2000-全国高中数学联赛分类汇编（集合函数）(2).doc

2000-2021全国高中数学联赛分类汇编集合函数1、2000一试1设全集是实数，假设A=x|0，B=x|=,那么是 (A) 2 (B) -1 (C) x|x2 (D) 【答案】D【解析】由得x=2，故A=2；由得，故B=-1，2.所以=.2、2001一试1a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 A1 B2 C4 D不确定【答案】C【解析】M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选3、2002一试1函数f(x)=的单调递增区间是 (A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)【答案】A【解析】由x2-2x-3>0x<-1或x>3，令f(x)=, u= x2-2x-3，应选A4、(2002一试3) 函数f(x)= (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【解析】由题得函数的定义域为，满足不满足，所以函数是偶函数，但是不是奇函数。5、2002一试5两个实数集合A=a1, a2, , a100与B=b1, b2, , b50，假设从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，那么这样的映射共有( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】不妨设b1<b2<<b50，将A中元素a1, a2, , a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：AB，使得第i组的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50)，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为，那么这样的映射共有，应选D。6、2006一试3集合，,，且，那么整数对的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答案】C【解析】；。要使，那么，即。所以数对共有。 7、2006一试5设，那么对任意实数，是的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然为奇函数，且单调递增。于是假设，那么，有，即，从而有.反之，假设，那么,推出 ，即 。8、2007一试6A与B是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AB空集。假设nA时总有2n+2B，那么集合AB的元素个数最多为 A. 62B. 66C. 68D. 74【答案】B【解析】先证|AB|66，只须证|A|33，为此只须证假设A是1，2，49的任一个34元子集，那么必存在nA，使得2n+2B。证明如下：将1，2，49分成如下33个集合：1，4，3，8，5，12，23，48共12个；2，6，10，22，14，30，18，38共4个；25，27，29，49共13个；26，34，42，46共4个。由于A是1，2，49的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在nA，使得2n+2B。如取A=1，3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42，46，B=2n+2|nA，那么A、B满足题设且|AB|66。9、2021一试1函数在上的最小值是 。A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时，因此，当且仅当时取等号而此方程有解，因此在上的最小值为2应选C.10、(2021一试2) 设，假设，那么实数的取值范围为 。A B C D【答案】D【解析】因为有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得应选D。11、2001一试11函数的值域为_【答案】【解析】先平方去掉根号由题设得32，那么223由，得223解得132，或2由于能到达下界0，所以函数的值域为1，322，12、2002一试10f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5 f(x+1)f(x)+1，假设g(x)=f(x)+1-x，那么g(2002)= 。【答案】1【解析】由g(x)=f(x)+1-x得f(x)=g(x)+ x -1 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x) g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1)g(x)g(x+1)=g(x) T=1 g(1)=1 g(2002)=113、2002一试11假设，那么|x|-|y|的最小值是 。【答案】【解析】由对称性只考虑y0，因为x>0，所以只须求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 当时，u=，故|x|-|y|的最小值是14、2003一试9A=x|x24x+3<0，xR， B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR假设AÍB，那么实数a的取值范围是 【答案】4a1【解析】A=(1，3)；又，a21x(1，)，当x(1，3)时，a 7(7，4) 4a115、(2003一试10) a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，假设ac=9，那么bd= 【答案】93【解析】a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2y4=9(x+y2)(xy2)=9 x+y2=9，xy2=1，x=5，y2=4bd=5325=12532=9316、2004一试8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，那么f(x)= 。【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f(1)=110+2，Þf(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比拟、得，f(x)=x+117、2005一试8是定义在上的减函数，假设成立，那么的取值范围是 【答案】【解析】在上定义，又仅当或时，在上是减函数，结合知或18、(2021一试7) 设，其中为实数，假设，那么 .【答案】5【解析】由题意知，由得，因此，19、2021一试11设是定义在上的函数，假设 ，且对任意，满足 ，那么= .【答案】【解析】方法一：由题设条件知 ，因此有，故 方法二： 令，那么 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以20、2021一试1假设函数且，那么 【答案】【解析】，故21、2021一试6假设方程仅有一个实根，那么的取值范围是 【答案】或【解析】当且仅当对由求根公式得， 或()当时，由得，所以，同为负根又由知，所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得，所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所求22、2021一试1函数的值域是 .【答案】 【解析】易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.23、2021一试5函数 在区间上的最大值为8，那么它在这个区间上的最小值是 .【答案】【解析】令那么原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以 ；当时，所以 .综上在上的最小值为.24、2021一试1设集合，假设中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，那么集合 【答案】.【解析】显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为516，532，550，583，因此，集合25、2021一试2函数的值域为 【答案】【解析】设，且，那么设，那么，且，所以 26、2021一试6设是定义在上的奇函数，且当时，假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是 【答案】【解析】由题设知,那么因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是27、2000一试14假设函数在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.【解析】化三种情况讨论区间a,b.(1) 假设0a<b, 那么f (x)在 a, b 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a于是有，解之得 a, b = 1, 3 , (2)假设a <0 <b, f (x)在 a, b 上单调递增，在0,b 上单调递减，,因此f (x)在x=0处取最大值2b在x=a或x=b处取最小值2a.故2b=,b=.由于a<0, 又f(b)=-() + =故 f(x)在x=a处取最小值2a,即 2a=+,解得a=-2-;于是得 a,b=-2-,.(2) 当a<b0时，f(x)在a,b 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b, 即2a=-+,2b=-+.由于方程x+2x-=0的两根异号，故满足ab0的区间不存在.综上所述，所求区间为1,3或-2-.28、2002一试15设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR,a0)满足条件： 当xR时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x； 当x(0,2)时，f(x) f(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m>1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x【解析】f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 假设存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1时，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0对固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m m=9 当t= -4时，对任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值为9。 另解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20当x1,m时，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)20当t-4,0时，恒有解 令t= -4得，m2-10m+901m9 即当t= -4时，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9 29、2002一试15实数a,b,c和正数l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足 x2-x1=l, x3>(x1+x2) ，求【解析】 f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)=3x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3>(x1+x2) ()且 4a2-12b-3l20 () f(x)=x3+ax2+bx+c= f(x3)=0 () 由()得 记p=，由() 和()可知p且 令 y=，那么y0且 = 0 取a=2,b=2,c=0,l=2，那么f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 显然假设条件成立，且 综上所述的最大值是 30、2005二试2设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.【解析】由条件得，即，同理，得a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，问题转化为：在锐角ABC中，求函数、=的最小值.令那么且同理，+取等号当且仅当，此时，31、2006一试15设 . 记，. 证明：.【解析】如果，那么，。 如果，由题意 ，,. 那么 当 时，. 事实上，当时，, 设时成立为某整数，那么对， . 当 时，.事实上，当时，, 设时成立为某整数，那么对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 3当时，记，那么对于任意，且。对于任意，, 那么。 所以，。当时，即。因此。综合，我们有。 32、2007一试15设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：1对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+)=fi(x)；2对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。【解析】证明：记，那么f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x)。令，其中k为任意整数。容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的xR，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的xR，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的xR，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=k时，h(x)=h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k)，所以h(x)=h(k)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，对任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。33、2021二试2设是周期函数，和1是的周期且证明：1假设为有理数，那么存在素数，使是的周期；2假设为无理数，那么存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期【解析】1假设是有理数，那么存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期又因，从而设是的素因子，那么，从而 是的周期 2假设是无理数，令 ，那么，且是无理数，令 ， ， 由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数列最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，那么也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 34、2021一试9设函数，实数满足，求的值【解析】因为，所以，所以或，又因为，所以，所以 又由有意义知，从而，于是所以 从而 又，所以，故 解得或舍去把代入解得 所以 ，