2023届甘肃省高三第一次高考诊断性考试（一模）理科数学试题含答案.pdf

第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试题答案及评分参考一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 解：以 为原点建立平面直角坐标系，则 （，），（，），直线 的方程为 ，设（，），（，），由 到直线 的距离为 ，得 槡 ，解之得 或 （舍），则（，），（，），又设直线 的方程为 ，由 到直线 的距离为 ，得 槡 ，整理得 ，则 ，又 ，故 ，则直线 的方程为 ，则 （，），故 ，则 ，解得 ，故椭圆的离心率 ，故选 解：函数（）在（，）上单调递增，且 ，所以 ()()()()()()()()()()()()()()()()因为()，故（）在，(上单调递增，在，()上单第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）调递减，因为()()()，所以，函数（）的图象关于直线 对称，由题意可知 ，()，则()()，因为 ，所以 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()槡 ，故选 二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 槡 三、解答题：共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 、题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 分 （分）解：（）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，所以（）；分?当 时，当 时，可得 ，上述两个等式作差可得，也满足 ，故对任意的 ，分?（）由（）得：（）（），所以 ，由 得：，即 ，则满足 的最小正整数 分?（分）解：（）由频率分布直方图得：第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）（），解得 分?（）由频率分布直方图得：这 名学生中周平均阅读时间在 ，(，(，(三组内的学生人数分别为：人，人，人，若采用分层抽样的方法抽取了 人，则从周平均阅读时间在 ，(内的学生中抽取：人，现从这 人中随机抽取 人，则 的可能取值为 ，（）；（）；（）；（），的分布列为：数学期望 （）分?（），理由如下：由频率分布直方图得学生周平均阅读时间在（，内的概率为，从该校所有学生中随机抽取 名学生，恰有 名学生周平均阅读时间在（，服从二项分布 （，），（）（）（）（），由组合数的性质可得 时 （）最大 分?（分）解：（）证明：在图乙中，过 作 ，交 于 ，连接 ，则 ，所以，共面且平面 平面 ，因为 ，所以 ，又 为正方形，所以 ，第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）由 ，得 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，又 平面 ，平面 ，所以 平面 分?（）由（）知 ，所以 ，则分别以 ，为 ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由 ，得 ，()，()，()，所以 ，()，()，设平面 的一个法向量为 ，()，则 ，令 ，得 ，()，又 ，()，则 ，()，()，设平面 的一个法向量为 ，()，则 ，令 ，得 ，()，设二面角 的平面角为 ，则 槡 槡 槡 ，如图所示二面角 的平面角为钝角，所以平面 与平面 所成角的余弦值为 槡 分?（分）解：（）动圆过定点，()，且与直线 相切，曲线 是以点，()为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为：分?（）设直线 的方程为 （），设 （，），（，），联立 （），可得 （），则 （）（），且 ，分?第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）故 （，），同理可得 （，），则直线 的方程为 （），又 ，直线 的方程可化为 （）（），故直线 经过定点 （，），所以 到直线 的距离的最大值为 （）（）槡 分?（分）解：（）证明：（）（）的定义域为（，），令 （），则 （），当 时，（），函数 （）为增函数；当 时，（），函数 （）为减函数，故 （）（），所以当 时，即 （）分?解：令 （），则 （），当 时，（），函数 （）为增函数；当 时，（），函数 （）为减函数，故 （）（），要让 （）对 恒成立，只需 （），令 （），则 （），可知当 时，（），函数 （）为增函数，又因为当 时，（）（），而 （），所以当 时，（），所以 的最大值为 分?证明：由可知，当 取最大值时，（），不妨设 ，要证对于，（，），恒有（）（），需证对于，（，），恒有 ，令 （），则 （）（）（）（），由（）知 ，由知 ，即 ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可第一次诊断理科数学答案第 页（共 页）得 ，所以 （）（），所以 （）是（，）上的增函数，所以 （）（），因此，当 取最大值时，对于，（，）（），恒有（）（）分?（二）选考题：共 分 请考生在第 、题中选定一题作答，并用 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑 按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 选修 ：坐标系与参数方程（分）解：（），所以（）（），即为圆 的普通方程因为 ，：，所以 的直角坐标方程为 分?（）圆心 （，）到直线 ：的距离 ，因为点 是直线 上任意一点，所以 ，所以四边形 面积 槡 槡 槡槡 即当 时，四边形 面积取得最小值为槡 分?选修 ：不等式选讲（分）解：（）因为 （），由 （），得 ，或 ，或 ，解得 或 或 ，故所求不等式的解集为 分?（）因为 （）（），当且仅当()()时等号成立，即 或 时等号成立，所以 ，则 的取值范围为 或 分?