长方形和正方形的周长—2022-2023学年五年级数学思维拓展讲义含解析.pdf

2022-2023 学年小学五年级思维拓展专题长方形和正方形的周长知识精讲长方形的周长=（长宽）2，正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。典例分析【典例分析【典例分析 0101】有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。【思路点拨】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图 b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是 184=72 厘米。【典例分析【典例分析 0202】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为 192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？【思路点拨】把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块（如图），其中 AB 的面积是 19244=176（平方厘米）。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44（厘米），现在这块木板的周长是 442=88（厘米）。【典例分析【典例分析 0303】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？【思路点拨】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab）2，三条竖着的线段和是 b2。所以，整个图形的周长是（ab）2b2，即 2a4b。【典例分析【典例分析 0404】下图是边长为 4 厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。【思路点拨】我们把阴影部分周长中左边的 5 条线段全部平移到左边，其和正好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。因此，阴影部分的周长与边长是 4厘米的正方形的周长是相等的。【典例分析【典例分析 0505】如下图，阴影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的长方形的周长。【思路点拨】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为 BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是（96）2=30（厘米）。真题演练一选择题（共一选择题（共 5 5 小题，满分小题，满分 1010 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）1（2 分）用 5 个边长为 1 厘米的正方形排成下面的图形，则图形_的周长最短。（）ABCD2（2 分）在一个边长为 30 厘米的等边三角形中，按照如图，剪出三个小等边三角形，得到一个六边形，这个六边形的周长是_厘米。（）A60B64C69D903（2 分）小明简单地设计了一下自己的家，如图，横 11m，竖 7m的长方形，最大的正方形客厅设计好后，剩下的空间里再设计一间最大的正方形用来做卧室，长方形浴室墙的周长是（）A8mB14mC22mD36m4（2 分）喜羊羊拿 5 个相同的长方形纸片组成一个数字“5”（如图所示），每个长方形纸片长 60 厘米，宽 30 厘米，数字“5”的周长是_厘米。（）A570B600C660D7805（2 分）有一块地如图所示（单位：米），其中甲、乙、丙均为正方形那么：（1）这块地外围的周长是（）米。（2）甲的面积是（）平方米。A132，16B132，36C112，36D102，36E102，16二填空题（共二填空题（共 1010 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）6（2 分）如图是由 4 个边长为 3 厘米的小正三角形拼成，则这个图形的周长为厘米。7（2 分）如图，将一个大正方形分成 6 个长方形，这 6 个长方形的周长的总和是 120 厘米，那么大正方形的面积是平方厘米8（2 分）甲有一张 40 厘米30 厘米的长方形纸片，他从上面剪下来 10 张 5 厘米5 厘米的小纸片，得到如图这 10 张小纸片的边与长方形的对应边互相平行，而且它们之间不会互相重叠那么剩下图形的周长为厘米9（2 分）如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续四边的长依次是 2，8，8，6厘米，求这个六边形的周长是厘米10（2 分）如图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形这个图形的周长是厘米11（2 分）如图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了其中三条线段的长度（单位：米）试算它的周长是米12（2 分）如图一是小佳画的一个戴帽子小人儿，图二是帽子图，这个帽子是由 6 个完全一样的长方形拼成的，如果这 6 个长方形的长都是 6，那么，这个帽子图形的周长是13（2 分）如图，正方形ABCD的边长是 4 厘米，现在把它分成四个小长方形，长方形AEOG与长方形FCHO这 2 个小长方形的周长之和厘米14（2 分）由三张长方形纸片（甲、丙、丁）与一张正方形纸片（乙）可以拼成一个面积为 480 平方厘米大长方形（如图），已知乙、丙、丁的面积都是甲的 3 倍，图中甲、乙、丙、丁四个长方形的周长总和是厘米。15（2 分）如图，已知四边形ABCD和四边形CHFG是正方形，长方形ADHE的长 50 厘米，宽 36 厘米。则长方形BEFG的周长是厘米。三解答题（共三解答题（共 1212 小题，满分小题，满分 7070 分）分）16（5 分）如图是由三个相同的长方形纸片组成的一个“5”字，已知长方形长 4 厘米，宽2 厘米，“5”字周长是厘米17（5 分）AB长 200 米，BC长 140 米，CD长 20 米，老鼠从A以每分钟 60 米的速度沿阶梯状路线向洞穴D跑，猫从A以每分钟 80 米的速度沿B、C、D方向堵截老鼠，猫能否捉住老鼠？（填能或不能）18（5 分）是一块小麦地，已知条件如图这块地的周长是米19（5 分）如图，为了求得其中图形的周长，至少需要知道其中条边的长度20（5 分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1 楼到 2 楼共 15 级台阶，每级台阶高 16 厘米，每级台阶进深 26 厘米，已知楼梯宽 3 米，要在 1 楼到 2 楼的楼梯上铺设每平方米 80 元的地毯，则买地毯至少需要多少钱？21（5 分）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6 厘米，问：图（1），图（2）中深色的区域的周长哪个大？大多少？22（6 分）一张长方形纸长 20 厘米，宽 12 厘米，现在沿着对角线对折（见图），阴影部分图形的周长是多少？23（6 分）如图所示，一矩形被分割成 9 个互不重叠的正方形，该矩形的长与宽为互质的正整数，求此矩形的周长。24（6 分）大长方形已被分割为若干小长方形，如果其中几个小长方形的周长已经给定（如图，单位：厘米），最大的长方形的周长是多少？25（6 分）图是一块宅基地的平面图，其中相邻的两条线段都互相垂直求：（1）这块宅基地的周长；（2）这块宅基地的面积26（8 分）一块长方形木板，如果按长、短不同的两组边分别截去 4 分米，则面积减少了168 平方分米，请问：原来长方形的周长是多少分米？27（8 分）半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？2022-2023 学年小学五年级思维拓展专题 长方形和正方形的周长知识精讲长方形的周长=（长宽）2，正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。典例分析【典例分析【典例分析 0101】有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。【思路点拨】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图 b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是184=72 厘米。【典例分析【典例分析 0202】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为 192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？【思路点拨】把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块（如图），其中 AB 的面积是 19244=176（平方厘米）。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44（厘米），现在这块木板的周长是 442=88（厘米）。【典例分析【典例分析 0303】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？【思路点拨】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab）2，三条竖着的线段和是 b2。所以，整个图形的周长是（ab）2b2，即 2a4b。【典例分析【典例分析 0404】下图是边长为 4 厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。【思路点拨】我们把阴影部分周长中左边的 5 条线段全部平移到左边，其和正好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。因此，阴影部分的周长与边长是 4 厘米的正方形的周长是相等的。【典例分析【典例分析 0505】如下图，阴影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的长方形的周长。【思路点拨】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为 BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是（96）2=30（厘米）。真题演练一选择题（共一选择题（共 5 5 小题，满分小题，满分 1010 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）1（2 分）用 5 个边长为 1 厘米的正方形排成下面的图形，则图形_的周长最短。（）ABCD【思路点拨】分别计算每个图形周长进行比较即可。【规范解答】解：A：可以将该图形转化为一个长和宽分别为 3 厘米的长方形，其周长为：3412（厘米）；B：该图形周长为 12 条边长组成，周长为：12112（厘米）；C：可以将该图形转化为一个长为 3 宽为 2 的长方形，其周长为：（3+2）210（厘米）；D：可以将该图形转化为一个长和宽分别为 3 厘米的长方形，其周长为：3412（厘米）。故选：C。【考点剖析】本题主要考查平移法求周长，易错点为 B 选项，不能运用平移法直接求周长。2（2 分）在一个边长为 30 厘米的等边三角形中，按照如图，剪出三个小等边三角形，得到一个六边形，这个六边形的周长是_厘米。（）A60B64C69D90【思路点拨】根据题意分别求出这个六边形各条边的长度直接计算即可。【规范解答】解：（30312）+12+（30126）+6+（3036）+369（厘米）故选：C。【考点剖析】本题较为基础，注意每条边的长度如何得到，直接计算即可。3（2 分）小明简单地设计了一下自己的家，如图，横 11m，竖 7m的长方形，最大的正方形客厅设计好后，剩下的空间里再设计一间最大的正方形用来做卧室，长方形浴室墙的周长是（）A8mB14mC22mD36m【思路点拨】如上图，长方形浴室墙的长是 1174 米，宽是 743 米，然后长方形的周长公式解答即可。【规范解答】解：1174（米）743（米）（4+3）214（米）答：长方形浴室墙的周长是 14 米。故选：B。【考点剖析】解答本题关键是求出长方形浴室墙的长和宽。4（2 分）喜羊羊拿 5 个相同的长方形纸片组成一个数字“5”（如图所示），每个长方形纸片长 60 厘米，宽30 厘米，数字“5”的周长是_厘米。（）A570B600C660D780【思路点拨】利用平移法将纸片转化为如图长方形，该长方形长为（602）+30150（厘米），宽为 60+3090（厘米）；需要注意的是，图中 1、2、3、4 这几条线也算入纸片的周长，其中 1 和 2 相等，且等于 603030（厘米）；3 和 4 相等，且等于 60 厘米。所以纸片的周长为（150+90）2+302+602660（厘米）。【规范解答】解：利用平移法将纸片转化为如图长方形，该长方形长为（602）+30150（厘米），宽为 60+3090（厘米）；线段 1线段 2603030（厘米）；线段 3线段 460 厘米；所以纸片的周长为（150+90）2+302+602660（厘米）。故选：C。【考点剖析】本题主要考查平移法求周长，需要注意的是本题中线段 1、2、3、4 也算入纸片的周长。5（2 分）有一块地如图所示（单位：米），其中甲、乙、丙均为正方形那么：（1）这块地外围的周长是（）米。（2）甲的面积是（）平方米。A132，16B132，36C112，36D102，36E102，16【思路点拨】（1）如图，通过平移可以发现，这块地外围的周长等于外围长方形的周长，长方形的周长（26+30）2，计算即可解答。（2）设乙的边长是 x 米，根据等量关系“乙的边长1030乙的边长甲的边长”，列方程解答求出乙的边长，再用 26 减去乙的边长就是甲的边长，根据“正方形的面积边长边长”解答即可。【规范解答】解：（1）（26+30）2562112（米）答：这块地外围的周长是 112 米。（2）设乙的边长是 x 米。x1030 x2x40 x2026206（米）6636（平方米）答：甲的面积是 36 平方米。故选：C。【考点剖析】熟练掌握平移的知识以及明确等量关系“乙的边长1030乙的边长甲的边长”是解题的关键。二填空题（共二填空题（共 1010 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 2 2 分）分）6（2 分）如图是由 4 个边长为 3 厘米的小正三角形拼成，则这个图形的周长为18厘米。【思路点拨】将正三角形的一条边视为 1 份，观察图形可知，该图形的周长恰好为 6 个这样的 1 份组成，再将正三角形边长为 3 厘米代入计算即可。【规范解答】解：6318（厘米）。故答案为：18 厘米。【考点剖析】观察图形可知，该图形的周长由 6 条正三角形的边长组成。7（2 分）如图，将一个大正方形分成 6 个长方形，这 6 个长方形的周长的总和是 120 厘米，那么大正方形的面积是144平方厘米【思路点拨】分成六个小长方形之后，里面的每条边都算了 2 次，因此 120 厘米里面有 6 个横着的正方形边长和竖着的 4 个正方形边长【规范解答】解：正方形边长 120（6+4）12（厘米）正方形面积 1212144（平方厘米）故填 144【考点剖析】此题的关键是正方形内部的每条线段都算了 2 次，所以内部的线段和相当于 6 个边长8（2 分）甲有一张 40 厘米30 厘米的长方形纸片，他从上面剪下来 10 张 5 厘米5 厘米的小纸片，得到如图这 10 张小纸片的边与长方形的对应边互相平行，而且它们之间不会互相重叠那么剩下图形的周长为240厘米【思路点拨】由题意，每剪一个 5 厘米5 厘米的小纸片，周长增加 2510 厘米，即可求出剩下图形的周长【规范解答】解：由题意，每剪一个 5 厘米5 厘米的小纸片，周长增加 2510 厘米，所以剩下图形的周长为（40+30）2+2510240 厘米，故答案为 240【考点剖析】本题考查巧算周长，考查学生的计算能力，解题的关键是得出每剪一个 5 厘米5 厘米的小纸片，周长增加 2510 厘米9（2 分）如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续四边的长依次是 2，8，8，6 厘米，求这个六边形的周长是40厘米【思路点拨】将原图补成一个平行四边形，由于六边形的 6 个内角都是 120，所以延长出来的两个三角形都是等边三角形，而这个平行四边形比原来六边形的周长多 2+68 厘米，因此只有求出平行四边形的周长减去 8 厘米即可，平行四边形的周长是邻边和的 2 倍，由此求解【规范解答】解：将原图补成一个平行四边形，如图：六边形的 6 个内角都是 120，所以延长出来的两个三角形都是等边三角形，（8+6）+（8+2）2（2+6）242848840（厘米）答：这个六边形的周长是 40 厘米故答案为：40【考点剖析】解决本题关键是通过补充，把六边形边长平行四边形，找出平行四边形的周长与六边形周长的关系，从而解决问题10（2 分）如图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形这个图形的周长是76厘米【思路点拨】根据长方形的周长计算方法，先求出 7 个长方形的周长之和，中间重合的部分的长每条要计算两次，重合部分的总长为 623，用 7 个长方形周长之和减去重合部分的总长即可【规范解答】解：根据题意得（5+3）276231123676（厘米）答：这个图形的周长是 76 厘米【考点剖析】本题考查了图形的周长11（2 分）如图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了其中三条线段的长度（单位：米）试算它的周长是188米【思路点拨】将原图可以通过平移变成一个长 50 米、宽（28+16）米的长方形，周长不变【规范解答】解：（50+28+16）2188（米）故答案为：188【考点剖析】此题采用转化的方法，化不规则图形为规则图形12（2 分）如图一是小佳画的一个戴帽子小人儿，图二是帽子图，这个帽子是由 6 个完全一样的长方形拼成的，如果这 6 个长方形的长都是 6，那么，这个帽子图形的周长是44【思路点拨】从图中可以看出一个长和三个宽相等，所以宽是 632，这个帽子可以通过平移变成一个和它周长相等的长方形，这个长方形的底边长为 6212，宽为 6+2+210，周长就是（12+10）244【规范解答】解：（62+6+632）244故答案为：44【考点剖析】此题先找出小长方形长与宽之间的关系，然后采用转化的策略，求出周长13（2 分）如图，正方形ABCD的边长是 4 厘米，现在把它分成四个小长方形，长方形AEOG与长方形FCHO这 2 个小长方形的周长之和16厘米【思路点拨】将图形中的线段如下图这样进行平移，可以知道两个小长方形的周长和同大正方形的周长相等【规范解答】解：4416（厘米）故答案为：16【考点剖析】此题通过平移线段，将小长方形的周长和与大正方形的周长之间建立了联系14（2 分）由三张长方形纸片（甲、丙、丁）与一张正方形纸片（乙）可以拼成一个面积为 480 平方厘米大长方形（如图），已知乙、丙、丁的面积都是甲的 3 倍，图中甲、乙、丙、丁四个长方形的周长总和是184厘米。【思路点拨】把长方形甲的面积看作 1 份，则甲、乙、丙、丁的面积和是（1+3+3+3）份，据此用大长方形的面积除以甲、乙、丙、丁的面积的总份数，求出 1 份的面积，就是甲的面积，即甲的面积480（1+3+3+3）48（平方厘米），再用甲的面积乘 3 就是乙、丙、丁的面积，即乙的面积483144（平方厘米），乙是一个正方形，所以乙的边长是 12 厘米，再用甲的面积除以乙的边长积是甲的宽，用甲的宽加上乙的边长就是大长方形的宽，再用丙、丁的面积和除以大长方形的宽，就是丙、丁的长，再用丙或丁的面积除以丙或丁的长就是丙、丁的宽，再根据“长方形的周长（长+宽）2”分别求出甲、乙、丙、丁的周长，再相加即可解答。【规范解答】解：480（1+3+3+3）4801048（平方厘米）483144（平方厘米），所以正方形乙的边长是 12 厘米长方形甲的长是 12 厘米，所以长方形甲的宽是：48124（厘米）大长方形的宽：4+1216（厘米）长方形丙、丁的长为：（1442）162881618（厘米）长方形丙、丁的宽为：144188（厘米）长方形甲的周长：（12+4）216232（厘米）长方形乙的周长：12448（厘米）长方形丙、丁的周长：（18+8）226252（厘米）32+48+52+5280+104184（厘米）答：甲、乙、丙、丁四个长方形的周长总和是 184 厘米。故答案为：184。【考点剖析】根据和倍问题求出乙的面积，进一步求出乙的边长是解题的突破口，再进一步分别求出其余三个长方形的长和宽，最后根据“长方形的周长（长+宽）2”解答即可。15（2 分）如图，已知四边形ABCD和四边形CHFG是正方形，长方形ADHE的长 50 厘米，宽 36 厘米。则长方形BEFG的周长是72厘米。【思路点拨】由于四边形 CHFG 是正方形，故 BEFG 的宽 BE、GF 的长就等于 CG、FH 的长，这就表明长方形 BEFG 的周长恰好等于长方形 ADHE 宽的 2 倍，据此解答即可。【规范解答】解：36272（厘米）答：长方形 BEFG 的周长是 72 厘米。故答案为：72 厘米。【考点剖析】运用转化的方法，把长方形 BEFG 的周长转化为长方形 ADHE 宽的 2 倍是解题的关键。三解答题（共三解答题（共 1212 小题，满分小题，满分 7070 分）分）16（5 分）如图是由三个相同的长方形纸片组成的一个“5”字，已知长方形长 4 厘米，宽 2 厘米，“5”字周长是28厘米【思路点拨】根据图形，周长可以从两部分来计算：（1）横着看，上面与下面的边长都是 2 条长方形的长组成；（2）竖着看：左面与右面的边长都是 1 条长方形的长和 1 条长方形的宽组成的，由此利用长方形的长和宽的长度，即可求得这个图形的周长【规范解答】解：根据题干分析可得：422+（4+2）2，16+12，28（厘米），答：它的周长是 28 厘米故答案为：28【考点剖析】此题抓住周长的定义，分别从横着和竖着的线段中找出组成这个图形的周长的边，然后代入数据进行计算即可解决问题17（5 分）AB长 200 米，BC长 140 米，CD长 20 米，老鼠从A以每分钟 60 米的速度沿阶梯状路线向洞穴D跑，猫从A以每分钟 80 米的速度沿B、C、D方向堵截老鼠，猫能否捉住老鼠？（填能或不能）【思路点拨】分别求出猫、老鼠从 A 到 D 行的路程，所用时间，即可得出结论【规范解答】解：猫从 A 到 D 行的路程200+140+20360 米，所以时间360804 分钟 30 秒；老鼠从 A 到 D 行的路程300+14020320 米，所以时间320605 分钟 20 秒；所以猫可以捉住老鼠【考点剖析】本题考查路程、速度、时间的关系，解题的关键是求出猫、老鼠从 A 到 D 行的路程18（5 分）是一块小麦地，已知条件如图这块地的周长是200米【思路点拨】此图形的周长与边长为 50 米的正方形的周长相等，利用正方形周长公式即可求解【规范解答】解：504200（米）；答：这块地的周长是 200 米故答案为：200【考点剖析】此题主要考查正方形周长公式，关键是明白此图形的周长与边长为 50 米的正方形的周长相等19（5 分）如图，为了求得其中图形的周长，至少需要知道其中4条边的长度【思路点拨】如图所示，AP+NM+OH+GF+EDBC，PN+CDAB，OM+EFGH，故知道 BC，AB，GH，CD，即可得出结论【规范解答】解：如图所示，AP+NM+OH+GF+EDBC，PN+CDAB，OM+EFGH，故知道 BC，AB，GH，CD，即可求出图形的周长故答案为 4【考点剖析】本题考查巧算周长，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键20（5 分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1 楼到 2 楼共 15 级台阶，每级台阶高 16 厘米，每级台阶进深26 厘米，已知楼梯宽 3 米，要在 1 楼到 2 楼的楼梯上铺设每平方米 80 元的地毯，则买地毯至少需要多少钱？【思路点拨】地毯的总长度为 AC+BC，AC 的长度每级台阶高度15，BC 的长度15，已知了楼道的宽度，即地毯的宽度，可由长方形的面积公式 Sab，求出地毯的总面积，再根据：总价单价面积计算即可【规范解答】解：16 厘米0.16 米，26 厘米0.26 米，（0.16+0.26）15380，0.4215380，1.261580，18.980，1512（元）答：买地毯至少需要 1512 元【考点剖析】解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算21（5 分）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6 厘米，问：图（1），图（2）中深色的区域的周长哪个大？大多少？【思路点拨】图（1）中画深色的区域的周长恰好等于大长方形的周长；图（2）中画深色的区域的周长明显比大长方形周长小二者相差 2AB【规范解答】解：图（1）中画深色的区域的周长恰好等于大长方形的周长；图（2）中画深色的区域的周长明显比大长方形周长小故图（1）中画深色的区域的周长比图（2）中画深色的区域的周长大从图（2）的竖直方向看，ABaCD；图（2）中大长方形的长是 a+2b，宽是 2b+CD，则 ABaCD（a+2b）（2b+CD）6（厘米），6212（厘米）答：图（1）中画深色的区域的周长比图（2）中画深色的区域的周长大，大 12 厘米【考点剖析】考查了长方形的周长的比较，本题关键是得到图（1）和图（2）的周长相差 2AB22（6 分）一张长方形纸长 20 厘米，宽 12 厘米，现在沿着对角线对折（见图），阴影部分图形的周长是多少？【思路点拨】沿着对角线对折（见图），阴影部分图形的周长还是原来长方形周长，长与宽的和没有变【规范解答】解：（20+12）232264（厘米）答：阴影部分图形的周长是 64 厘米【考点剖析】根据考查了学生观察能力和空间想象能力，关键是明确对折后阴影部分图形的周长和原来长方形的长和宽有何关系23（6 分）如图所示，一矩形被分割成 9 个互不重叠的正方形，该矩形的长与宽为互质的正整数，求此矩形的周长。【思 路 点 拨】令 a、b 分 别 为 两 个 最 小 正 方 形 的 边 长，且 a b，如 图：标出每个正方形的边长，则矩形左边的边长 5a+3b+（8a+4b）13a+7b 与其右边的边长 4a+4b+（4a+5b）8a+9b 相等，即 13a+7b8a+9b，据此可得 5a2b，据此可求出长与宽的比，再根据长与宽为互质的正整数求出长与宽分别是多少，再根据长方形周长的求法解答即可。【规范解答】解：如图：设 a、b 分别为两个最小正方形的边长，且 ab。5a+3b+（8a+4b）13a+7b4a+4b+（4a+5b）8a+9b所以 13a+7b8a+9b，所以 5a2b所以 b2.5a（5a+3b+3a+2b+4a+4b）：（13a+7b）（12a+9b）：（13a+7b）（12a+92.5a）：（13a+72.5a）34.5a：30.5a345：30569：61因为 69 和 61 是互质的正整数，所以长方形的长是 69，宽是 61。（69+61）21302260答：矩形的周长是 260。【考点剖析】舍出最小的两个小正方形的边长分别为 a、b，其它正方形的边长就都可以表示出来，根据长方形的宽不变，求出 a 与 b 的关系，再求出大长方形的长与宽的比，再根据长与宽互质，求出大长方形的长和宽即可解答。24（6 分）大长方形已被分割为若干小长方形，如果其中几个小长方形的周长已经给定（如图，单位：厘米），最大的长方形的周长是多少？【思路点拨】给图形中的线段进行编号如下：根据长方形的特点：对边相等，先求出未知的小长方形的周长，再找出大长方形的周长与已知周长的小长方形周长之间关系，从而解决问题【规范解答】解：如图，给图中线段进行编号：对于左上角的部分图形：通过对比知道：de1，那么“？”的周长比下面长方形的周长多：2（de）212；所以？为：12+214；则进一步可以填出：大长方形的周长可以表示为：（a+b+c+d+e+f）22（a+e）+2（b+f）+2（c+d）12+8+828（厘米）答：最大的长方形的周长是 28 厘米【考点剖析】根据长方形的特点，以及长方形周长的公式，进行代换求解即可25（6 分）图是一块宅基地的平面图，其中相邻的两条线段都互相垂直求：（1）这块宅基地的周长；（2）这块宅基地的面积【思路点拨】观察图形可知，把这个图形中竖着的小线段向左右平移，横着的小线段向上下平移，则这个宅基地的周长等于长是 40+20+20674 米，宽是 20+10+1242 米的长方形的周长与两条 6 米的线段的长度之和；这个宅基地的面积则等于这个大长方形的面积减去外部分 5 个小长方形的面积之差，据此利用长方形的周长和面积公式计算即可解答【规范解答】解：长：40+20+20674（米），宽：20+10+1242（米），所以宅基地的周长是：（74+42）2+62，232+12，244（米），面积是：7442（7448）12167（4212167）40（10+12）（744020）106，310831211228030860，2036（平方米），答：这块宅基地的周长是 244 米，面积是 2036 平方米【考点剖析】此题主要考查利用平移的方法求不规则图形的周长和利用割补的方法求不规则图形的面积的灵活应用26（8 分）一块长方形木板，如果按长、短不同的两组边分别截去 4 分米，则面积减少了 168 平方分米，请问：原来长方形的周长是多少分米？【思路点拨】如图所示：，假设长、宽各截去 4 分米后剩下的长为 b 分米，剩下的宽为 a 分米，则截去的部分的面积为：4b+4a+44168，求出 a+b（16816）438，原来长方形的周长为：（b+4+a+4）2，据此代入（a+b）的值计算即可【规范解答】解：如图所示：，设长、宽各截去 4 分米后剩下的长为 b 分米，剩下的宽为 a 分米，4b+4a+441684（a+b）168164（a+b）152，4（a+b）41524a+b38，原长方形的周长为：（b+4+a+4）2（38+8）246292（分米）答：原来长方形的周长是 92 分米【考点剖析】解决本题关键是根据图形表示出截去的部分的面积，进而计算出剩下的长方形的长和宽的和，再根据长方形的周长公式计算即可27（8 分）半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【思路点拨】由于小铁环的半径为 25 厘米，大铁环的半径为 50 厘米，可得小铁环的半径是大铁环半径的一半根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的 2 倍，即小环沿大环转 2 个周长时又回到原位，再减去公转的 1 圈，可得小环自身转动的圈数【规范解答】解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的 2 倍，即小环沿大环转 2 个周长时又回到原位，其中有 1 个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，因此，小环自身转动 1 圈【考点剖析】本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周长