全国高考理科数学试题word详解答案版天津卷.doc
2015年全国高考理科数学试题word详解答案版-天津卷 2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至3页，第卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： ·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立， P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B) 柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高 h 表示锥体的高 第卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A=2,3,5,6 ，集合B=1,3,4,6,7 ，则集合 AC u B= （A）2,5 （B）3,6 （C）2,5,6 （D）2,3,5,6,8 ìx+2³0ï（2）设变量x,y 满足约束条件íx-y+3³0 ，则目标函数z=x+6y的最大值为 ï2x+y-3£0î （A）3（B）4（C）18（D）40 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A）-10 （B）6 （C）14 2（D）18 （4）设xÎR ，则“x-2<1 ”是“x+x-2>0 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若CM=2,MD=4,CN=3 ，则线段NE 的长为 （A）8 3 （B）3 （C）10 3（D）5 2 x2y2 （6）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛 ab(物线y2= 的准线上，则双曲线的方程为 x2y2x2y2 =1 -=1 （B）-（A）28212128 x2y2x2y2 -=1 （D）-=1 （C）3443 （7）已知定义在R 上的函数f(x)=2x-m-1 （m 为实数）为偶函数，记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m) ，则a,b,c 的大小关系为 （A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a ìï2-x,x£2,（8）已知函数f(x)=í 函数g(x)=b-f(2-x) ，其中bÎR ，若函数2ïî(x-2),x>2, y=f(x)-g(x) 恰有4个零点，则b的取值范围是 （A）ç7öæ7öæ,+¥÷ （B）ç-¥,÷ 4øè4øè æ è7ö4øæ7ö,2÷ 4èø（C）ç0,÷ （D）ç 第II卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i 是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i) 是纯虚数，则实数a的值为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m . 3 （11）曲线y=x2 与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为1öæ2x（12）在çx- 的展开式中， 的系数为÷4xøè （13）在DABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知D ABC的面积为 ，6 1b-c=2,cosA=-, 则a 的值为4 （14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB/DC,AB=2,BC=1,ÐABC=60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE=lBC,DF=1DC，EAF的最小值为 . 则A9l 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分）已知函数f(x)=sinx-sinçx-22æ èpö÷，xÎR 6ø (I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间ê- éppù,ú上的最大值和最小值. ë34û 16. （本小题满分13分） 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率； (II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 17. （本小题满分13分） 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1= 2，AD=CD=且点M和N分别为B1C和D1D的中点. (I)求证： MN平面ABCD (II)求二面角D1-AC-B1的正弦值； (III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长 3 18. （本小题满分13分） 已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且q¹1)，nÎN*,a1=1,a2=2，且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (I)求q的值和an的通项公式； (II)设bn= log2a2n的前n项和. ,nÎN*，求数列bna2n-1 x2y219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）, 离心率为，点ab3 b4M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c ，. 422 (I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点P在椭圆上，若直线FP OP（O为原点）的斜率的取值范围. 20. （本小题满分14分） 已知函数f(x)=nx-x,xÎR，其中nÎN,n³2. n* (I)讨论f(x)的单调性； (II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有f(x)£g(x)； (III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|<a+2. 1-n 绝密启用前 2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。 （1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。 （9）-2 （10）p （11）8 31 6 （12）1529 （13）8 （14） 1618 三、解答题 （15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。 （I）解：由已知，有 1-cos(2x-)1-cos2x=1æ1cos2x+2xö-1cos2x f(x)=- ç÷÷22ç222èø =p11æpö2x-cos2x=sinç2x-÷ 442è6ø 所以，f(x)的最小正周期T=2p=p 2 éppùéppù,-ú上是减函数，在区间ê-,ú上是增函数，ë36ûë64û11æpöæpöéppùæpö所以，f(x)在区间ê-,ú，fç-÷=-，fç-÷=-，fç÷=34623444èøèø ëû èø 1最小值为-. 2(II)解：因为f(x)在区间ê- （16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分. （I）解：由已知，有 22C2C3+C32C326P(A)= 4C835 所以，事件A发生的概率为6. 35 （II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. C5kC34-kP(X=k)=(k=1,2,3,4). C84 所以，随见变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=1´13315+2´+3´+4´= 1477142 （17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题 意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0), A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D(1,-2,2). 又因为M,N分别为B1C和D1D的中点， 得Mç1,1÷,N(1,-2,1). æ1öè2ø 5æ 2è 可得MNn=0，又因为直线MNË平面ABCD，所以MNMN平面ABCD. (I)证明：依题意，可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量. MN=ç0,-,0÷.由此 öø （II）解：AD1=(1,-2,2)，AC=(2,0,0).设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则 ìïn1AD1=0,ìx-2y+2z=0, 即í不妨设z=1，可得n1=(0,1,1). í î2x=0.ïîn1AC=0, ìïn1AB1=0, 设n2=(x,y,z)为平面ACB1DE 法向量，则í又AB1=(0,1,2)，得 ïîn1AC=0, ìy+2z=0, í 2x=0.î 不妨设z=1，可得n2=(0,-2,1). 因此有cosn1,n2= n1n 2，于是sinn1,n2=. =n1n2 。 10 从而NE=(-1,l+2,1)。)， 所以，二面角D1-AC-B1的正弦值为 （III）解：依题意，可设A其中lÎ0,1，则E(0,l,21E=lA1B1,， 又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cosNE,n = NEnNEn = = 1 ，整理得l2+4l-3=0，又因为lÎ 0,1，解得l=2. 3 所以，线段A1E2. (18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分. （I）解：由已知，有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即a4-a2=a5-a3，所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为q¹1，故a3=a2=2，由a3=a1q，得q=2. 当n=2k-1(kÎN)时，an=a2k-1=2 * k *k-1 =2 n-1 2； 当n=2k(kÎN)时，an=a2k=2=2 n2. -1ìn2 ï2,n为奇数， 所以，an的通项公式为an=ín ï22，n为偶数.î （II）解：由（I）得bn= log2a2nn =n-1.设bn的前n项和为Sn，则 a2n-12 Sn=1´ 11111+2´+3´+.+n-1´+n´ ， ()2021222n-22n-1 111111Sn=1´1+2´2+3´3+.+(n-1)´n-1+n´n， 222222 上述两式相减，得 1 n1111nn2n Sn=1+2+.n-1-n=-n=2-n-n， 222222221-2 1- 整理得，Sn=4- n+2 . n-1 2 n+2 ，nÎN*. n-1 2 所以，数列bn的前n项和为4- （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分. c212222222 （I）解：由已知有2=，又由a=b+c，可得a=3c,b=2c. a3 设直线FM的斜率为k(k 2 0)，则直线FM的方程为y=k(x+c). 由已知，有 æöæcö2æbö2. +ç÷=ç÷，解得k=3è2øè2ø x2y2（II）解：由（I）得椭圆方程为2+2=1，直线FM 的方程为y=x+c)，两个方 3c2c522 程联立，消去y，整理得3x+2cx-5c=0，解得x=-c，或x=c.因为点M在第一象限，可 3æö得M 的坐标为çc. 有，解得c=1，所以椭圆的方FM=÷ç÷3èøx2y2 程为+=1. 32 （III）解：设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t= y ，即y=tx (+1)(x¹-1)，x+1 ìy=t(x+1),ï 与椭圆方程联立íx2y2消去y，整理得2x2+3t2(x+1)2=6. 又由已知，得 =1,ï+ î32 t= ，解得- 32 x-1，或-1x0. 设直线OP的斜率为m，得m= y ，即y=mx(x¹0)，与椭圆方程联立，整理可得x m2= 22-. 2x3 当xÎç-,-1÷时，有y=t(x+1) æmÎçç è æ3è2 . 33ø ö ø 0，因此m ，于是m= ，得 当xÎ(-1,0)时，有y=t(x+1) 0，因此m ，于是m= æmÎçç-¥,. èø æ OP 综上，直线的斜率的取值范围是ç-¥,ç è ø . èø （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分. （I）解：由f(x)=nx-xn，可得f'(x)=n-nxn-1=n1-xn-1，其中nÎN*，且n³2. 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时. 令f'(x)=0，解得x=1，或x=-1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： () 所以，f(x)在(-¥,-1)，(1,+¥)上单调递减，在(-1,1)内单调递增。 （2）当n为偶数时. 当f'(x) 当f'(x) 0，即x1时，函数f(x)单调递增； 0，即x1时，函数f(x)单调递减. 所以，f(x)在(-¥,1)上单调递增，在(1,+¥)上单调递减. （II）证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0= 1 n 处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0)，即g(x)=f'(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x)，即 '2，.曲线y=f(x)在点Pf(x)=n-n0n-1 F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)，则F'(x)=f'(x)-f'(x0). 由于f'(x)=-nxn-1+n在(0,+¥)上单调递减，故F'(x)在(0,+¥)上单调递减.又因为所以当xÎ(0,x0)时，F'(x)F'(x0)=0， 当xÎ(x0,+¥)时，F'(x)0， 所以F(x)在(0,x0)0， 内单调递增，在(x0,+¥)上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F(x)£F(x0)=0，即对于任意的正实数x，都有f(x)£g(x). （III）证明：不妨设x1£x2.由（II）知g(x)=n-n2(x-x0).设方程g(x)=a的根为x2'，可得x2'= () a +x0，当n³2时，在(-¥,+¥)上单调递减.又由（II）知2 n-n g(x2)³f(x2)=a=g(x2')，可得x1£x2'. 类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当 xÎ(0,+¥)，f(x)-h(x)=-xn0，即对于任意的xÎ(0,+¥)，f(x)h(x). a .因为h(x)=nx在(-¥,+¥)上单调递增，且n 设方程h(x)=a的根为x1'，可得x1'= h(x1')=a=f(x1) h(x1)，因此x1' x1. 由此可得x2-x1 x2'-x1'= n-1 a +x0. 1-n n-1 1 ³1+Cn-1=1+n-1=n，故2³ 因为n³2，所以2 =(1+1) 1nn-1 =x0. 所以，x2-x1 a +2. 1-n
