2023年广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（广东一模）数学试题含答案.pdf

数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）启用前注意保密 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学参考答案评分标准：本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号答案二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分。题号 答案 三、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。请把答案填在答题卡的相应位置上。槡 或槡()四、解答题：本大题共小题，共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解：（）因为 ，所以 （），分?整理得 ，分?由正弦定理得 ，分?由余弦定理得 ，分?因为 （，），所以 分?数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）（）()槡分?槡 槡 槡槡 ()槡，分?在 中，因为，所以 ，分?所以 ，所以 ()，所以槡槡 ()槡槡，所以 的取值范围为槡，槡(分?解：（）当 时，所以 或 （舍去），分?当 时，有 ，分?两式相减得 ，分?整理得（）（），分?因为 的各项都是正数，所以 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，分?所以 （）分?（）由（）得 （），则（）()，分?所以 ()()，分?由（）得 ，分?所以 ()()，分?因为 （）（）（），所以，故 ，数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）所以当 时，分?解：（）如图，取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，分?又因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，所以 平面 ，分?同理可得 平面 ，所以 ，分?又因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ，分?因为点 ，分别是 ，中点，所以 ，又因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ，分?又因为 ，平面 ，所以平面 平面 分?（）方法一：因为 ，所以 ，由（）知 ，平面 ，平面 ，所以 ，所以 ，两两相互垂直，分?如图，以点 为坐标原点，分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为 槡 ，槡 ，所以 ，则 （，），（，），（，），分?平面 的一个法向量为 （，），分?设平面 的法向量为 （，），由 （，），（，），得 ，即 ，解得 ，取 ，得 （，），分?设平面 和平面 的夹角为 ，则 ，槡 槡 ，所以平面 和平面 的夹角的余弦值为槡 分?方法二：因为平面 平面 ，所以平面 和平面 的夹角即二面角 如图，过点 作 ，垂足为点，过点 作 交 于点 ，则 为二面角 所成平面角分?数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）在 中，槡槡 ，在 中，槡槡 ，在直角梯形 中，槡槡 ，槡 ，所以 （）（槡）槡槡 ，分?在 中，槡，所以 槡 槡，利用三角形等面积可得 槡槡 槡 槡 ，所以 槡 槡，槡槡，分?因为 ，所以 槡，槡 ，分?过点 作 于 ，则 槡，槡槡，所以 ()槡()槡槡，分?在 中，槡，槡 槡，槡 ，所以 槡 槡槡 槡 ，所以平面 和平面 夹角的余弦值为槡 分?解：（）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为 ，分?因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数 服从二项分布，即 ，()，分?所以 的所有可能取值为 ，则（）()()，数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）（）()()，（）()()，所以 的分布列为 分?所以 的数学期望为 （）分?（）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数 的所有可能取值为 ，分?则 （），（），（），所以 的分布列为 分?所以 的数学期望为 （）分?（）（答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）因为（）（）两问的数学期望相等，第（）问中两次奖的概率比第（）问的大，即 ，第（）不中奖的概率比第（）问小，即 ，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（）问方式进行抽 分?回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（）问方式进行抽奖 分?解：（）当点 ，点 和点 为椭圆的顶点时，恰好构成边长为 的等边三角形，数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）当点 ，点 和点 中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点 ，点 为上顶点和下顶点，点 为右顶点，此时，槡 ，分?当点 ，点 和点 中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点 ，点 为左顶点和右顶点，点 为上顶点，此时，槡 （舍去），分?所以椭圆的标准方程为 分?（）设 （，），（，），（，），因为 ，所以 ，当直线 斜率不存在时，即 ，则 （，），因为点 在椭圆上，所以，则有，所以 槡 ，点 到 的距离为 槡，此时 槡 槡 分?当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，联立得 ，消去 整理得（），满足 （）（）（）（），由韦达定理得 ，（），分?所以 （），所以 （），（），分?又因为点 （，）在椭圆 上，所以 ()()，化简得 ，分?所以 槡 槡 ()（）槡 槡槡 槡 槡槡 槡 槡 槡 槡，分?数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页）所以点 到直线 的距离 槡 槡 槡，分?所以 槡 槡 ，综上所述，的面积为 分?解：（）求导得 （）（），分?所以当 （）时，；当 （）时，所以 （）在（?，）上单调递减，在（，?）上单调递增，分?所以 （）有极小值 （），无极大值分?（）方法一：由题知不等式 （）在 （，?）上恒成立，则原问题等价于不等式 在 （，?）上恒成立，分?记 （），则 （）（）（）()，分?记 （），则 （）恒成立，所以 （）在（，?）上单调递增，又()，（），所以存在，()，使得 （），分?即当 时，（），此时 （）；当 时，（），此时 （），所以 （）在（，）上单调递减，在（，?）上单调递增，分?由 （），得 ，即 ，所以 （）（），分?当 时，因为 （），所以不等式恒成立，所以 ；分?当 时，因为存在，()，使得 （），而 ，此时不满足 数学模拟测试（一）参考答案第 页（共 页），所以 无解 分?综上所述，分?（）方法二：由题知不等式 （）在 （，?）上恒成立，原问题等价于不等式 在 （，?）上恒成立，分?即 （）在 （，?）上恒成立记 （），则 （），当 （?，），（），（）单调递减，（，?），（），（）单调递增，（）（）因为 ，（）即 （），分?当 时，因为 ，所以不等式恒成立，所以 ；分?当 时，令 （），显然 （）单调递增，且()，（）故存在，()，使得 （），即 ，而 ，此时不满足 ，所以 无解 分?综上所述，分?