2023届高考数学7高分突破智取压轴小题07 与三角形相关的范围问题含答案.doc

2023 届高考数学 3 高分突破，智取压轴小题 03与三角形相关的范围问题一方法综述一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解二解题策略二解题策略类型一类型一转化转化为函数为函数（三角函数或二次（三角函数或二次函数函数）解决）解决【例 1】在平面四边形 ABCD 中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形 ABCD 面积的最大值为（）A5 74B5 78C4 2D2 2【来源】江苏省苏州市八校联盟 2020-2021 学年高三上学期第二次适应性检测数学试题【答案】A【解析】由余弦定理知：在ABD中，有2222cosBDABADAB ADA22142 1 4 cos178cosAA ，在BCD中，有2222cosBDCBCDCB CDC2222222 cos88cosCC ，则9178cos88coscoscos8ACAC，由四边形ABCD的面积=三角形 ABD 的面积+三角形 BCD 的面积，故1111sinsin1 4sin2 2sin2222SAB ADACB CDCAC 2(sinsin)AC，在三角形中，易知,(0,)A C，sin,sin0AC，22sinsin(coscos)ACAC2222sinsin2sinsincoscos2coscosACACACAC22cos()4AC，当且仅当AC时等号成立，此时2295 7(sinsin)4sinsin88ACAC，故5 75 72(sinsin)284SAC，故选：A.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.【例 2】（2020广东高考模拟）如图所示，在平面四边形ABCD中，1AB，2BC，ACD是以D为顶点的等腰直角三角形，则BCD面积的最大值为_【答案】212【解析】【分析】设ACb，ACB，ABC，则BCD的面积12sin()sin()244SDCDC，在ABC中，运用余弦定理，表示出AC，根据ACD是以D为顶点的等腰直角三角形，得到DC，代入面积公式，利用三角函数即可求BCD面积的最大值【详解】在ABC中，设ACb，ACB，ABC在ABC中，1AB，2BC，由余弦定理，可得24113cos()44bbbb，由3322 3bbbb，当且仅当3b 时取等号，即有3cos2，由于(0,)则06，利用余弦定理可得：2222cosACBCABBC AB，化简得：254cosb，又因为ACD是以D为顶点的等腰直角三角形，则2215=2cos22DCb，在ABC中，由正弦定理可得：sinsinbAB，即：sinsinb，则2sinsin2CD，由于2222cos(1 sin)CDCD222sinCDCD221sin2CD251=2cossin2221cos2cos2221(2cos)2，即2cos(2cos)2CD所以BCD的面积12sin()sin()244SDCDC22sincos22DCDC222sin(2cos)222DC2222sin(2cos)222211=sincos1222sin()124当=4时，sin()4取最大值 1，所以BCD的面积的最大值为2+12【例 3】（2020湖北黄冈中学高考模拟）已知ABC中，,ABC所对的边分别为 a，b，c，且满足226abc，则ABC面积的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】先求出222(3)(1 cos A)Sa，再证明2242228(3)1 cos16 3)aaaAa（，再利用二次函数的图像和性质求2S的最大值得解.【详解】由题得2222211sin(62)sin(3)sin(3)(1 cos A)22SbcAaAaAa，由基本不等式得22222222,cos22bcabcabcbcAbcbc又因为226abc，所以2222222222 62)125=122 62)124124bcaaaaabcaaa（所以2242222221cos,1cos4 34 316(3)aaaAAaaa（）（）,所以2242228(3)1 cos16 3)aaaAa（，所以22 22=3)(1 cos)SaA（242211=249)(34)1 11616aaa （，21,1SS.此时2410,33abc，故答案为 1【举一反三】1（2020安徽高考模拟）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 A 是 B 和 C 的等差中项，0AB BC ，32a，则ABC周长的取值范围是()A23 33,22B333,2C13 23,22D13 33,22【答案】B【解析】A是B和C的等差中项，2ABC，3A，又0AB BC ，则cos()0B，从而2B，223B，321sinsinsinsin3abcABC，2sin,sinsin()3bB CCB，所以ABC的周长为32sinsin()23labcBB33sin()62B，又223B，25366B，13sin()262B，3332l 故选 B2 若O是ABC垂心，6A且sincossincosBCABCBAC 2sinsinmBCAO，则m（）A12B32C33D36【来源】2020 届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题【答案】D【解析】在ABC中，sinsin0BC，由sincossincosBCABCBACuuu ruuu r2sinsinmBCAOuuu r，得coscos2sinsinCBABACm AOCB，连接CO并延长交AB于D，因为O是ABC的垂心，所以CDAB，AOADDO，所以coscos2sinsinCBABACmADDOCB 同乘以AB 得，coscos2sinsinCBAB ABAC ABmADDOABCB 2coscoscos22cossinsinCBcbcAm AD ABm bA cCB 因为6A，所以2coscos33sinsin2CBcbcmbcCB由正弦定理可得3cossincossin3sinsin2CCBCmBC又sin0C，所以有3coscos3sin2CBmB，而56CABB，所以531coscoscossin622CBBB，所以得到1sin3sin2BmB，而sin0B，所以得到36m，故选：D.3（2020山东高考模拟）在圆内接四边形ABCD中,8,2ACABAD,60BAD,则BCD的面积的最大值为_【答案】6 3【解析】分析：由2ABAD,60BAD,可知ABC为直角三角形，设设BAD=，则BC8tan，8sin 60CDcos，从而23116 3tantan22BCDS，求二次函数的最值即可.详解：由2ABAD,60BAD,可知ABC为直角三角形，其中ACB=90，设BAD=，AB=2r，则BC8tan，4ADrcos，在ACD中，CDADsinCADsinACD，即4CDcossin 60sin 12090，8sin 60CDcos，22sin 60 sin131BC DCsinBCD16 316 3tantan2cos22BCDS令 t=tan，则28 33BCDStt当32t，即3tan2时，BCDS的最大值为338 36 324类型二类型二结合不等式（基本结合不等式（基本不等式不等式）求解问题）求解问题【例 1】已知AB分别为椭圆C：2214xy的左右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线3x 交于M，N两点，PMN与PAB的外接圆的周长分别为1L，2L，则12LL的最小值为（）A54B34C24D14【答案】A【解析】由已知得(2,0)A、(2,0)B，设椭圆C上动点(,)P x y，则利用两点连线的斜率公式可知02PAykx，02PAykx，22222100142222444 PAPBxyyyykkxxxxxx设直线PA方程为：2yk x，则直线PB方程为：124yxk，根据对称性设0k，令3x 得5Myk，14Nyk，即3,5Mk，13,4kN，则154MNkk设PMN与PAB的外接圆的半径分别为1r，2r，由正弦定理得：1sin2NPrMM N，22sinABrAPB，又180QMPNAPB，sinsinMPNAPB111222112 5525442444kkLrrMNkkLrrAB，当且仅当154kk，即510k时，等号成立，即12LL的最小值为54故选：A【例 2】（2020江西高考模拟）在锐角三角形ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若3 sincbA，则tantantanCAB的最小值是_【答案】12【解析】【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出tantan3tantanABAB；根据tantantantantantantantantanABCABCABAB，结合两角和差正切公式可得到223tantantantantan1tantanABABCAB；利用换元的方式可将问题转变为求解33161tt的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出1t，从而利用基本不等式求解出最小值.【详解】由正弦定理可得：sin3sinsinCBA得：sinsincoscossin3sinsinABABABBAsincoscossin3sinsincoscoscoscosABABBAABAB，即tantan3tantanABAB又tantantantantantantantantanABCABCABAB 22tantan3tantantantan1tantan1tantanABABABABAB 令tantanABt，得：22231613333tantantan3161111ttttABCtttttABC为锐角三角形tantantantan01 tantanABCABAB得：tantan1AB，即1t 10t 33tantantan3162 3161211ABCtttt当且仅当3311tt，即tantan2tAB时取等号mintantantan12ABC【例 3】（2020 湘赣十四校联考）在中，角，的对边分别为，若，且恒成立，则 的取值范围是【答案】【解析】又又，当且仅当时取等号设，即当时，恒成立设则可知可得：【举一反三】1在ABC中，已知9AB AC ，cosbcA，ABC的面积为 6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且CACBCPxyCACB ，则1132xy的最小值为（）.A9B34C914D12【来源】福建省仙游第一中学 2021 届高三上学期期中考试数学试题【答案】C【解析】因为9AB AC ，所以cos9bcA，因为ABC的面积为6，所以sin12bcA，所以4tan3A，所以4sin5A，3cos5A，15bc，由于cosbcA，所以35bc，所以5,3cb，所以由余弦定理得：22232cos2592 5 3165abcbcA ，即4a.所以134CACByCPxyx CACBCACB ，因为P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），所以134xy，根据题意得0,0 xy所以3273126xy 所以11321321=323123123 3212xyyxxyxy5323251532=12123 32123 32123124yxyxxyxy，当且仅当32123 32yxxy，即322yx时等号成立，所以31194732146xy.故选：C.2 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，sinsinsinsinacACbBaB，24ba，点 D 在边AB上，且2ADDB，则线段CD长度的最小值为（）A2 33B2 23C3D2【答案】A【解析】由sinsinsinsinacACbBaB及正弦定理，得2acacbab，即222abcab，由余弦定理得，2221cos22abcCab，0,C，3C.由于2ADDB，2212+3333CDCA ADCAABCAAC CBCACB ，两边平方，得2222222214414212112cos2299999999992baCDbaabCbaabbaabba，当且仅当22ba时取等号，即22142123CDba，线段CD长度的最小值为2 33.故选：A.3（2020河南高考模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为,a b c，设ABC的面积为S，若22232abc，则222Sbc的最大值为_【答案】1424【解析】由题得2222222222333223()6cosabbccbcbcabcA221sin12tan26cos12bcASAbcbcA由题得2222222222222222 223,cos322663bcbcbcbcabcbcaAbcbcbcbc所以21914tan11cos22AA ,当且仅当2bc时取等号.所以222Sbc的最大值为1424,故填14.24点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222Sbc中的分母化简成6cosSbcA,第二个难点三强化训练三强化训练1.（2020 安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，的对边分别为，已知，则周长的最大值为（）ABC3D4【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选 C.2.（2020 黑龙江省鹤岗市一模）中，角、所对的边分别为、，且满足，则面积的最大值是（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在中，即，即，因为，所以，在中，由余弦定理可知，且，即，当且仅当时，等号成立，即，所以的最大面积为，故选 A.3（2020山东高考模拟）设锐角三角形ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2,2aBA，则b的取值范围为（）A(0,4)B(2,2 3)C(2 2,2 3)D(2 2,4)【答案】C【解析】由锐角三角形ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2,2aBA，022A，3A BA,32A63A，04A，23cos22A2,2aBA,由正弦定理得12cos2bbAa，即4cosbA2 24cos2 3A，则 b 的取值范围为(2 2,2 3),故选 C.4设锐角ABC的三个内角A.B.C的对边分别为a.b.c，且1c，2AC，则ABC周长的取值范围为（）A(0 22，B(0 33，C(22 33)，D22 33，【来源】备战 2021 年高考数学（文）全真模拟卷（新课标卷）【答案】C【解析】ABC为锐角三角形，且ABC，00202240022263000222ACCBCCCCCC，64C，23cos22C，又2AC，sinsin22sincosACCC，又1c，sinsinacAC，2cosaC，由sinsinbcBC，即2sinsin3sincos2cossin24cos1sinsinsincBCCCCCbCCCC，222cos4cos1 14cos2cosabcCCCC ，令costC，则23()22t，又函数242ytt在23()22，上单调递增，函数值域为(22 33)，故选：C5（2020安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 coscosbCcB，则111tantantanABC的最小值为（）A2 73B5C73D2 5【答案】A【解析】2 coscosbCcB，2sincossinCcosBCB，tan2tanCB.又ABC，tantantanABCBC 22tantan3tan3tan1tantan12tan2tan1BCBBBCBB ，21112tan111tantantan3tantan2tanBABCBBB27tan36tanBB.又在锐角ABC中,tan0B,27272 7tan2tan36tan36tan3BBBB，当且仅当7tan2B 时取等号，min1112 7tantantan3ABC，故选 A.6、（2020 山西省高考模拟）的内角的对边分别为，若的面积为，周长为 6，则 b 的最小值是（）A2BC3D【答案】A【解析】因为的面积为，所以整理得，即，因为，所以又因为周长为 6，所以，即所以，所以 的最小值是 2，故选 A7、（2020 陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（）ABC2D【答案】D【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选 D.8.（2020 湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则 的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，则，所以，由，又因为，所以，即 的取值范围是，故选 D.9（2020山东高考模拟）曲线24xyx的一条切线 l 与,yx y轴三条直线围成的三角形记为OAB，则OAB外接圆面积的最小值为A8 2B8 32C1621D16 22【答案】C【解析】【分析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（00 x,y），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线 yx 求得 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得 AB 的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值【详解】设直线 l 与曲线的切点坐标为（00 x,y），函数2x4yx的导数为22x4yx则直线 l 方程为22000200 x4x4yxxxx，即20200 x48yxxx，可求直线 l 与 yx 的交点为 A（002x,2x），与 y 轴的交点为08B 0 x，在OAB 中，2222000200864|AB|4x(2x)8x323221xx，当且仅当0 x222时取等号由正弦定理可得OAB 得外接圆半径为AB12rAB2 sin452，则OAB 外接圆面积221Sr|AB|1621 2，故选：C10已知三棱锥DABC中，DA平面ABC，2ABAD，3BCAC，则三棱锥DABC体积最大时，其外接球的体积为（）A20 23B64 23C4 53D20 53【答案】D【解析】如图所示：因为DA平面ABC，2ABAD，所以当ABC的面积最大时，此时三棱锥DABC的体积最大.设ACm，则33BCACm，22223422cos233mmmACBmmm，所以22422422284sin133mmmACBmm.所以42222241841343434ABCmmSmmmm，当24m，即2m 时，ABCS最大.当2m 时，222222 31cos2 2 22BAC ，则cos120BAC.将三棱锥DABC放入直三棱柱11DBCABC中，1O，2O分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为r，则12OO的中点O为直三棱柱11DBCABC外接球球心，设外接球半径为R，如图所示：根据正弦定理2 32sin120r，解得2r=，所以22125R.故外接球体积3420 5533V.故选：D11锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且1a，coscos1bAB，若A，B变化时，2sin2 sinBA存在最大值，则正数的取值范围是（）A3(0,)3B1(0,)2C32(,)32D1(,1)2【答案】A【解析】因为1a，coscos1bAB，所以coscosbAaBa，可得：sincossincossinBAABA，即sin()sinBAA，2BA因为ABC为锐角三角形，则有020202ABC，即02022032AAA，解得：62A.2sin2 sinBA2sin22 sinsin21 cos2AAAA=21sin 2Atan，当22A时，原式有最大值21，此时22A，则1tantan22tan2AA，232A，tan23A，即130tan23A，所以30,3.故选：A.12已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且2 sinbaB，则cossinBC的取值范围为（）A(0,3B(1,3C3 3,22D13,22【答案】C【解析】依题意2 sinbaB，由正弦定理得sin2sinsinBAB，所以1sin2A，3cos2A 由于三角形ABC是锐角三角形，所以6A.由23202ABBB.所以5cossincossin6BCBB1333coscossincossin2222BBBBB3sin3B，由于25336B，所以13sin,322B，所以3 33sin,322B.故选：C13若面积为 1 的ABC满足2ABAC，则边BC的最小值为（）A1B2C3D2【来源】福建省宁德市 2020 届高三毕业班 6 月质量检查理科数学试题【答案】C【解析】ABC的面积1S，且2ABAC，21sinsin12ABCSAB ACAACA，21sinACA，根据余弦定理得：2222cosBCABACAB ACA2242 2cosACACAC ACA22254cos54cos(54cos)sinAACACAA ACA，即254cossinABCA，可得2sin4cos5BCAA，24sin4cos16sin()5BCAABCA，则45165sin()BCA，解得：3BC，即边BC的最小值为3.故选：C.14已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sinsinsincbCaA bB，若ABC的面积为3，则ABC的周长的最小值为（）A4B43C6D63【答案】C【解析】解法一：因为()sinsinsincbCaAbB，所以由正弦定理得22()cb cab，得222122bcabc，由余弦定理知1cos2A，因为(0,)A，所以3A，由113sin3222ABCSbcAbc，得4bc，由22()cb cab得222abcbc，则222()3()12abcbcbc，所以212bca，因为222bcbc，所以2abc，则2a，当且仅当bc时等号成立，ABC的周长为212abcaa，易知212(2)yaaa是关于a的增函数，所以当2a 时，ABC的周长最小，为222126；解法二：因为()sinsinsincbCaAbB，所以由正弦定理得22()cb cab，得222122bcabc，由余弦定理知1cos2A，因为(0,)A，所以3A，建立如图所示的平面直角坐标系，因为3CAB，所以可设112,3,0，C xxB x，则121332ABCSxx，即122x x，所以ABC的周长为2222212112121112|232442abcABACBCxxxxxxxxxxx221112211142444 2 22 446xxxxxx，当且仅当11x 时等号成立，所以ABC的周长的最小值为 6故选：C15如图，在平面四边形ABCD中，1AD，5BD，ABAC，2ACAB，则CD的最小值为（）A5B3 3C5D3 5【答案】C【解析】设ADB，在ABD中，由正弦定理得sinsinABBDBAD，即5sinsinABBAD整理得sin5sinABBAD，由余弦定理得2222cos62 5cosABADBDAD BD，因为ABAC，所以2BADDAC，在ACD中，由余弦定理得2222cosCDADACAD ACDAC2144sinABABBAD258 5cos4 5sin2520sin()tan2，所以当sin()1时，min5CD故选：C16已知ABC的周长为 9，若cos2sin22ABC，则ABC的内切圆半径的最大值为（）A12B1C2D32【来源】2020 届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学（理）试题【答案】C【解析】法一：角靠拢，形助兴coscossinsincos2sin222222ABABABC2cos2 coscossinsin22222ABABAB，整理得：1tantan223AB，cos1tantan21222tan23sintantantantan22222ABABCABABAB，如图有：由1tantan223AB，可得23xyr，cos1tantan21222tan23sintantantantan22222ABABCABABAB代入213rrrzxy，整理可得：3xy，22max113tantan2233322ABxyxyrr法二：1tantan223AB，92()2tantantan222rrrxyzCBAtantan112221tantantantan2222ABrABBA得：max113tantan22232ABrr法三：1tantan223AB，coscos2sincos2222ABCCC，cossin2sincos2222ABABCC，得1(sinsin)2sincossin222CCABC，由正弦定理，得239abcc，3c 1tantan223AB，如图可得：1(3)3rrxx，2(3)3xxr，32x，max32r17（2020甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角ABC中，2AB，则ABAC的取值范围是【答案】()1,2【解析】在锐角ABC中，2AB，由正弦定理可得，sinsinABCACB=sin3sinBB=sincos2cossin2sinBBBBB=24cos1B在锐角ABC中有，02022032BBB，可求得(,)6 4B 结合余弦函数的图像与性质可得24cos1B(1,2)18（2020广东高考模拟）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点 D，且1BD，则4ac的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABCABDBCDSSS,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201 sin601 sin60222acac ，化简得11,1acacac，因此11444(4)()5529,cacaacacacacac当且仅当23ca时取等号，则4ac的最小值为9.19（2020湖南高考模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(sinsincos)sinaAcBAbB，且230 cos()9cos21650BCA恒成立，则的取值范围是【答案】7 5 2,88【解析】【分析】由边角关系式可得222cos2abAbc，再结合余弦定理得到22223bca，代入cosA可得222cos6bcAbc，利用基本不等式可得2cos,13A；将恒成立的不等式转化为与cosA有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.【详解】2sinsin cossinaAcBAbB222cosabcAb222cos2abAbc又222cos2bcaAbc22222222bcaabbcbc22223bca222224223cos26bcbbcAbcbc又2222 2bcbc，当且仅当2bc时取等号2cos3A2cos,13A230 cos9cos21650BCA2230 cos9 2cos11650AA 2218cos30 cos1640AA设cosyB，即当2,13x时，2218301640 xx恒成立设 221830164f xxx则可知 2222(30)4 18 164022218301640393118301640ff 2875 208718，可得：7 5 2,8820（2020湖北高考模拟）已知,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，已知45C，2c，ax，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是【答案】22x【解析】在ABC中，由45C，2c，ax，则02sinsin452aCxx，要使得三角形有两个，则满足22xcx，即222xx，解得22x，即实数a的取值范围是2,2.21（2020河南高考模拟）在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，已知6,22a，1,b 且coscosabCcAabc，则cosB的取值范围为【答案】73,12 4【解析】【分析】先根据已知得到1ca，再由余弦定理得2211cos2aaB，再利用函数 1f xxx在3,22上单调递增求出cosB的取值范围.【详解】因为1b，coscosabCcAabc，所以coscosabCbcAac，即22222222abcbcaabbcacabbc，所以21bac，从而1ca，则2222211cos22aacbaBac，因为6,22a，所以当62a 时，7cos12B；当2a 时，3cos4B，又 1f xxx在3,22上单调递增，故cosB的取值范围为73,12 4.22（2020江苏高考模拟）在ABC中，设角,A B C的对边分别是,a b c若2,a b c成等差数列，则32sinsinAC的最小值为_.【答案】231【解析】【分析】先根据2a，b，c成等差数列求出6262cos,.44BsinB再求出2sinsin1.622AC再得到32sinAsinC322sinsin()sinsin622ACAC，最后利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得2222222()2222,cos22cacaacbbacBacac,所以2222132132262242242cos224acacacacBacac,所以062075,0sin,4BB 因为622sinsin2sin2sinsin,2sinsin,1.2622ACBACAC所以32sinAsinC2sin3sin4 2322sinsinsinsin()sinsin626222ACACCAAC2sin3sin4 224 22 6sinsin2(31).626222ACCA故答案为23123（2020湖南高考模拟）在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果【详解】设，则：由于，所以：则：，设，所以：，因为当时，当时，所以当时，的最小值为，故 的最小值为。2023 届高考数学 3 高分突破，智取压轴小题03 平面向量中范围、最值等综合问题一方法综述一方法综述平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质二解题策略二解题策略类型一类型一与向量的模有关的最值问题与向量的模有关的最值问题【例 1】已知向量a，b，c满足4a，2 2b，,4a b，1cacb，则ca的最大值为（）A12B122C212D212【来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学 2020-2021 学年高三上学期期中数学试题【答案】A【解析】由向量的运算性质有222|()()cacacbba ，展开后结合已知条件即得22|6()cacb，又221|cbca令2()mca整理可得关于 m 的不等式，即可求出ca的最值.【详解】22222|2cacacbbacbcbbaba，而 cbbacbbacccbcbca，222|2cacbcabacb，又4a，2 2b，,4a b，1cacb，22|6()cacb，而221|cbca，若令2()mca，则2610mm，即32 232 2m，21|12ca ，可知ca的最大值为12，故选：A【举一反三】1平面上的两个向量OA 和OB，|cosOA，|sinOB，0,2，0OA OB 若向量OCOAOB (,)R，且22221(21)cos(21)sin4，则|OC的最大值为（）A32B34C35D37【答案】B【解析】0OA OB ，OAOB，|cosOA，|sinOB，0,2，|1AB ，取AB的中点 D，且1|2OD，如图所示：则1()2ODOAOB ，1122DCOCODOAOB ，2222222111cossin(21)cos(21)sin224DC DC，2221(21)cos(21)sin4，1|4DC，C 在以 D 为圆心，14为半径的圆上，|OC的最大值为113244.故选:B.2.（2020浙江高考模拟）已知平面向量,a b不共线，且1a，1a b，记b与2ab的夹角是，则最大时，ab（）A1B2C3D2【答案】C【解析】【分析】把cos表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当最大时|b|的值，进而可求出|a-b|的值.【详解】设|b|=x，则22 22 2bababbx，222|2+|=44 8a baabbx ，所以22 22cos28babxbabxx.易得cos0，2222222222211cos124811411222263xxxxxx，当24x 时，2cos取得最小值，取得最大值，此时22|=2 1 243abaabb.故选 C.3.已知向量,a b c 满足4,2 2,aba与b的夹角为4,()()1cacb,则ca的最大值为.【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设cOCbOBaOA,；以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,2 2,aba与b的夹角为4,则 A（4,0）,B（2,2）,设 C（x,y）()()1cacb,x2+y2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1 表示以（3,1）为圆心,以 1 为半径的圆,ca表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A（4,0）的距离；圆心到 B 的距离为2)01()43(22,ca的最大值为12【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键类型二类型二与向量夹角有关的范围问题与向量夹角有关的范围问题【例 2】已知向量OA与OB的夹角为,PQOBtOQOAtOPOBOA,)1(,1,20t在时取得最小值,当0105t时,夹角的取值范围为_.来源:学+科+网【分析】将PQ 表示为变量t的二次函数PQ 1)cos42()cos45(2tt,转化为求二次函数的最小值问题,当cos45cos210t时,取最小值,由已知条件0105t,得关于夹角的不等式,解不等式得解【解析】由题意知,cos2cos12OBOA,OAtOBtOPOQPQ)1(,所以2222222(1)2(1)(1)44(1)cosPQtOBt OAtt OA OBtttt 1)cos42()cos45(2tt,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,cos45cos210t.由题意可得,51cos45cos210,求得0cos21,所以322.【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解【举一反三】1.已知非零向量,a b 满足2ab,若函数3211().132f xxa xabx 在 R 上存在极值,则a和b夹角的取值范围为【答案】,3【解析】2fxxa xa b,设a和b夹角为,因为 f x有极值,所以240aa b ,即24cos0aab,即1cos2,所以,32.非零向量ba,满足ba2=22ba，2|ba，则ba与的夹角的最小值是【答案】3【解析】由题意得2212a ba b ，24ab，整理得22422ababab，即1ab11cos,22a ba baba b ，,3a b，夹角的最小值为3.3.已知向量与的夹角为，在时取得最小值 若，则夹角 的取值范围是_.【答案】【解析】，,在时取得最小值,解可得：,则夹角 的取值范围类型三类型三与向量投影有关的最值问题与向量投影有关的最