线性规划及单纯形法5-线性规划应用举例_运筹学.ppt
第七节第七节 应用例子应用例子一、一、混合配料问题混合配料问题 例例 某糖果厂用原料某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。加工三种糖果甲、乙、丙。各种糖果中各种糖果中 A、B、C 的含量，原料本钱，各种原料的每月限的含量，原料本钱，各种原料的每月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产这三制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产这三种糖果各多少种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。，使其获利最大。建立数学模型。原 料 甲乙丙原料成本(元/kg)月限制量(kg)A60%30%2.002000B1.502500C20%50%60%1.001200加工费(元/kg)0.500.400.30售 价(元/kg)3.402.852.25 解解 用用 i=1，2，3 分别代表原料分别代表原料 A、B、C，用，用 j=1，2，3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。分别代表甲、乙、丙三种糖果。xij 为生产第为生产第 j 种糖果需要第种糖果需要第 i 种原料的种原料的 kg 数量。数量。三种糖果的生产量三种糖果的生产量 x甲甲、x乙乙、x丙丙 分别为：分别为：x甲甲=x11+x21+x31 x乙乙=x12+x22+x32 x丙丙=x13+x23+x33 目标函数是什么？目标函数是什么？该厂获利为三种糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。该厂获利为三种糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。解解 用用 i=1，2，3 分别代表原料分别代表原料 A、B、C，用，用 j=1，2，3 分别代表甲、乙、丙三种糖果。分别代表甲、乙、丙三种糖果。xij 为生产第为生产第 j 种糖果需要第种糖果需要第 i 种原料的种原料的 kg 数量。数量。三种糖果的生产量三种糖果的生产量 x甲甲、x乙乙、x丙丙 分别为：分别为：x甲甲=x11+x21+x31 x乙乙=x12+x22+x32 x丙丙=x13+x23+x33 max z=(3.40-0.50)(x11+x21+x31)+(2.85-0.40)(x12+x22+x32)+(2.25-0.30)(x13+x23+x33)-2.0(x11+x12+x13)-1.5(x21+x22+x23)-2.0(x31+x32+x33)三种糖果的售价减去三种糖果的售价减去加工费加工费 三种原材料成本三种原材料成本 约束条件约束条件 x11+x12+x13 2000 x21+x22+x23 2500 x13+x23+x33 1200 x11 0.6(x11+x21+x31)x31 0.2(x11+x21+x31)x12 (x12+x22+x32)x32 0.5(x12+x22+x32)x33 0.6(x13+x23+x33)xij 0 (i,j=1,2,3)原料月供应量限制原料月供应量限制 含量成分的限制含量成分的限制二、二、生产方案问题生产方案问题 例例 某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经过某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经过 A、B两道工序加工。设两道工序加工。设 A 工序可分别在设备工序可分别在设备 A1 或或 A2 上完成，上完成，B 工序可分别在设备工序可分别在设备 B1、B2 或或 B3 上完成。产品甲可在上完成。产品甲可在 A、B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A 设备上设备上加工，但完成加工，但完成 B 工序时，只能在工序时，只能在 B1 设备上加工；产品丙设备上加工；产品丙只能在只能在 A与与 B 设备上加工。加工单位产品所需工序时设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表，试安排最优生产方案，使该厂间及其他各项数据见下表，试安排最优生产方案，使该厂获利最大。建立数学模型。获利最大。建立数学模型。设备 产品设备有效台时设备加工费(元)甲乙丙A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费(元/件)0.250.350.50售 价(元/件)1.252.002.80目标函数：目标函数：工厂盈利为产品销售价减去相应的原材料费和设备加工费。工厂盈利为产品销售价减去相应的原材料费和设备加工费。约束条件：约束条件：产品加工量受设备有效台时的限制。产品加工量受设备有效台时的限制。解解 设产品甲、乙、丙的产量分别为设产品甲、乙、丙的产量分别为 x1，x2，x3件。件。产品甲有六种加工方案，分别为，产品甲有六种加工方案，分别为，(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)，各方案加工产品甲数量用，各方案加工产品甲数量用 x11，x12，x13，x14，x15，x16 表示；表示；产品乙有两种加工方案，分别为，产品乙有两种加工方案，分别为，(A1,B1)和和(A2,B1)，各方案加工产品乙数量用各方案加工产品乙数量用 x21，x22 表示；表示；产品丙只有一种加工方案产品丙只有一种加工方案(A2,B2)，加工数量用，加工数量用 x3 表示。表示。x1=x11+x12+x13+x14+x15+x16 x2=x21+x22 目标函数：目标函数：max z=(1.25-0.25)(x11+x12+x13+x14+x15+x16)+(2.0-0.35)(x21+x22)+(2.8-0.5)x3 0.05(5x11+5 x12+5x13+10 x21)0.03(7x14+7 x15+7x16+9x22+12x3)0.06(6x11+6 x14+8x21+8x22)0.11(4x12+4 x15+11x3)0.05(7x13+7x16)约束条件：约束条件：5x11+5 x12+5x13+10 x21 6000 7x14+7 x15+7x16+9x22+12x3 10000 6x11+6 x14+8x21+8x22 4000 4x12+4 x15+11x3 7000 7x13+7x16 4000 xij 0三、三、生产存贮问题生产存贮问题 例例 某厂签订了种产品某厂签订了种产品(i=1,2,3,4,5)上半年的交货合上半年的交货合同。各产品在第同。各产品在第 j 月的合同交货量月的合同交货量 Dij，该月售价，该月售价 sij、本钱、本钱价价 cij 及生产一件时所需的工时及生产一件时所需的工时 aij。该厂第。该厂第 j 月的正常生产工月的正常生产工时为时为 tj，但必要时可加班生产，第，但必要时可加班生产，第 j 月所允许的最多加班工时月所允许的最多加班工时不超过不超过 t/j，并且加班时间内生产的产品每件本钱增加额外费，并且加班时间内生产的产品每件本钱增加额外费用用 c/ij 元。假设生产出来的产品当月不交货，每件库存一个月元。假设生产出来的产品当月不交货，每件库存一个月交存贮费交存贮费 pi 元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上半年预期盈利总额为最大的生产方案安排。上半年预期盈利总额为最大的生产方案安排。目标函数：目标函数：该厂盈利总额为种产品销售价减去本钱和库存费用。该厂盈利总额为种产品销售价减去本钱和库存费用。约束条件：约束条件：各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。解解 设设 xij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，月份在正常时间内生产的数量，x/ij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。月份在加班时间内生产的数量。问：第问：第 i 种产品在第种产品在第 j 月的销售盈利月的销售盈利是多少？是多少？解解 设设 xij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，月份在正常时间内生产的数量，x/ij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。月份在加班时间内生产的数量。(sij cij)xij+(sij cij c/ij)x/ijj=16i=15问：第问：第 i 种产品在第种产品在第 j 月的库月的库存量是多少？存量是多少？解解 设设 xij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，月份在正常时间内生产的数量，x/ij 为第为第 i 种产品第种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。月份在加班时间内生产的数量。(sij cij)xij+(sij cij c/ij)x/ijj=16i=15k=1jj=16i=15(xik+x/ik Dik)pimax z=目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：i=15aij x/ij t/j (j=1,2,3,4,5,6)i=15aij xij tj (j=1,2,3,4,5,6)(xik+x/ik)Dij (j=1,2,3,4,5,6)k=1jk=1jxij 0四、四、动态投资问题动态投资问题 例例 宏银公司承诺为某建设工程从宏银公司承诺为某建设工程从2003年起的年起的4年中每年初年中每年初分别提供以下数额贷款：分别提供以下数额贷款：2003年年100万，万，2004年年150万，万，2005年年120万，万，2006年年110万。以上贷款资金均需于万。以上贷款资金均需于2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额的情况下，可将多余资金用于以下投资工程：每年贷款额的情况下，可将多余资金用于以下投资工程：1于于2003年初购置年初购置A 种债券，期限种债券，期限3年，到期后本息合年，到期后本息合计为投资额的计为投资额的140%，但限购，但限购60万元；万元；2于于2003年初购置年初购置 B 种债券，期限种债券，期限2年，到期后本息合年，到期后本息合计为投资额的计为投资额的125%，但限购，但限购90万元；万元；3于于2004年初购置年初购置C 种债券，期限种债券，期限2年，到期后本息合年，到期后本息合计为投资额的计为投资额的130%，但限购，但限购50万元；万元；4于每年初将任意数额的资金存放银行，年息于每年初将任意数额的资金存放银行，年息4%，于，于年底取出。年底取出。问该公司应如何运作，使问该公司应如何运作，使2002年底需筹集到的资金额为最少。年底需筹集到的资金额为最少。解解 设设 x 为为2002年底该公司需要筹集到的资金额；年底该公司需要筹集到的资金额；y1、y2、y3 为分别于为分别于2003、2004、2005年初存放到银年初存放到银行的资金数行的资金数；WA、WB、WC 为分别购置为分别购置 A、B、C 債卷的数额。債卷的数额。那么可列数学模型：那么可列数学模型：目标函数：目标函数：min z=x 约束条件：约束条件：x y1 WA WB=1001.04 y1 y2 WC=1501.04 y2WB y3=1201.04 y3WAWC=110 x 0，y1、y2、y3 0，WA、WB、WC 0WA 60，WB 90，WC 50求解得：求解得：x，y1=170，y2，y3=0，WA=60，WB=90，WC=20。作业：作业：P46 14 15
