等腰三角形的性质(精品).pptx
如图如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分并剪去绿色部分,再把它展开再把它展开,得到的得到的ABCABC有有什么特点什么特点?ABCABCD1._是等腰三角形是等腰三角形.有两边相等的三角形有两边相等的三角形2.等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等（等边对等角）（等边对等角）几何语言：几何语言：在在ABCABC中中,AB=AC AB=ACB=C B=C 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕对折沿折痕对折,找找出其中重合的线段和角出其中重合的线段和角,填入下表：填入下表：思考：上面剪出的等腰三角形是轴对称图思考：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？形吗？ACBD重合的线段重合的线段AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=ADAD=ADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD重合的角重合的角ADAD是是中线中线ADAD是高是高ADAD是角平分线是角平分线观察等腰三角形观察等腰三角形ABC的折痕的折痕AD,你能发现等腰三角你能发现等腰三角形还有什么性质吗形还有什么性质吗?说一说你的猜想说一说你的猜想.猜想等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上顶角平分线、底边上的中线、底边上的高的中线、底边上的高互相重合互相重合.如何证明？如何证明？思路点拨：思路点拨：CBDA AD是角平分线AD也是中线和高 AD是高AD也是中线和角平分线 AD是中线AD也是角平分线和高互相重合互相重合已知：在ABC中，AB=AC，BAD=CAD求证：BD=CD，ADBCCBDA验证证明：在证明：在ABDABD和和ACDACD中中 AB=ACAB=AC BAD=CADBAD=CAD AD=AD AD=ADABDABDACDACD（SASSAS）BD=CDBD=CD，ADB=ADCADB=ADCADB+ADC=180ADB+ADC=180ADB=ADC=90ADB=ADC=90ADBCADBCCBDA验证 AD是高AD也是中线和角平分线 AD是中线AD也是角平分线和高 AD是角平分线AD也是中线和高 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合互相重合.简称为简称为“三线合一三线合一”.等腰三角形的性质等腰三角形的性质2 2 AB=AC,BD=CD,ADBC,1=2.几何语言：AB=AC,ADBC,BD=CD,1=2.AB=AC,1=2,ADBC,BD=CD.CBDA1 1 2 2例题讲解例题讲解例例1如图如图,ABC是等腰三角形是等腰三角形,AB=AC,若若AD平分平分 BAC（1）BAC=40,则则 CAD=_.（2）若）若BD=3,则则BC=_.（3）若）若AD=4,BC=5,则则SABC=_.20610例题讲解例题讲解例例2 2（导P57第2题）如图如图,ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,AB=AC,BAC=90,AD是底边是底边BC上的高上的高（1）求出）求出 B,C；（2）求）求 BAD,DAC的度数；的度数；（3）若）若BD=4cm,求求CD的长的长.CABD例题讲解例题讲解例例2 2（导P57第2题）如图如图,ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,AB=AC,BAC=90,AD是底边是底边BC上的高上的高CABD解：(1)在RtABC中,AB=AC,BAC=90B=C=45(2)AB=AC,ADBCAD平分BACBAC=90BAD=DAC=BAC=90=45(3)AB=AC,ADBC,BD=4cm BD=CD=4cm例例3.3.已知已知AB=AE,BC=ED,AB=AE,BC=ED,B=B=E,AME,AMCDCD于于M.M.求证求证CM=MDCM=MD证明：连接AC.AD在ABC和AED中AB=AEBC=EDABCAED（SAS）AC=ADCM=DMB=EAC=AD,AMCD例题讲解例题讲解先构造等腰三角形先构造等腰三角形再利用再利用“三线合一三线合一”例例3变式：如图变式：如图,已知在已知在ABC中中,AB=AC,CD AD于于D,CD=BC,D在在ABC外外,求证：求证：ACD=B例题讲解例题讲解E证明：如图,过点A作BC边上的中线AEAB=AC,AE是中线ADBC,BE=BCCDADD=AED=90AE是中线CD=BCCD=BEAB=AC,CD=BERtABERtACD（HL）ACD=B先连线先连线再利用再利用“三线合一三线合一”拓展提升拓展提升例4 在在ABCABC中中,AB=ACAB=AC（1 1）如图）如图1 1,如果如果BAD=30BAD=30,ADAD是是BCBC上的高上的高,AD=AEAD=AE,则则EDC=EDC=.（2 2）如图）如图2 2,如果如果BAD=40BAD=40,ADAD是是BCBC上的高上的高,AD=AEAD=AE,则则EDC=EDC=.（3 3）思考：通过以上两题）思考：通过以上两题,你发现你发现BADBAD与与EDCEDC之间之间有什么关系？请用式子表示：有什么关系？请用式子表示：,并说明理由并说明理由.（4 4）如图）如图3 3,如果如果ADAD不是不是BCBC上的高上的高,但仍有但仍有AD=AEAD=AE,则则是是否仍有上述关系？请说明理由否仍有上述关系？请说明理由 图图1图图2图图315152020BAD=2EDCBAD=2EDC等腰三角形等腰三角形的顶角角平分线、底边上的高、的顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合底边上的中线互相重合.（三线合一）（三线合一）A AD DC CB B在等腰三角形中在等腰三角形中已知一条线段是已知一条线段是可用可用“三线合一三线合一”证出证出顶角平分线顶角平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高底边上的高底边上的中线、底边上的高底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的高顶角平分线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线顶角平分线、底边上的中线拓展提升拓展提升例例4 4 如图如图,已知在已知在ABCABC中中,AB=AC,E,AB=AC,E在在ACAC上上,D,D在在BABA的延的延长线上长线上,AD=AE,AD=AE,连接连接DE,DE,求证：求证：DEBC.DEBC.添加辅助线思路添加辅助线思路FG图中图中AG这条线段的引出可以看成是：这条线段的引出可以看成是：1.过点过点A作作DE的平行线的平行线2.过点过点A作作BC的垂线的垂线3.BAC的角平分线的角平分线4.作作BC边的中线边的中线拓展提升拓展提升例例4 4 如图如图,已知在已知在ABCABC中中,AB=AC,E,AB=AC,E在在ACAC上上,D,D在在BABA的延的延长线上长线上,AD=AE,AD=AE,连接连接DE,DE,求证：求证：DEBC.DEBC.添加辅助线思路添加辅助线思路F图中图中AF这条线段的引出可以看成是：这条线段的引出可以看成是：1.过点过点A作作BC的平行线的平行线2.过点过点A作作DE的垂线的垂线3.DAC的角平分线的角平分线4.作作DE边的中线边的中线1.1.对称美对称美2.2.简洁美简洁美3.3.实用美实用美轴对称图形轴对称图形（顶角角平分线、底（顶角角平分线、底边上的高、底边上的边上的高、底边上的中线互相重合中线互相重合,所在的所在的直线是对称轴）直线是对称轴）常用的辅助线作法常用的辅助线作法 性质性质1 等边对等角等边对等角 性质性质2 三线合一三线合一
