重庆市巴蜀中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题含答案.pdf

高二数学试卷高二数学试卷第第页（共页（共 4 4 页）页）1高高 2024 届高二（下）月考届高二（下）月考数学试卷数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分 150 分，考试用时 120 分钟。一、单选题：一、单选题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每个小题给出的四个选项中，只分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1.1096 等于（）A.710AB.610AC.510AD.410A2.512x的展开式的第 3 项的系数为（）A-40B40C-80D803.以“课程涵养人生，教育向美而行”为主题的第 4 届课程博览会开幕了，4 名同学从餐桌上的科学、重庆古迹遗址寻踪、高中生职业生涯规划三门选修课程中选择一门课程学习，每人限选其中的一门课程，有（）种不同的选法.A9B24C64D814.已知na为递减等比数列，10a，1324514a aaa，则6S（）A6316B3116C2116D21165.央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件 A 为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件 B 为“甲和乙选择的景点不同”，则P B A（）A925B825C89D24256.2022 年男足世界杯于 2022 年 11 月 21 日至 2022 年 12 月 17 日在卡塔尔举行现要安排甲、乙等 6名志愿者去 A，B，C，D 四个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A120B240C360D4807.已知1F、2F为椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，点 Q 在椭圆 C 上，且12QFQF，2QF的延长线与椭圆交于点P，若15sin13FPQ，则该椭圆离心率为（）高二数学试卷高二数学试卷第第页（共页（共 4 4 页）页）2A53B55C33D358.不等式0ln2xaexxxx对任意0 x 都成立，则实数a的最大值为（）Ae2Be23Ce1D1二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知数列 na的前 n 项和为nS，若1152nnaaa，则下列说法正确的是（）A na是递增数列B数列nS中的最小项为6SC数列nSn是等差数列D23()mmmSNSSm、成等差数列10.袋中有 6 个大小相同的小球，4 个红球，2 个黑球，则（）A.从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为16；B.从袋中随机一次摸出 2 个球，则 2 个球都是黑球的概率为115；C.从袋中随机一次摸出 2 个球，则 2 个球是 1 红 1 黑的概率为815；D.从袋中随机依次一个一个不放回的取球，则前两次都是黑球的概率为11511.已知函数 logaf xxx（0a且1a），则下列说法正确的是（）A当ea 时，函数 f x在1x处的切线方程是032yx；B当ea 时，0)(xf恒成立；C当()f x有 1 个零点时，a的取值范围为10 a；D当21eae时，()f x有 2 个零点.12.已知1F、2F分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，过点2F的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，记12AFF的内切圆1O的半径为1r，12BFF的内切圆2O的半径为2r.若双曲线的离心率e=2，则下列说法正确的是（）A以1O2O为直径的圆与直线 AB 相切B21 2rraC1O、2O在直线xa上D12rr的范围是2,2 3aa三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。高二数学试卷高二数学试卷第第页（共页（共 4 4 页）页）313.已知函数()ln2f xx，fx为 fx的导函数，则(1)f 14.51ax的展开式各项系数的和是1，则 a=.15、六名同学站成一排照相，其中甲、乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是_（结果用数字表示）16.已知抛物线22(0)Cypx p：的焦点为F，过F的直线l与C交于BA,两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M，则FMAB四、解答题：本题共 6 小题，第 17 小题 10 分，其余小题每题 12 分，共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设=3x是函数 323fxaxbxxc的一个极值点，曲线 yf x在 x=1 处的切线斜率为 8(1)求 fx的单调区间；(2)若 fx在闭区间1,1上的最大值为 10，求 c 的值18.等差数列 na的前n项和为nS，35a，其中125,a a a成等比数列，且数列 na为非常数数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设11nnnba a，数列 nb的前n项和记为nT，求nT.19.如图，在圆柱1OO中，PC 是圆柱的一条母线，ABCD 是底面圆 O 的内接四边形，AB 是圆 O 的直径，/CD AB，E 为 PB 上一点.(1)求证：ACCE；(2)若112CDPCAB，E是PB的中点，求二面角PACE的余弦值高二数学试卷高二数学试卷第第页（共页（共 4 4 页）页）420.袋中装有 4 个大小相同的小球，编号为 1、2、3、4，现从袋中有放回地取球 2 次。（1）求 2 次都取得 3 号球的概率；（2）记这两次取得球的号码的最大值为X，求X的分布列。21.如图所示，已知 A、B 分别为双曲线 E：2214xy的左、右顶点，M 为直线 x=8上的动点，若直线MA 与 E 的另一交点为 C，直线 MB 与 E 的另一交点为 D 点。(1)设直线 AC，BC 的斜率分别是21,kk，求证：21kk为定值；(2)求证：直线 CD 恒过定点，并求出定点坐标。22.已知函数 222 e1xf xxa x(1)若 a=0，（）求 f x的极值（）设 f mf nmn，证明：3mn(2)证明：当ae时，f(x)有唯一的极小值点0 x，且02332f xee.高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页1高高 2024 届高二（下）月考届高二（下）月考数学参考答案数学参考答案一、单选题一、单选题12345678CBDACBDA1.C510=A1096，所以选 C2.B由二项式展开式的通项公式得：2222223552240TCxC xx，所以第 3 项系数为 40.3.D因为每人限报一门课程，所以每人有 3 种选择，按照分步计数原理，共有4381种.4.A设递减等比数列 na的公比为 q，因为10a，故01q3112450,1,4aa aaa，可得2411,4aa，则公比24211,42aqqa，故212aaq，故166612 1(1)632111612aqSq5.C由题意知事件 A：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含 1124CC19n A 种情况，事件 AB：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择洪崖洞”包含1124CC8n AB 种情况，所以 89n ABP B An A.6.B将 6 人按 3，1，1，1 分成四组，且甲、乙在同一组的安排方法有14C种，将 6 人按 2，2，1,1 分成四组，且甲、乙在同一组的安排方法有24C种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为441424CCA2407.D如图所示：由题意可知，1PQQF，设113PFt，则15QFt，12PQt，由椭圆定义可得212213PFaPFat，22212252=2515QFtPFtaatta，所以123aQF，243aQF，高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页2在12Rt QFF中，由勾股定理有2221212QFQFFF，即222245)4333aace（8.A不等式)0ln0ln22xaexxxxaexxxxxx（，设2ln()xxxxxf xe,即求()f x的最小值，xexxxxf)ln)(1()(，其中2(ln)ln2xxxxxxln0 xx恒成立，(0,1)x时，()0fx；(1,)x，()0fx()f x在(0,1)单减，(1,)单增，min2()(1)f xfae，所以选 A二、多选题二、多选题9101112ACBCDABDABC9.AC12,20.nnnaaadA是公差为 的等差数列，所以是递增数列，故选Q2156,3nnaSnnnSB=,时，故 错误；最小，Q6,nnSSnCnn是等差数列故选；，Q2322322236,56,mmmmmmmmSSmm SSmmmNSSSSD故 错误.，Q10.B C D对于 A：概率为311612CCP，所以错误；对于 B：概率为1512622CCP，所以正确；对于 C：概率为158261214CCCP，所以正确；对于 D：概率为1512622AAP，所以正确。11.ABD对于 A：当ea 时，11ln()2f xxxfxxx，21)1(f，又1)1(f，所以在1x处的切线方程是032yx，A 正确；对于 B：112ln()=22xf xxxfxxxx，04ln2)4()(min fxf，B 正确xxaaxxxxxfalnlnlnlnlog0)(设)0(ln)(xxxxh，则xxxxh2ln2)(，高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页3令20)(exxh()h x在（0，2e）单调递增，在（2e,+）单调递减，eehxh2)()(2max，0)1(h，0 x时，)(xh；x时，0)(xh()h x的大致图象如下：当ea2ln或0lna102aeae或时，()f x有 1 个零点，这样 C 错误；当220ln1eaaee 时，()f x有 2 个零点，这样 D 正确；12.ABC设12,0,0FcF c，其中222cab.设112212OOOOOxyOxy,，,，1122,A x yB xy，.对于 C，过1O分别作1AF、2AF、12FF的垂线，垂足分别为 D、E、F，所以由切线长定理有1122，ADAEFDFFF EF F，则121212122AFAFADDFAEEFDFEFFFFFa，又因为12122FFFFFFc，所以1FFac.又1,0Fc，所以1Oxa，同理可得2Oxa.则1O、2O在直线xa上，故 C 正确；对于 A，过2O作 AB 的垂线，垂足为 G。因为1OEAB，则12OEOG，设21OOEG、的中点分别为 M、N，则1MNOE，且212211122121MNOEOGrrOO()，所以MNAB，M 到 AB 距离为2112OO故 A 正确。对于 B，因21F O平分2FF A，22F O平分2FF B，2AF B，则1222O F O.在122OO F中，1222O F O，2F Fca.由射影定理可得2122O FO FF F，221 22,2,()ecarrcaa，故 B 正确；对于 D，设直线 AB 方程为2xmya=+，将其与双曲线联立有：2222132xyaaxmya，消去x得：222311290mymaya，则21212221293131，amayyy ymm，222221212121212224344243131，aa maxxm yyax xm y yam yyamm.又AB，两点在双曲线右支，高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页4则12212033310,033xxmmx x .设12O F F，又由对称性设直线 AB 的倾斜角为，其中(0,2.则21122FF OO F A.又由 C 分析知，1303m(,)tan则 2,3 2，所以,4 3，得tan1,3，则112tantanrO FFFa，2222tantan2tanarFFO F Fa，所以121tantanrra，又 1fxaxx在1,3上单调递增，则1214 3tan2,tan3rraaa.故 D 错误.三、填空题三、填空题131415161-21441213.121()(1)12fxfxx=，.14.2令 x=1，则51ax的展开式各项系数的和是5=121aa，所以2a .15.144甲乙看作一个整体，丙与他们去插空，所以共有144222433AAA种不同的站法。16.12设1122(,)(,)A x y B xy,12ABxxP,122ABPkyy，则 AB 的垂直平分线为121212()222yyyyxxyxP，则点12(,0)2xxMP，则121212222xxxxPPFMPAB。四、解答题四、解答题17.【答案】（1）2323faxxbx，由已知得 3018ff，得276303238abab，解得1a，4b 经验证可知符合题意，于是 2383331fxxxxx，高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页5由()0fx，得3x 或13x，由()0fx,得133x，所以 fx的单调递增区间是,3 和1,3，单调递减区间是1(3,)35 分（2）由（1）知 3243f xxxxc，因为 fx在区间1 1,)3上是单调递减函数，在1(,13上是单调递增函数，又(1)f 2c(1)6fc所以其最大值为1610fc，解得4c 5 分18.【答案】解：（1）因为125,a a a成等比数列，所以2215aa a，即21114ada ad，又3125aad解得11,2ad或15,0ad（舍去），所以1 2121nann.5 分（2）111121 212 2121nbnnnn，121 111111111=2 1335212122121nnnTbbbnnnn7 分19.【答案】（1）证明：因为 PC 是圆柱的一条母线，PC 平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以ACPC因为 AB 是圆 O 的直径，所以ACBC又BCPCC，BC、PC 平面PBC，所以AC 平面PBC因为CE 平面PBC，所以ACCE5 分（2）解：因为PC 底面ABCD，ACBC，以点C为原点，CB、CA、CP 分别为x轴、y轴、z 轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，因为112CDOCODAB，所以60OCD因为/CD AB,所以60COB,所以COB是等边三角形，所以221.3BCOCACABBC高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页6则0,0,0C、1,0,0B、0,3,0A，0,0,1P，因为E是PB的中点，则11,0,22E，0,3,0CA，因为BC 底面PAC，易知平面PAC的一个法向量为1,0,0mCB，设平面ACE的法向量为,nx y z，0,3,0CA，11,0,22CE，由3011022n CAyn CExz ，取2x，可得2,0,2n，因为22cos,21 2 2m nm nmn ，由图可知，二面角PACE为锐角，故二面角PACE的余弦值为22.7 分20.【答案】解析：（1）2 次都取得 3 号球的概率1614141P4 分（2）随机变量X的取值为 1，2，3，4，则161)41()1(2XP，1634)41()2(2222AXP，1654)41()3(212122CCXP，1674)41()4(212132CCXP所以X的分布列为：X1234P116316516716 8 分21.【答案】（1）设00Cx,y，2,0,2,0AB，220014xy，220014xy200012200012244yyykkxxx为定值。4 分（2）设8,Mt，则10tkkAMAC，由（1）得：tkkACBC2541又6tkkBMBD，所以125625ttkkBDBC高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页7设直线1122:,CD ykxmC x yD xy，2222214841014ykxmkxkmxmxy，则222140,16 140kmk，2121222418,1414mkmxxx xkk，125)2)(2(2121xxyykkBDBC1254)(2)(212121xxxxmkxmkx（02012)(1012()512(221212mxxkmxxk将2121222418,1414mkmxxx xkk代入上式，化简得：220)2)(2(025222kmkmkmkmkkmm或当2mk 时，此时直线为2yk x，经过定点2,0与B点重合，显然不成立，舍去；当2km 时，此时直线为12yk x，所以直线CD过定点(12,0)。8 分22.【详解】(1)（）若 a=0，22 exf xx,则 223 exfxx，由 0fx，得32x 当2,3x 时，0fx；当,32x时，0fx fx的单调递减区间为3,2，单调递增区间为32,故 f x的极小值为331e22f，f x无极大值3 分（）由(1)可知，f x的极值点为32，f(x)在3,2上单调递减，在32,上单调递增，当 x32时，f(x)0.又 20f不妨设mn，则若 f mf nmn，则 m32，32n2，设 26 223,2213xxg xf xxxex efx，则 26 223eexxgxx设 26 2eexxh x，3,22x，则 h x为增函数，则 302h xh322x，230 x，0gx，则 g x在3,22上为增函数，302g xg，32n2，0g n 即 330fmfnfnfn，3fmfn3,22n，331,2n，又3,2m f(x)在3,2上单调递减，3mn，即3mn4 分高二数学参考答案高二数学参考答案第第页页 共共 1010 页页8(2)223 e21xfxxa x，记 p xfx，244 e2xp xxa，24 21 expxx，当12x 时，0px，当 1,02xpx，p x在1,2x 单调递减，当 1,02xpx，px在1,2x单调递增，ae，122e02pxpa，p x在 R 单调递增，即 fx在 R 单调递增，12144e0,15e02efaaf 011,2x 使00fx当 0,0,xxfx，f x在0,xx 单调递减，当 0,0 xxfx，f x在0,xx单调递增，所以当ae时，f(x)有唯一的极小值点0 x，且011,2x 0200023 e210 xfxxa x020023 e12xxa x 00222000002312 e1e22xxf xxa xxx 令 22131e221,2ttttt ，22,152e416ttt 11,02tt 11,2t 在单调递减，2313122tee 即02332f xee.5 分