数字信号处理第6章.ppt

6-1 引言引言一、一、DF按频率特性分类按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：其特点为：（1）频率变量以数字频率）频率变量以数字频率 表示，表示，为模拟角频率，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率）以数字抽样频率 为周期；为周期；（3）频率特性只限于）频率特性只限于 范围，这范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。一半。00低通低通0高通高通带通带通00带阻带阻全通全通二、二、DF的性能要求（低通为例）的性能要求（低通为例）0通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率通带通带阻带阻带过渡带过渡带 平滑过渡平滑过渡三、三、DF频响的三个参量频响的三个参量 1、幅度平方响应、幅度平方响应 2、相位响应、相位响应3、群延迟、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。就是表示每个频率分量的延迟相同。四、四、DF设计内容设计内容 1、按任务要求确定、按任务要求确定Filter的性能指标；的性能指标；2、用、用IIR或或FIR系统函数去逼近这一性能要求；系统函数去逼近这一性能要求；3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；、选择适当的运算结构实现这个系统函数；4、用软件还是用硬件实现。、用软件还是用硬件实现。五、五、IIR数字数字filter的设计方法的设计方法 1、借助模拟、借助模拟filter的设计方法的设计方法（1）将）将DF的技术指标转换成的技术指标转换成AF的技术指标；的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的的 ；（3）将将 （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。的技术指标。2、计算机辅助设计法（最优化设计法）、计算机辅助设计法（最优化设计法）先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系确定系统函数的系数。统函数的系数。6-2 将将DF的技术指标转换为的技术指标转换为ALF的技术指标的技术指标一、意义一、意义 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。夫等。二、一般转换方法二、一般转换方法 1、2、3、4、三、转换举例三、转换举例 例如，一低通例如，一低通DF的指标：在的指标：在 的通带的通带范围，幅度特性下降小于范围，幅度特性下降小于1dB；在在 的的阻带范围，衰减大于阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率抽样频率 ；试将这一指标转换成试将这一指标转换成ALF的技术指标。的技术指标。解：按照衰减的定义和给定指标，则有解：按照衰减的定义和给定指标，则有 假定假定 处幅度频响的归一化值为处幅度频响的归一化值为1，即即这样，上面两式变为这样，上面两式变为由于由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式，所以当没有混叠时，根据关系式模拟模拟filter的指标为的指标为6-3 ALF的设计的设计 ALF的设计就是求出的设计就是求出filter的系统函数的系统函数 Ha(S)，使其逼近理想使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filter的类型）的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是依据是幅度平方函数幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统，即由幅度平方函数确定系统函数。函数。一、由幅度平方函数确定系统函数一、由幅度平方函数确定系统函数 1、幅度平方函数、幅度平方函数由于由于 所以所以 其中，其中，是是AF的系统函数，的系统函数，是是AF的频响，的频响，是是AF的幅频特性。的幅频特性。2、Ha（S）Ha（-S）的零极点分布特点的零极点分布特点 （1）如果）如果S1是是Ha（S）的极点，那麽的极点，那麽-S1就是就是Ha（-S）的极点；同样，如果的极点；同样，如果S0是是Ha（S）的零点，那麽的零点，那麽-S0就是就是Ha（-S）的零点。所以的零点。所以Ha（S）Ha（-S）的零极点是呈的零极点是呈象限对称的象限对称的,例如：例如：（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的是实数时的Ha（S）的零极点以共轭对存在；的零极点以共轭对存在；（3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；（4）由于）由于filter是稳定的，所以是稳定的，所以Ha（S）的极点一定在的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为要求，可取任一半对称零点为Ha（S）的零点。的零点。3、由、由 确定确定 的方法的方法 （1）求）求 （2）分解）分解 得到各零极点，将左半面的得到各零极点，将左半面的极点极点 归于归于 ，对称的零点任一半归，对称的零点任一半归 。若要求。若要求最小相位延时，左半面的零点归最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点（全部零极点位于单位圆内）。位于单位圆内）。（3）按频率特性确定增益常数。）按频率特性确定增益常数。例例6-1 由由确定系统函数确定系统函数 。解：解：所以，极点为所以，极点为 零点为零点为均为二阶的。我们选极点均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点，一对虚轴零点为为 的零极点，这样的零极点，这样由由 ，可确定出，可确定出 ，所以所以 。因此因此因因二、巴特沃斯低通滤波器二、巴特沃斯低通滤波器 1、幅度平方函数、幅度平方函数其中，其中，N为整数，是为整数，是filter的阶数；的阶数；为截止频率。为截止频率。当当 时，则时，则即即（1）通带内有最大平坦的幅度特性；）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管）不管N为多少，都通过为多少，都通过 点。点。2、幅频特性、幅频特性1.00N=2N=4N=83、巴特沃斯、巴特沃斯filter的系统函数的系统函数由于由于 所以其零点全部所以其零点全部在在 处；即所谓全极点型，它的极点为处；即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有），共有2N点。点。例如，例如，N=2时，时，N=3时，时，4取取 左半平面的极点为左半平面的极点为 的极点，的极点，这样极点仅有这样极点仅有N个，即个，即其中，常数其中，常数 由由 的低频特性决定。的低频特性决定。则则例例6-2导出三阶巴特沃斯导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设的系统函数，设解：解：所以所以其极点为其极点为因此有因此有取前三个极点，则有取前三个极点，则有4、归一化的系统函数、归一化的系统函数 如果将系统函数的如果将系统函数的S,用滤波器的截止频率去除，这用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作函数称作归一化的系统函数记作 例如，对于巴特沃斯例如，对于巴特沃斯filter 如果将低通如果将低通filter归一化，就称作归一化原型归一化，就称作归一化原型 滤波器。滤波器。三、归一化原型三、归一化原型filter的设计数据的设计数据 不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的归一化原型都有自己的归一化原型filter，而且它们都有现成的数而且它们都有现成的数据表可查和设计公式据表可查和设计公式 例如，归一化巴特沃斯原型例如，归一化巴特沃斯原型filter的系统函数（这的系统函数（这里的里的S即即 ）为）为当当 ,增益为增益为1，则有，则有 ，N=110阶的各阶的各个系数，如表个系数，如表5-3，P148所示。所示。如果如果 ，则，则 E（S）的根。即的根。即 的极点如表的极点如表5-5，P150所示。所示。*由归一化系统函数由归一化系统函数 得得 ，只需将，只需将S代代入入 即可。即可。四、设计举例（巴特沃斯四、设计举例（巴特沃斯filter）1、技术指标技术指标 2、计算所需的阶数及、计算所需的阶数及3dB截止频率截止频率将技术指标，代入上式，可得将技术指标，代入上式，可得解上述两式得：解上述两式得：因此，因此，取取N=6，则，则3、的求得的求得查查P148，表表5-3，可得，可得N=6时的归一化原型模拟巴特时的归一化原型模拟巴特沃斯沃斯LF的系统函数为的系统函数为将将S用用 代入，可得代入，可得6-4 冲激响应不变法冲激响应不变法 AF设计完毕以后，还应将设计完毕以后，还应将 变换成变换成H（Z），），也就是将也就是将S平面映射到平面映射到Z平面。通常有三种方法：平面。通常有三种方法：（1）冲激响应不变法冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。）双线性变换法。我们这里只讨论冲激响应不变法。我们这里只讨论冲激响应不变法。一、变换原理一、变换原理 h（n）为为DF的单位冲激响应序列，的单位冲激响应序列，为为AF的的冲激响应，冲激响应不变法就是使冲激响应，冲激响应不变法就是使h（n）正好等于正好等于 的抽样值，即的抽样值，即如果如果 则有则有上式表明，先对上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到的映射关系映射到Z平面。平面。二、混迭失真二、混迭失真 DF的频响并不是简单的重复的频响并不是简单的重复AF的频响，而是的频响，而是AF的频响的周期延拓，即的频响的周期延拓，即 根据取样定理，只有当根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内的频响带限于折叠频率以内时，即时，即才能使才能使DF在折叠频率在折叠频率 内重现内重现AF的频响，而不产生混的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带的频响却不是严格带限的，就会产生限的，就会产生混迭混迭失真，如下图失真，如下图0三、三、AF的数字化方法的数字化方法 1、一般方法、一般方法 。先。先 ，再对，再对抽样，使抽样，使 ，最后，最后 H（Z）=Zh（n），一一般说来过程复杂。般说来过程复杂。2、方法的简化、方法的简化 设设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，子的阶次，可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式因此，因此，3、几点结论、几点结论（1）S平面的单极点平面的单极点 变为变为Z平面单极点平面单极点 就可求得就可求得H（Z）。）。（2）与与H（Z）的系数相同，均为的系数相同，均为（3）AF是稳定的，是稳定的，DF也是稳定的。也是稳定的。（4）S平面的极点与平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。例如，零点就没有这种对应关系。4、修正的、修正的H（Z）由于由于DF的频响与的频响与T成反比，当成反比，当T很小时，很小时，DF的增益的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：过高，这样很不好，为此做如下修正：例例6-3 AF的系统函数为的系统函数为 ，试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRDF，T=1解：解：设设T=1，6-5 双线性变换法通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。一、变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：时，将由 经过0变到 由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过正切变换实现：其中C为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到通过欧拉公式，可得：上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：将上式关系延拓到整个S和 平面，则有：借助于 平面和Z平面的映射关系：，可以得到：可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是双向的，故称作双线性变换二、S平面与Z平面的映射关系由于可得：（1）当 时，；这就是说，S平面的 轴映射Z平面的单位圆上。（1）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。三、变换常数C的选择 由于 ，所以只有当 很小（一般），和 之间才存在线性关系，即：1.如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择 这时有 ，即2.如果使DF的某一稳定频率（如 ）与AF的一特定频严格相对应，则有率即四、双线性变换的特点1。S平面的虚轴（）映射到Z平面的单位圆上。这是因为 时，不管常数C为何值，均为12。稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：将 代入双线性变换公式，且 则即亦即 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当时，为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。五、设计方法1。直接代入法 只需将 代入AF系统函数 就可得到DF的系统函数 ，即2.间接代入法先将 AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。变换关系近似于线性，随着 的增加，表现出严重 非线性。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。4.频率的非线性失真从 的关系曲线可以看出，在零频附近，与 之间的例如并联形式与上述类似3。表格法 由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出AF与DF的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。设AF的系统函数为：注：上式分子与分母的阶次均为N，若分子阶次小时，可令最高几个阶次的 为零。又设DF的系统函数为P137 表5-1 给出了一至三阶的 系数 与 系数 关系