2023届湖南省岳阳市高三教学质量监测（二）数学试题含答案.pdf
高三二模数学答案第 1 页共 8 页岳阳市 2023 届高三教学质量监测（二）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B2C3D4B5D6C7D8A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9AC10BD11ACD12CD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 2141015232xx+（答案不唯一，37,23m均可）16 3,454003四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分 10 分）解：（1）在ABC中，由ACBCCsinsinsincossin3+=+可得CCAACCCAACACsinsincossinsin3sin)sin(sincossinsin3+=+=+21)6sin(1cossin3,0sin=AAACQ2 分)65,6(6),0(AAQ366=AA4 分（2）2,3)(21sin21=+=rArcbaAbcSABC且cbbcacbabc=+=43)(223即5 分由余弦定理有：bccbaAbccba+=+=222222cos26 分bccbcbbc3)()43(22+=所以于是=+=+时取当且仅当cbcbbccb,)2(1631633)(232高三二模数学答案第 1 页共 8 页所以338380364)(32)32+cbcbcbcb或（8 分346tan223,2=+=cbAr知由所以3838min=+）（cbcb10 分18（本题满分 12 分）解：（1）由1122+=nnnSS得12211+=+nnnnSS，1 分所以数列nnS2是以2121=S为首项，公差为 1 的等差数列2 分212)1(212=+=nnSnn，即12)12(=nnnS3 分当2n时，22112)12(2)32(2)12(+=nnnnnnnnnSSa5 分又11a=不满足上式，所以21,2)12(12=+=nnnann6 分（2）由（1）知12)12(=nnnS，7 分nnnnnnb)32()21(32)12(1=8 分nnnnnnnnbb)32)(625()32)(21()32)(21(11=+=+9 分当2n时，nnbb+1；当3n时，nnbb54321bbbbb10 分所以nb 的最大值为27203=b，依题意271827202+mm，解得1m。12 分19（本题满分 12 分）解：(1)证明：CDAD，CDBD，ADBDD，CD平面 ABD，AB平面 ABD，CDAB高三二模数学答案第 1 页共 8 页又M，E 分别为 AC，BC 的中点，MEAB，CDME.4 分(2)选，在图 1 所示的ABC 中，由 tan 2B432tan B1tan2B，解得 tan B2 或 tan B12(舍去)5 分设 ADCDx，在 RtABD 中，tan BADBDx3x2，解得 x2，BD1.6 分以点 D 为原点，DB，DC，DA 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的坐标系 Dxyz，D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E12，1，0，则BM(1,1,1)设 N(0,a,0)，则EN12，a1，0.ENBM，ENBM0，即12，a1，0(1,1,1)0，解得 a12，N0，12，0，当DN12(即N是CD的靠近D的一个四等分点)时，ENBM.8 分设平面 BMN 的一个法向量为 n(x，y，z)，且BN1，12，0，由nBN0，nBM0，得x12y0，xyz0，令 x1，则 n(1,2，1)取平面 CBN 的一个法向量 m(0,0,1)，10 分则|cosm，n|mn|m|n|(0，0，1)(1，2，1)|1222(1)266，平面 BMN 与平面 CBN 的夹角的余弦值为66.12 分选，在图 1 所示的ABC 中，设BDBC，则ADABBDABBCAB(ACAB)(1)ABAC，高三二模数学答案第 1 页共 8 页又AD23AB13AC，由平面向量基本定理知13，即 BD1.以点 D 为原点，DB，DC，DA 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E12，1，0，则BM(1,1,1)设 N(0，a,0)，则EN12，a1，0.ENBM，ENBM0，即12，a1，0(1,1,1)0，解得 a12，N0，12，0，当 DN12(即 N 是 CD 的靠近 D 的一个四等分点)时，ENBM.设平面 BMN 的一个法向量为 n(x，y，z)，且BN1，12，0，由nBN0，nBM0，得x12y0，xyz0，令 x1，则 n(1,2，1)取平面 CBN 的一个法向量 m(0,0,1)，则|cosm，n|mn|m|n|(0，0，1)(1，2，1)|1222(1)266，平面 BMN 与平面 CBN 的夹角的余弦值为66.选，在图 1 所示的ABC 中，设 BDx(0 x3)，则 CD3x，ADBC，ACB45，ADC 为等腰直角三角形，ADCD3x.折起后 ADDC，ADBD，且 BDDCD，AD平面 BCD，又BDC90，SBCD12x(3x)，VABCD13ADSBCD13(3x)12x(3x)16(x36x29x)，x(0,3)，令 f(x)16(x36x29x)，f(x)12(x1)(x3)，当 0 x0；当 1x3 时，f(x)12，且+=+=+41248221221myymmyy9 分直线 EG 的斜率为axy11，直线 FG 的斜率为axy22由=+FGEGkkaxy11axy220 得：0)()(1221=+axyaxy0)4()4(1221=+amyyamyy10 分即04)4(8424)(4(2222121=+=+mmammyyaymy恒成立。解得1=a即存在 x 轴上的定点()0,1G。12 分22（本题满分 12 分）已知函数()ln1f xxx=+.解：（1）()f x的定义域为()()110,1xfxxx+=，1 分当()0,1x时，()()0,fxf x单调递增；当()1,x+时，()()0,fxf x4 分当0a 时，函数()g x在()01，上单调递增，在()1+，上单调递减，此时，不存在实数()2,3b，使得当(0,xb时，函数()g x的最大值为()g b.当0a 时，令()0gx=有1211,2xxa=，(i)当12a=时，函数()g x在()0,+上单调递增，显然符合题意.高三二模数学答案第 1 页共 8 页(ii)当112a，即102a时，函数()g x再()0,1和1,2a+上单调递增，在11,2a上单调递减，()g x在1x=处取得极大值，且()1=0g，要使对任意实数()2,3b，当(0,xb时，函数()g x的最大值为()g b，只需()20g，解得1ln2,a 又210 a，所以此时实数a的取值范围是212ln1a.6 分(iii)当112a时，函数()g x在10,2a和()1+，上单调递增，在1,12a上单调递减，要对任意实数()2,3b,当(0,xb时，函数()g x的最大值为()g b，需()122gga代入化简得1ln2ln2 104aa+，令()11ln2ln2 142h aaaa=+，因为()11104h aaa=恒成立，故恒有()11ln2022h ah=，所以12a 时，式恒成立，综上，实数a的取值范围是)1 ln2,+.8 分（3）由题意，正项数列 na满足：111,ln2nnnaaaa+=+由（1）知：()()ln110f xxxf=+=，即有不等式()ln10 xxx由已知条件知()10,ln21221nnnnnnnaaaaaaa+=+=+，故()1121nnaa+10 分从而当2n 时，()()()2112112121212nnnnnaaaa+=又21nna ，对1n=也成立，所以有()21nnanN12 分
