2023届湘豫名校联考高三下学期第二次模拟考试（4月）理科数学试题含答案.pdf

数学?理科?参考答案?第?页?共?页?湘 豫 名 校 联 考?年?月高三第二次模拟考试数学?理科?参考答案题号?答案?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?命题意图?本题考查不等式的求解和集合的交集运算?考查逻辑推理能力和数学运算的核心素养?解析?由?得?所以?又因为?所以?故选?命题意图?本题考查复数的模?复数除法以及共轭复数的定义?考查数学运算的核心素养?解析?因为?槡?槡?槡?所以?所以?所以?在复平面内对应的点为?位于第四象限?故选?命题意图?本题考查数据的表示和样本的数字特征?考查数据分析的核心素养?解析?年至?年生产的纪录影片时长的中位数为?分钟?选项错误?年至?年生产的科教影片时长的平均数大于?分钟?选项错误?由方差的定义可知?科教影片时长的方差大于纪录影片时长的方差?所以科教影片时长的标准差大于纪录影片时长的标准差?选项正确?科教影片时长的极差是?分钟?纪录影片时长的极差为?分钟?选项错误?故选?命题意图?本题考查抛物线的标准方程和几何性质?考查直观想象和数学运算的核心素养?解析?由?得?由?得?所以由?四点所围成的四边形为矩形?其周长为?故选?命题意图?本题考查比较大小和对数函数的单调性以及换底公式?考查逻辑推理的核心素养?解析?方法一?因为?所以?故选?方法二?因为?所以?又?所以?故选?命题意图?本题考查空间几何体的三视图和体积?考查逻辑推理?直观想象?数学运算的核心素养?解析?由三视图知?该几何体是由一个棱长为?的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同?圆柱而得到的?其中三棱柱的底面是腰长为?的等腰直角三角形?圆柱的底面半径为?所以该几何体的体积为?故选?命题意图?本题考查等差数列的性质?考查数学抽象和逻辑推理的核心素养?解析?设等差数列?的公差为?因为?所以?所以?因为?所以?所以?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?故选?命题意图?本题考查程序框图?考查逻辑推理的核心素养?解析?第一次循环?第二次循环?第三次循环?第四次循环?第五次循环?第六次循环?第七次循环?输出?故选?命题意图?本题考查正弦函数的性质和图象变换?考查直观想象和逻辑推理的核心素养?解析?因为函数?槡?又?的图象的相邻两个对称中心之间的距离为?所以?的最小正周期?得?把?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的?纵坐标不变?得到?槡?的图象?当?时?所以?槡?槡?故选?命题意图?本题考查导数的几何意义?考查逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?设切点坐标为?则?因为?所以切线的斜率为?切线方程为?将?代入切线方程?得?则?设?则?当?时?单调递减?当?时?单调递减?当?时?单调递增?所以?极小值?极大值?且当?时?画出?的图象如图所示?若曲线?有三条过点?的切线?则?与?的图象有?个交点?由图可得?故选?命题意图?本题考查与外接球有关的体积问题?表面积问题?考查直观想象?逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?如图?所示?设?是圆台的母线?连接?易知?槡?所以?槡?即?槡?因为?槡?槡?所以?圆台?槡?槡?槡?槡?槡?槡?当且仅当?即?槡?负值舍去?时等号成立?除此方法外?还可利用函数求导得?此时?槡?槡?设该圆台外接球的半径为?球心为?显然球心?在?所在的直线上?如图?所示?当圆台两底面在球心异侧?即球心?在线段?上时?设?则?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?显然?所以?即?解得?舍去?如图?所示?当圆台两底面在球心同侧时?显然球心?在线段?的延长线上?设?则?显然?所以?即?解得?所以?此时?外接球的表面积为?故选?图?图?命题意图?本题考查双曲线的几何性质?考查直观想象?逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?如图?过点?作?延长?交?于点?因为?所 以?设?则?因为?所以?所以?因为在?中?所以?即?所 以?在?中?由 余 弦 定 理 得?所以?整理得?所以?槡?故选?二?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?或?命题意图?本题考查平面向量的数量积运算?考查数学运算的核心素养?解析?因为?槡?的夹角为?所以?槡?槡?所以?又因为?槡?槡?所以?所以?与?的夹角为?或?命题意图?本题考查二项式定理?考查逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?因为?槡?的展开式中各项系数之和为?令?得?所以?因为?槡?展开式的通项公式为?槡?令?得?令?得?所以展开式中?的系数为?命题意图?本题考查函数的性质?考查数学抽象和逻辑推理的核心素养?解析?因为?为偶函数?且在?上单调递减?所以?在?上单调递增?当?时?由?得?解得?当?时?由?得?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?解得?所以不等式?的解集为?槡?命题意图?本题考查正弦定理?余弦定理和三角恒等变换?考查数学运算和逻辑推理的核心素养?解析?由?得?由余弦定理得?由正弦定理得?即?又?所以?即?所以?因为?为?的内角?所以?舍去?或?所以?由正弦定理得?因 为?又?所 以?由?得?由?得?结合?可得?所以?槡?槡?所以?的取值范围是槡?三?解答题?共?分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?第?题为必考题?每个试题考生都必须作答?第?题为选考题?考生根据要求作答?一?必考题?共?分?命题意图?本题考查等比数列的定义及通项公式?根据递推关系求数列通项?分组求和法的应用?考查逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?因为?所以?分因为?所以?所以?是首项为?公比为?的等比数列?分故?即?分?由?知?分所以?分?分?分?分?命题意图?本题考查线面平行的判定和利用空间向量求二面角?考查直观想象?逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?如图?连接?取?的中点?连接?因为?所以?且?所以四边形?是平行四边形?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以?因为?平面?平面?所以?平面?分易得点?为?的中点?因为点?为?的中点?所以?因为?所以?又?所以?且?所以四边形?为平行四边形?所以?所以?分因为?平面?平面?所以?平面?因为?所以平面?平面?因为?平面?所以?平面?分?因为四边形?为矩形?所以?因为平面?平面?平面?平面?所以?平面?因为?平面?所以?因为?所以?因为?平面?平面?所以?平面?又?平面?所以?以?为原点?的方向分别为?轴?轴?轴的正方向?建立如图所示的空间直角坐标系?则?所以?分设平面?的法向量为?则?令?得?所以平面?的一个法向量为?分设平面?的法向量为?则?令?得?所以平面?的一个法向量为?分设平面?与平面?所成的锐二面角为?则?槡?槡?槡?所以平面?与平面?所成锐二面角的余弦值为槡?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?命题意图?本题考查事件的独立性?二项分布和离散型随机变量的数学期望?考查逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?记事件?为?甲班每轮比赛得?分?事件?为?甲班每轮比赛得?分?事件?为?甲班每轮比赛得?分?则?分?由题意可得?的所有取值可能为?则由?可得?所以?的分布列为?所以?分?记事件?为?甲班没有获胜?方法一?三轮比赛后?甲班累计得分不高于乙班累计得分的情况有?种?不分先后顺序?则由?可得?分方法二?由?知?分?命题意图?本题考查直线与椭圆的位置关系?定值问题?考查逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?由题意知?槡?即?槡?由?得?槡?分由点?得直线?的方程为?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?即?因为点?到直线?的距离为槡?所以?槡?槡?解得?槡?所以椭圆?的标准方程为?分?由题意可知直线?的斜率存在?设直线?的方程为?即?联立方程?消去?整理得?则?所以?所以?分所以直线?的方程为?令?则?所以?分所以?分所以?所以直线?的斜率为?所以直线?的斜率为定值?分?命题意图?本题考查导数的几何意义?根据零点个数求参数的取值范围?考查逻辑推理?直观想象?数学运数学?理科?参考答案?第?页?共?页?算的核心素养?解析?因为当?时?所以?又?所以切线的斜率为?分所以切线方程为?分令?得?令?得?分所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为?分?方法一?因为?所以?当?时?单调递增?所以?至多有一个零点?分令?则?当?时?因为?所以?所以?单调递减?所以?至多有一个零点?分当?时?令?得?槡?槡?当?即?时?即?单调递增?又?所以?又因为?是连续的函数?且?所以?所以?在?上只有一个零点?分当?或?即?或?时?即?单调递减?因为?设?则?所以?单调递增?所以?即?分因为?槡?即?又因为?是连续的函数?所以?在?上只有一个零点?所以?在?上只有一个零点?并设?分因为?所以?且?提示?韦达定理?又因为?是连续的函数?所以?在?上只有一个零点?分综上可知?当?时?在?上有三个不同的零点?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?故实数?的取值范围为?分方法二?因为?所以?为?的零点?因为当?时?只有一个零点?不满足题意?所以?分当?时?由?得?令?则?有三个不同的零点?只需?与?的图象有两个不同的交点?分因为?所以?为偶函数?令?则?因为当?时?所以?在?上单调递增?分所以?所以当?时?所以?在?上单调递增?因为?为偶函数?所以?在?上单调递减?分因为?所以?所以?即?时?与?的图象有两个不同的交点?即?时?有三个不同的零点?故实数?的取值范围为?分?注?方法二涉及洛必达法则?对学生不作要求?学生用此方法解答也可得分?二?选考题?共?分?请考生在?题中任选一题作答?如果多做?则按所做的第一题计分?命题意图?本题考查参数方程化普通方程?直角坐标方程化极坐标方程?参数的几何意义的应用?考查逻辑推理?数学运算的核心素养?解析?因为直线?的参数方程为?为参数?所以消去参数?得直线?的普通方程为?分易知点?的直角坐标为?由题意知?槡?分设?则?槡?槡?即?即曲线?的直角坐标方程为?分因为?所以曲线?的极坐标方程为?分?由题意可知?点?在直线?上?直线?的参数方程为?槡?槡?为参数?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?将直线?的参数方程代入曲线?的直角坐标方程中?得槡?槡?化简得?槡?分设?两点对应的参数分别为?则?槡?分所以?分?槡?分?命题意图?本题考查双绝对值函数的图象和含参不等式?考查直观想象?逻辑推理和数学运算的核心素养?解析?由题意知?分则?的图象如图所示?由?的图象可知?的值域为?分?由?得?由?得?分若存在?使得不等式?成立?则由?的图象可知?解得?故实数?的取值范围为?分