《动力学》3.TM.15-2虚位移原理(0.13MB).doc

第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理§15-2 虚位移原理1. 静止质点系上的力的虚功1质点系的静力平衡方程设有一质点系处于平衡状态，取质点系中任一质点mi，如图15-6所示，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束力为FNi。图15-6因为质点系处于平衡状态，那么这个质点也处于平衡状态，因此有2虚功假设给质点系以某种虚位移，其中质点mi的虚位移为，那么作用在质点mi上的力Fi，和FNi的虚功的和为第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理对于质点系内所有的质点，都可以得到与以上式同样的等式。将这些等式相加，得第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理2. 质点系平衡的充分必要条件1理想约束力的虚功如果质点系具有理想约束，那么约束力在虚位移中所作的虚功之和为零，即 15-12质点系平衡的充分必要条件对于理想约束，质点系中的虚功之和可以写为 15-2可以证明，上式不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条件。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理3. 虚位移原理虚功原理1虚位移原理虚功原理对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理，式15-1、15-2又称为虚功方程。2虚功方程的解析表达式式15-1也可以写成解析表达式，即 15-3式中为作用于质点mi的主动力Fi在直角坐标轴上的投影，为虚位移在直角坐标轴上的投影。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理3关于虚位移原理充分性的证明反证法以上证明了虚位移原理的必要性，即：假设质点系平衡那么式15-1必成立。应该指出，式15-1也是质点系平衡的充分条件，即：在满足式15-1的条件下，质点系必须保持平衡状态。可以采用反证法来证明虚位移原理的充分性。4有摩擦情况时虚位移原理的应用应该指出，虽然应用虚位移原理的条件是质点系具有理想约束，但是也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的虚功即可。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理4. 求解机构平衡问题用虚位移原理求解机构的平衡问题，关键是找出各虚位移之间的关系，一般应用中，可采用以下三中方法建立各虚位移之间的关系。1几何关系法设机构某处产生虚位移，作图给出机构各处的虚位移，直接按几何关系，确定各有关虚位移之间的关系。2虚速度法为求虚位移间的关系，也可以用所谓“虚速度法。可以假想虚位移是在某个极短的时间dt内发生的，这时对应点A和B的速度和称为虚速度。虚速度法是建立坐标系，选定一适宜的自变量，写出各有关点的坐标，对各坐标进行变分运算，确定各虚位移之间的关系。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理3运动学方法按运动学方法，设某处产生虚速度，计算各有关点的虚速度，可采用运动学中各种方法，如点的合成运动方法、刚体平面运动的基点法、速度投影定理、瞬心法及写出写出运动方程再求导数等。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理5. 求解结构平衡问题用虚位移原理求解结构的平衡问题时，要求某一支座反力时，首先需解除该支座约束而代之以约束力，把结构变为机构，把约束力当作主动力，这样，在虚位移方程中只包含一个未知力，然后用虚位移原理求解。假设需要求多个约束力，那么需要一个一个的解除约束用虚位移原理求解，这样求解有时并不方便。假设要求各处约束力，那么不如用平衡方程方便。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理6. 例题第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理例15-1如图15-7所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶，其力偶矩，螺杆的螺距为h。求机构平衡时加在被压榨物体上的力。图15-7解：（1） 研究以手柄、螺杆和压板组成的平衡系统 假设忽略螺杆和螺母的摩擦，那么约束是理想的。作用于平衡系统上的主动力为：作用于手柄上的力偶，被压物体对压板的阻力FN。（2） 虚功方程给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极小角，于是螺杆和压板得到向下的位移。计算所有主动力在虚位移中所作虚功的和，列出虚功方程第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理（3） 虚位移之间的关系由机构的传动关系知：对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺纹上升或下降一个螺距h，故有即（4） 被压物体对压板的阻力将上述虚位移与的关系式代入虚功方程中，得因是任意的，固解得第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理答案：被压榨物体上的力，与被压物体对压板的阻力FN等值反向，FN的大小为。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理例15-2如图15-8a所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上的力F， 。求支座B的水平约束力。图15-8解：1解题思路此题涉及的是一个结构，无论如何假想产生虚位移，结构都不允许。为求B处水平约束力，需把B处水平约束解除，以力FBx代替，把此力当作主动力，那么结构变成图15-8b所示的机构，此时就可以假想产生虚位移，用虚位移原理求解。2列虚功方程用解析法。建坐标系如图，列虚功方程第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理3虚位移写出点B的坐标xB与点G的坐标yG 其变分为 4支座B的水平约束力将，代入虚功方程，得 解得。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理答案：支座B的水平约束力为。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理在例15-2中，如果在C，G两点之间连接一自重不计、刚度系数为k的弹簧，如图15-9所示。在图示位置弹簧已有伸长量，其它条件不变，仍求支座B的水平约束力。图15-9答案：支座B的水平约束力为。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理例15-3如图15-10所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求主动力FA与FB之间的关系。图15-10解：1解题思路研究整个机构，系统的约束为理想约束。对此题，可用虚位移的几何关系法、坐标变分法和虚速度法等三种方法求解。2应用虚速度法求解设给滑块A一个图示的虚位移，在约束允许的条件下，滑块B的虚位移，如下图。可以假想虚位移是在某个极短的时间dt内发生的，这时对应点A和B的速度和称为虚速度。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理由虚位移原理 a有 b将虚速度代入b式得 c由速度投影定理 d得 e把e式代入c式得第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理答案：主动力FA与FB之间的关系为。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理例15-4如图15-11所示机构，不计构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平行时，主动力偶矩M与主动力F之间的关系。图15-11答案：主动力偶矩M与主动力F之间的关系为。第15章 虚位移原理 15.2虚位移原理例15-5求如图15-2a所示无重组合梁支座A的约束力。图15-2答案：无重组合梁支座A的约束力为。