaYa，所以战斗持续时长为00001lnXYTaXY，所以正确；对于，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为 0 时所用时间为1t，蓝方兵力为 0 时所用时间为2t，即 10101coshsinh0bx tXabtYabta，可得100200e0abtbXYabYXa同理可得200200e0abtaYXbaXYb即00000000baXYYXabbaYXXYab，解得0022XbYa又因为00,Y a bX都为正实数，所以可得00XbYa，红方获得战斗演习胜利；所以可得错误，正确.故答案为：.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA 平面 ABC，D，E 分别为 AC，11AC的中点，5ABBC，12ACAA第 11页/共 23页（1）求证：AC 平面 BDE；（2）求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；（3）求点 D 到平面 ABE 的距离【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）63.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得到DEAC，根据等腰三角形三线合一的性质得到ACBD，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小问 1 详解】在三棱柱中，D，E为AC，11AC的中点，1DEAA，1AA 平面ABC，DE平面ABC，AC平面ABC，DEAC，在三角形ABC中，ABBC，D为AC中点，ACBD，DEBDD，,DE BD 平面BDE，AC 平面BDE.【小问 2 详解】第 12页/共 23页如图，以D为原点，分别以,DA DB DE为,x y z轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD中，5AB，112ADAC，2BD，0,0,0D，0,0,2E，1,0,0A，0,2,0B，0,0,2DE，1,2,0AB ，1,0,2AE ，设平面ABE的法向量为,mx y z，2020AB mxyAE mxz ，令2x，则1y，1z，所以2,1,1m，设直线DE与平面ABE所成角为，所以26sincos,624 1 1DE mDE mDEm .【小问 3 详解】设点D到平面ABE的距离为d，所以2636DE mdm.17.设函数 2sincoscos0,0fAxxAxx，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得 f x存在（1）求函数 f x的解析式；（2）求 f x在区间0,2上的最大值和最小值条件：=f xfx；条件：f x的最大值为32；第 13页/共 23页条件：f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分【答案】（1）选择条件，1sin 262f xx（2）最大值为32，最小值为0.【解析】【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件，先利用辅助角公式化简 f x，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【小问 1 详解】若选择条件，因为 2sin2cos2Af xxx，所以22sin2cossin2cos22AAfxxxxx，由=f xfx可得sin20Ax对xR恒成立，与0,0A矛盾，所以选择条件，由题意可得22sincoscossin2cosfxAxxxAxx，设22，由题意可得 21111sin2cos2sin 222222AAfxxxx，其中2cos1AA，21sin1A，因为 f x的最大值为32，所以2113222A，解得3A，所以1sin2，6，由 f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2可得22T，所以22T解得1，所以 1sin 262f xx.第 14页/共 23页【小问 2 详解】由正弦函数的图象可得当0,2x时，72,666x，1sin 2,162x，所以 f x在区间0,2上的最大值为32，最小值为0.18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立（1）分别从上述 200 名男生和 300 名女生中各随机抽取 1 名，求抽到的 2 名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1 名，从该地区高一女生中随机抽取 1 名，以 X 表示这 2 名学生中获奖的人数，求 X 的分布列和数学期望EX；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为0p；从该地区高一男生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为1p；从该地区高一女生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为2p，试比较0p与122pp的大小（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX（3）1202ppp【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C()CCP A；（2）X的所有可能取值为 0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；第 15页/共 23页（3）计算出01350p，12124pp，比较大小即可.【小问 1 详解】设事件A为“分别从上述 200 名男生和 300 名女生中各随机抽取 1 名,抽到的 2 名学生都获一等奖”，则11102511200300C C1()CC240P A，【小问 2 详解】随机变量X的所有可能取值为 0,1,2.记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取 1 名,该学生获奖”,事件C为“从该地区高一女生中随机抽取 1 名,该学生获奖”.由题设知,事件B,C相互独立,且()P B估计为10 15 151,()2005P C估计为252540330010.所以1328(0)()()()1151050P XP BCP B P C ,131319(1)()()()()()1151051050P XP BCBCP B P CP B P C,133(2)()()()51050P XP BCP B P C.所以X的分布列为X012P28501950350故X的数学期望2819310125050502E X 【小问 3 详解】1202ppp，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p，由（2）知115p，2310p，故1213150510224200pp，则1202ppp.19.已知函数 2e1Rxf xaxa第 16页/共 23页（1）求 f x的单调区间；（2）若 0f x 对0,x恒成立，求 a 的取值范围；（3）证明：若 f x在区间0,上存在唯一零点0 x，则02xa【答案】（1）答案见解析（2）2a（3）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论0a、0a，结合导数的符号确定单调区间；（2）由2()2exfxa，讨论2a、2a 研究导数符号判断()f x单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定2a 时()f x在1(ln,)22a上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证(2)0f a 在2a 上恒成立，即可证结论.【小问 1 详解】由题设2()2exfxa，当0a 时，()0fx，则()f x在 R 上递增；当0a 时，令()0fx，则1ln22ax，若1ln22ax，则()0fx，()f x在1(,ln)22a上递减；若1ln22ax，则()0fx，()f x在1(ln,)22a上递增；综上，0a 时()f x的递增区间为 R，无递减区间；0a 时()f x的递减区间为1(,ln)22a，递增区间为1(ln,)22a.【小问 2 详解】由2()2exfxa，当2a 时，()0fx在(0,)上恒成立，故()f x在(0,)上递增，则()(0)0f xf，满足要求；当2a 时，由（1）知：()f x在1(,ln)22a上递减，在1(ln,)22a上递增，而1ln022a，所以()f x在1(0,ln)22a上递减，在1(ln,)22a上递增，要使 0f x 对0,x恒成立，第 17页/共 23页所以，只需1(ln)ln1022222aaaaf，令()ln1g xxxx且1x，则()ln0g xx，即()g x递减，所以()(1)0g xg，故在0,x上 0f x 不存在2a；综上，2a【小问 3 详解】由（2）知：2a 时，在(0,)恒有()0f x，故不可能有零点；2a 时，()f x在1(0,ln)22a上递减，在1(ln,)22a上递增，且(0)0f，所以1(0,ln)22a上()0f x，无零点，即1(ln)022af，且x趋向于正无穷时()f x趋向正无穷，所以，在1(ln,)22a上存在唯一0 x，使0200()e10 xf xax，要证02xa，只需2(2)(2)e(2)10af aa a 在2a 上恒成立即可，令20ta，若2()e(2)1th tt t，则2()2(e1)th tt，令2()e1tp tt，则2()2e10tp t，即()p t在(0,)上递增，故()(0)0p tp，所以()0h t，即()h t在(0,)上递增，故()(0)0h th，所以2(2)(2)e(2)10af aa a 在2a 上恒成立，得证；故02xa，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定()f x在某一单调区间上存在唯一零点的 a 的范围后，应用分析法证(2)0f a 恒成立即可.20.已知椭圆22:1 044xyEnn经过点2,1（1）求椭圆 E 的方程及离心率；（2）设椭圆 E 的左顶点为 A，直线:1l xmy与 E 相交于 M，N 两点，直线 AM 与直线4x 相交于点 Q 问：直线 NQ 是否经过 x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由【答案】（1）椭圆 E 的方程为22142xy，离心率为22.（2）直线NQ过定点(2,0).【解析】第 18页/共 23页【分析】(1)根据椭圆经过点2,1即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；(2)表示出直线AM的方程为11(2)2yyxx，即可求得点116(4,)2yQx，再利用点斜式表示得直线NQ的方程为12122216(2)()(4)(2)yyxyyxxxx，即可求出NQ与x轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线 NQ 恒过的定点.【小问 1 详解】因为椭圆22:1 044xyEnn经过点2,1，所以2114n，解得2n，所以椭圆 E 的方程为22142xy，因为224,2,ab所以222cab，所以离心率为22cea.【小问 2 详解】直线NQ过定点(2,0)，理由如下：由22124xmyxy可得22(2)230mymy，显然22412(2)0mm，设1122(,),(,),M x yN xy则有12122223,.22myyy ymm 直线AM的方程为11(2).2yyxx令4x，解得1162yyx，则116(4,)2yQx，所以直线NQ的斜率为121121221626(2),4(4)(2)NQyyxyyxkxxx且0NQk，第 19页/共 23页所以直线NQ的方程为12122216(2)().(4)(2)yyxyyxxxx令0y，则2212121(4)(2)6(2)yxxxxyyx21212211216(2)(4)(2)6(2)xyyxyxxyyx2121212112112164(2)6(1)4(3)6(2)6(3)x yyxmyyy myyyxyy my2221212121222232261826122232636922mmymy yyymmmmy yyymymm22221818(2)2.99(2)mmymmy所以直线NQ过定点(2,0).【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点116(4,)2yQx 的坐标，再利用点斜式方程表示出直线NQ与x轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.21.已知有穷数列*12:,3NA a aaNNN满足1,0,11,2,iaiN 给定正整数 m，若存在正整数 s，t st，使得对任意的0,1,2,1km，都有s kt kaa，则称数列 A 是m 连续等项数列（1）判断数列:1,1,0,1,0,1,1A 是否为3连续等项数列？是否为4连续等项数列？说明理由；（2）若项数为 N 的任意数列 A 都是2连续等项数列，求 N 的最小值；（3）若数列12:,NA a aa不是4连续等项数列，而数列112:,1NA a aa，数列212:,0NAa aa与数列312:,1NAa aa都是4连续等项数列，且30a，求Na的值【答案】（1）数列A是3连续等项数列，不是4连续等项数列，理由见解析；（2）11（3）0【解析】【分析】（1）根据新定义直接验证数列:1A，1，0，1，0，1，1，可得结论；（2）先根据新定义证明11N 时，数列A一定是2连续等项数列，再验证10n 时，A不是2连续等第 20页/共 23页项数列即可；（3）由123,A A A都是4连续等项数列可得21123,1iNiNiNiaaaaaaa，21123,0,jNjNjNjaaaaaaa21123,1kNkNkNkaaaaaaa，再 由 反 证 法 证 得min,1i j k，即可得出Na的值.【小问 1 详解】数列A是3连续等项数列，不是4连续等项数列，理由如下:因为24(0,1,2)kkaak，所以A是3连续等项数列.因为1234,a a a a为1,1,0,1；2345,a a a a为1,0,1,0；5346,a a a a为0,1,0,1;4567,a a a a为1,0,1,1，所以不存在正整数,()s t st，使得(0,1,2,3)s kt kaak.所以 A 不是4连续等项数列.【小问 2 详解】设集合(,)|1,0,1,1,0,1Sx yxy ，则S中的元素个数为23=9.因为在数列A中)1,0,1(,1,2,iaiN，所以1(,)(1,2,1)iia aS iN.若11N，则1 109N .所以在1223341(,),(,),(,),(,)NNa aa aa aaa这1N 个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数,()s t st，使得11,tsstaa aa.所以当项数11N 时，数列A一定是2连续等项数列.若3N，数列0,0,1不是2连续等项数列.若4N，数列0,0,1,1不是2连续等项数列.若5N=，数列0,0,1,1,0不是2连续等项数列.若6N，数列0,0,1,1,0,1不是2连续等项数列.第 21页/共 23页若7N，数列0,0,1,1,0,1,1不是2连续等项数列.若8N，数列0,0,1,1,0,1,1,1不是2连续等项数列.若9N，数列0,0,1,1,0,1,1,1,1 不是2连续等项数列.若10N,数列0,0,1,1,0,1,1,1,1,0 不是2连续等项数列.所以N的最小值为 11.【小问 3 详解】因为12,A A与3A都是4连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,(,2)i j k i j kN,使得21123,1iNiNiNiaaaaaaa，21123,0,jNjNjNjaaaaaaa21123,1.kNkNkNkaaaaaaa下面用反证法证明min,1i j k.假设min,1i j k，因为1113,1,0,1ijkNaaaa，所以1113,ijkNaaaa中至少有两个数相等.不妨设11ijaa，则111122,ijijijijaaaa aaaa所以A是4连续等项数列，与题设矛盾.所以min,1i j k.所以22230Nijkaaaaa.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据12,A A与3A都 是4连 续 等 项 数 列 得 出21123,1iNiNiNiaaaaaaa，21123,0,jNjNjNjaaaaaaa21123,1kNkNkNkaaaaaaa，利 用 反 证 法 求第 22页/共 23页min,1i j k 是关键点.