中央电大经济数学基础_应用题和计算题小抄[1].doc

五、应用题此题20分1设生产某种产品q个单位时的本钱函数为：C(q)=100+0.25q+6q万元, 求：1当q=10时的总本钱、平均本钱和边际本钱；2当产量q为多少时，平均本钱最小？解：1总本钱C(q)=100+0.25q+6q， 22100+0.25q+6， q边际本钱C¢(q)=0.5q+6 平均本钱C(q)=所以，C(10)=100+0.25´10+6´10=185万元， 2100+0.25´10+6=18.5万元 10万元 C¢(10)=0.5´10+6=11¢100 2令 C(q)=-2+0.25=0，得q=20q=-20舍去 q因为q=20是其在定义域 C(10)=平均本钱最小. 2.某厂生产某种产品q件时的总本钱函数为C(q)=20+4q+0.01q元，单位销售价格为p=14-0.01q元/件，问产量为多少时可使利润到达最大？最大利润是多少 解：本钱为：C(q)=20+4q+0.01q收益为：R(q)=qp=14q-0.01q利润为：L(q)=R(q)-C(q)=10q-0.02q-20 2222L¢(q)=10-0.04q，令L¢(q)=10-0.04q=0得，q=250是惟一驻点，利润存在最大值，所以当产量为250个单位时可使利润到达最大，且最大利润为L(250)=10´250-0.02´2502-20=1230元。 13投产某产品的固定本钱为36(万元)，且边际本钱为C¢(q)=2q+40(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低 解：本钱函数为：C(q)=òq0(2x+40)dx+36当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为6DC=ò(2x+40)dx=x2|64+40x|4=100万元 46QC(q)=ò(2x+40)dx+36=q2+40q+36 0qC(q)=q+40+36 q¢¢3636C(q)=1-2，令C(q)=1-2=0得，q=6,q=-6负值舍去。q=6是惟qq一驻点，平均本钱有最小值，所以当x=6百台时可使平均本钱到达最低.3、投产某产品的固定本钱为36万元，且边际本钱为C¢(q)=2q+60万元/百台。试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低。解：本钱函数为：C(q)=òq0(2x+60)dx+36当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为6DC=ò(2x+60)dx=x2|6+60x|44=140万元 46QC(q)=ò(2x+60)dx+36=q2+60q+36 0qC(q)=q+60+¢36 q¢3636C(q)=1-2，令C(q)=1-2=0得，q=6,q=-6负值舍去。q=6是惟qq一驻点，平均本钱有最小值，所以当x=6百台时可使平均本钱到达最低。 24某产品的边际本钱C¢(q)=2元/件，固定本钱为0，边际收益R¢(q)=12-0.02q，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的根底上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：边际利润为：L¢(q)=R¢(q)-C¢(q)=10-0.02q令L¢(q)=0得，q=500。q=500是惟一驻点，最大利润存在，所以当产量为500件时，利润最大。 DL=ò5505002550(10-0.02x)dx=10x|550500-0.01x|500=- 25元即利润将减少25元。 5某产品的边际本钱为C¢(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定本钱为18(万元)，求最低平均本钱. 解：因为总本钱函数为2 C(q)=(4q-3)dq=2q-3q+c ò当q= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即C(q)=2q-3q+18又平均本钱函数为A(q)=令 A¢(q)=2-2C(q)18=2q-3+ qq18=0， 解得q= 3 (百台) q2该问题确实存在使平均本钱最低的产量. 所以当x = 3时，平均本钱最低. 最底平均本钱为A(3)=2´3-3+ 6、生产某产品的边际本钱为C¢(q)=4+q (万元/百台)，收入函数为18=9 (万元/百台) 312，求使利润到达最大时的产量，如果在最大利润的产量的根底上q万元2再增加生产200台，利润将会发生怎样的变化？ R(q)=10q-解：边际利润为：L¢(q)=R¢(q)-C¢(q)=10-q-4-q=6-2q令L¢(q)=0得，q=3q=3是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增加到5百台时，利润改变量为2225DL=ò(6-2x)dx=6x|53-x|3=6´(5-3)-(5-3) 53=12-16=-4万元 即利润将减少4万元。 37.设生产某产品的总本钱函数为 C(x)=5+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R¢(x)=11-2x万元/百吨，求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的根底上再生产1百吨，利润会发生什么变化？.解：因为边际本钱为 C¢(x)=1，边际利润L¢(x)=R¢(x)-C¢(x)=10-2x令L¢(x)=0，得x=5可以验证x=5为利润函数L(x)的最大值点. 因此，当产量为5百吨时利润最大.当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为DL=ò(10-2x)dx=(10x-x562) 56=-1万元即利润将减少1万元. 8.设生产某种产品x个单位时的本钱函数为：C(x)=100+x+6x万元,求：当x=10时的总本钱和平均本钱；当产量x为多少时，平均本钱最小？.解：因为总本钱、平均本钱和边际本钱分别为： 2C(x)=100+x2+6xC(x)=100+x+6， x2 所以，C(10)=100+1´10+6´10=260C(10)=100+1´10+6=26， 10¢100C(x)=-2+1 x¢C(x)=0，得x=10x=-10舍去令 ，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均本钱最小 4 线性代数计算题3ùé-11êú-1-151、 设矩阵A=1，求(I+A)。 êúêë1-2-1úû3ùé013ùé100ùé-11êúêúêú解：因为 I+A=010+1-15=105 êúêúêúêë001úûêë1-2-1úûêë1-20úû5010ùé013100ùé10ú®ê01úI+AI=ê1050103100êúêúêë1-20001úûêë0-2-50-11úûé105010ùé100-106-5ùú®ê010-53-3ú®ê013100êúêú ê2-11úë0012-11úûêë001û所以，(I+A)-1é-106-5ùú=ê-53-3êú。ê-11úë2û 5é0-1-3ùêú-12、设矩阵A =-2-2-7，I是3阶单位矩阵，求(I-A)。 êúêë-3-4-8úûé113ùêú解：因为I-A=237， êúêë349úûé113100ùé113100ùêúêú(I-A I ) =237010®011-210 êúêúêë349001úûêë010-301úû3-10ùé1001-32ùé102êúêú 1 ®011-210®010-30êúêúê1-1úë00-1-1-11úûêë0011ûé1-32ùú。 -1ê1所以(I-A)=-30êúê1-1úë1û é63ùé10-2ùêú-3设矩阵 A =ê，B =12，计算(AB)1 úêúë1-20ûêë41úûé63ùé10-2ùêú=é-21ù 12解：因为AB =êúêúúêë1-20ûê41úë4-1ûëû(AB I ) =êé-2110ùé-2110ù®úê0121ú 4-101ëûëû1éé-20-1-1ù10 ®ê®ê2úê012ë0121ûëé1所以 (AB)= ê2ê2ë-11ù2ú 1úû1ù2ú 1úû 6é012ùé1ùêúêú4、设矩阵A=114，B=0，求A-1B êúêúêêë2-10úûë-1úû解：求逆矩阵的过程见复习指导P77的4，此处从略。é2ê-1A=ê4é21ùúê-1-21ú；所以，AB=ê4-11ùúé1ùé1ùú=ê3ú。 -21úê0êúêú-1êê-31-1ú2úêë2ûêë-321-1ú2úûêë-1úûêë-1úû 5设矩阵A=é12êùë35úû,B=é12êùë23úû，求解矩阵方程XA=B。解：êé1210ùé1210ùé10-52ùé10ë3501úû®êë0-1-31úû®êë0-1-31úû®ê-5ë013A-1=éê-52ùë3-1úû X=BA-1=éê12ùé-52ùé10ùë23úû´êë3-1úû=êë-11úû é6.设矩阵A=ê1-10ùê-121úé,B=ê2ù-1ú，求Aêúêú-1Bë223úûêë1úû.解：利用初等行变换得éê1-10100ùé1-10100ùê-121010ú®ê011110ú êúêúë223001úûêë043-201úûé1-10100ùé00ù ®êê011110úê1-101®010-5-31úêúêúë00-1-6-41úûêë00164-1úûé100-4-31ù®êê010-5-31úé-4-31ù即 A-1=ê-5-31úêúê ë00164-1úûêúë64-1úû由矩阵乘法得é-4-31ùé2ùé-4ùA-1B=êê-5-31úê-1ú=ê-6ú。êë64-1úúêúêúûêë1úûêë7úû7 2ù-1úûì2x1-5x2-3x3=-3ï1求线性方程组íx1+2x2-6x3=3的一般解ï-2x+14x-6x=12123î解：因为增广矩阵-63ùé2-5-3-3ùé12é10-41ùêú®ê0-9ú®ê01-11ú 2-639-9 =1êúêúêúêêêë-214-612úûë018-1818úûë0000úû ìx1=4x3+1所以一般解为 í 其中x3是自由未知量 x=x+13î2 +2x3-x4=0ìx1ï2求线性方程组í-x1+x2-3x3+2x4=0的一般解ï2x-x+5x-3x=0234î1解：因为系数矩阵02-1ù2-1ùé1é10é102-1ùêúêúêú A=-11-32®01-11®01-11 êúêúêúêê0úêë2-15-3úûë0-11-1úûë000û所以一般解为íìx1=-2x3+x4 其中x3，x4是自由未知量 îx2=x3-x43、当l取何值时，齐次线性方程组ìx1-3x2+x3=0ïí2x1-5x2+3x3=0有非0解？并求一般解。ï3x-8x+lx=023î11ù4ùé1-31ùé1-3é10êúêú®ê01ú所以当= 411解：因为系数矩阵 A=2-53®01lêúêúêúêêë3-8lúûêë01l-3úûë00l-4úû时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为： í 8 ìx1=-4x3其中x3是自由未知量。 îx2=-x34、问当l取何值时，线性方程组ìx1+x2-2x3-x4=-2ï有解，在有解的情况下求方程组的一般解。 í2x1+x2+7x3+3x4=6ï9x+7x+4x+x=l+1234î1解：方程组的增广矩阵é11-2-1-2ùé11-2-1-2ùú®ê0-1115ú A=ê2173610êúêúê1l+1úë974ûêë0-22210l+19úûé11-2-1-2ùé11-2-1-2ùú®ê01-11-5-10ú ®ê01-11-5-10êúêúê0l-1ú0l-1úë000ûêë000û48ùé109ú所以当®ê01-11-5-10l=1时，方程组有解； êúê0l-1úë000ûìx1=8-9x3-4x4一般解为：í其中x3,x4是自由未知量 x=-10+11x+5x34î2 ì2x1-x2+x3+x4=1ï5íx1+2x2-x3+4x4=2 ïx+7x-4x+11x=5234î111ù2ùé2-11é12-14êúêú解：A=12-142®0-53-7-3® êúêúêê3úë17-4115úûë05-37û4ù5ú3úú 5ú0úúû164ìx=-x-x+34ï1555其中x,x是自由未知量 所以，方程组的一般解为：í34373ïx2=x3-x4+555î 9 1é10ê5é12-142ùêê05-373ú®ê01-3êú5êêúë00000ûê000êë657506求线性方程组ìx1-3x2-2x3-x4=1ï3x-8x-4x-x=0ï1234 íï-2x1+x2-4x3+2x4=1ïî-x1-2x2-6x3+x4=2.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形é1-3-2-11ùé1-3-2-11ùê3-8-4-10úê0122-3úêú®êú ê-21-421úê0-5-803úêúêúë-1-2-612ûë0-5-803ûé1-3-2-11ùé1ê0122-3úê0ú®ê ®êê00210-12úê0êúê00000ëûë000-1516ù10-89úú 015-6úú0000ûìx1ïx2此时齐次方程组化为 íïî得方程组的一般解为 -15x4=16-8x4=9 x3+5x4=-6ìx1=16+15x4ïíx2=9+8x4其中x4是自由未知量 ïx=-6-5x4î3 7.当l为何值时，线性方程组ìx1-x2-5x3+4x4=2ï2x-x+3x-x=1ï1234 íï3x1-2x2-2x3+3x4=3ïî7x1-5x2-9x3+10x4=l有解，并求一般解。 é1-1-54ê2-13-1解：A=êê3-2-23êë7-5-9102ùé1-1ê011úú®êê013úúêlûë0208-51313262ù-9-3úú® -9-3úú-18l-14û42ùé1-1-54é1ê0113-9-3úê0êú®êê00ê000l-8úêúê00000ëûë0-1ù113-9-3úú所以，当l=8时，有解。一般为：000l-8úú0000û10 -5ìx1=-8x3+5x4-1其中x3,x4是自由未知量 íîx2=-13x3+9x4-3 11v微分计算题试卷1设y=esinx+cos5x，求dysinx解：因为 y¢=e(sinx)¢+5cos4x(cosx)¢=esinxcosx-5cos4xsinxcosx-5cos4xsinx)dx 所以 dy=(e2计算积分esinxòe1xlnxdx e解：ò1x21e2xlnxdx=lnx-òxd(lnx) 2211e21ee21-xdx=+ =22ò1443设y=ecosx+xx，求dy 解：y¢=ecosx(cosx)¢+(x)¢=e132cos2x3(-sinx)+x2 213cos2x)dx dy=(x2-sinxe2sin4计算积分 òx21xdxsin解： ò1dx=-sin1d(1)=cos1+c òxxxx2sinx5.设y=e+tanx，求dy. 解：由导数运算法那么和复合函数求导法那么得dy=d(esinx+tanx) =d(esinx)+d(tanx)11sinx dx=ecosxdx+dx cos2xcos2x1=(esinxcosx+)dx cos2x=esinxd(sinx)+ 126.计算òedxx10分解：由不定积分的凑微分法得òedxxx=2òexd(x) =2e2x+c 7.=2sinx，求y¢. 解：由导数运算法那么和复合函数求导法那么得y¢=(2xsinx2)¢=(2x)¢sinx2+2x(sinx2)¢x+2cosx(x)¢ =2ln2sinx2x22=2xln2sinx2+2x2xcosx28计算ò202xcosxdx . 解：由定积分的分部积分法得ò 202xcosxdx=2xsinx20-òsinxd2x 2021作业1y=x-xex，求y¢ x解：y¢=(x)¢-(xe)¢=12x-(x)¢ex-x(ex)¢=12x-(1+x)ex2y=esinbx，求dy解：Qy¢=sinbx×(e)¢+eaxaxax×(sinbx)¢=sinbx×eax×(ax)¢+eax×cosbx×(bx)¢ =eaxasinbx+eaxbcosbxdy=y¢dx=eax(asinbxdx+bcosbx)dx3y=e+xx，求dy 1x31x-2ex)dx 解：dy=y¢dx=(2x1331Qy¢=(e)¢+(x)¢=e()¢+x2=x-2ex x22x4y=cosx-e-x211x321x11，求dy 解：Qy¢=(cosx)¢-(e-x2)¢=-sinx×(x)¢-e-x×(x-2)¢=2xe-x-sinx2x22sinx2x dy=y¢dx=(2xe-x-22)dx 5y=ln(x+x)，求y¢ 解：y¢=(x+x2)¢x+x22=1+(+x2)¢x+x1+x21+=2x2+x222x+x =x+x2(x+x)+x2=26x2+xdx ò11122222解：原式=ò2+xd(x)=ò(2+x)2d(2+x)=(2+x)2+C 22314 137òsinxxdx 解：原式=2sinxd(x)=-2cosx+C8xsinòòxdx 2解：原式=2xsinxxxxxd()=-2xd(cos)=-2xcos+2cosò22òò2dx 22xxxxx=-2xcos+4òcosd()=-2xcos+4sin+C 222229ln(x+1)dx解：方法1 ò原式=òln(x+1)d(x+1)=(x+1)ln(x+1)-ò(x+1)dln(x+1) =(x+1)ln(x+1)-òdx=(x+1)ln(x+1)-x+C10ò21ex x221x11x12解：原式=-òed()=-ex|1=e- 1x11òe31x+lnx1x 解：原式=òe31+lnx1ed(lnx+1)=2+lnx|1=2(+lne3-+ln1)=2 3p12ò20xcos2xdx pppp11112解：原式=ò2xcos2xd(2x)=ò2xd(sin2x)=xsin2x|0-ò2sin2xdx 202122011=cos2x|02=- 4213pòe1xlnxdx 1e121e1212e122e解：原式=òlnxd(x)=xlnx|1-òxdx=e-x|1=(e+1) 212212441514ò40(1+xe-x)dx解：原式=òdx+ò0440xedx=4-òxed(-x)=4-xe|+òe-xdx 00-x4-x-x4044=4-4e-4-e-x|0=4-4e-4-e-4+1=5(1-e-4) 复习指导1、设y=xx-sin3x+cos2x，求y¢。 解：y¢=(x)¢-(sin3x)¢+(cos2x)¢ 323=x2-3sin2x(sinx)¢-sin2x(2x)¢ 23=x2-3sin2xcosx-2xln2sin2x 22、设y=2xsinx，求y¢。 解：y¢=(2x)¢sinx+2x(sinx)¢ 11=2xln2sinx+2xcosx(x)¢=2xln2sinx+2xcosx×2x12x 3、设y=cosx-xe，求y¢。2x解：y¢=(cosx)¢-(xe)¢=-sinx2(x2)¢-(ex+xex)=-2xsinx2-(ex+xex)4、设y=lnsinx2，求y¢。 12解：y¢=(lnsinx2)¢=(sinx)¢ 2sinx1=(cosx2)(x2)¢=2xcotx2 2sinx 165、设y=sinx+e33-2x2，求dy。 解：y¢=(sinx)¢+(e2-2x2)¢ 2=3sinx(sinx)¢+(-2x2)¢e-2x=3sin2xcosx-4xe-2xdy=(3sin2xcosx-4xe-2x)dx6、设y=sinx-e-x222，求dy。 -x2解：y¢=(sinx)¢-(e)¢2=cosx(x)¢-(-x2)¢e-x=2cosx+2xe-x 2x2cosx+2xe-x)dx 2xdy=(7、设y=cosx+xe，求dy。 解：y¢=(cosx)¢+(xe)¢ xx=-sinx(x)¢+(ex+xex)=-sinx+(x+1)ex 2xsinxdx+(x+1)exdx 2xdy=-8、òln50ex(1+ex)2dx解：原式=òln50(1+e)de=òx2xln50(1+ex)2d(1+ex)115=(1+ex)3|ln=(1+eln5)3-(1+e0)3 0331208 =(63-23)=33 179、1ò1x+lnxdx e解：原式=òe1e11dlnx=òd(1+lnx) 1+lnx+lnx=ò(1+lnx)d(1+lnx) 1e-12=2(1+lnx)|=2(1+lne)-(1+ln1) =2(2-1)10、12e11212òe1x2lnxdx1e131e33elnxdx=xlnx|-xdlnx 1òò11333解：原式=131ex311e=e-òdx=e3-òx2dx 331x331=e3-p1313e231x|1=e+ 99911、ò20xsin2xdxpp1p112+ò2cos2xdx 解：原式=-ò2xdcos2x=-xcos2x|0202201p1p2=+sin2x|0=+(sinp-sin0)= 44444ppp12、ò20xcosxdxppp0解：原式=ò202xdsinx=xsinx|0-ò2sinxdx=p2p+cosx|02=p2-118