量子力学-第七章.ppt

1 1 电子的自旋子的自旋 2 2 电子的自旋算符和自旋波函数子的自旋算符和自旋波函数3 3 全同粒子的特性全同粒子的特性 4 4 全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数 PauliPauli 原理原理 5 5 两两电子自旋波函数子自旋波函数 第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子（一）（一）Stern-Stern-GerlachGerlach 实验 (二）光二）光谱线精精细结构构（三）（三）电子自旋假子自旋假设（四）回（四）回转磁比率磁比率1 1 电子的自旋电子的自旋（1 1）实验描述）实验描述Z处于于 S S 态的的氢原子原子（2 2）结论）结论I I、氢原子有磁矩原子有磁矩 因在非均匀磁因在非均匀磁场中中发生偏生偏转IIII、氢原子磁矩只有两种取向原子磁矩只有两种取向 即空即空间量子化的量子化的S S 态的的氢原子束流，原子束流，经非均匀磁非均匀磁场发生偏生偏转，在感光板上呈，在感光板上呈现两条分立两条分立线。NS（一）（一）Stern-Stern-GerlachGerlach 实验实验3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D25896 5890钠原子光原子光谱中的一条亮中的一条亮黄黄线 58935893，用高用高分辨率的光分辨率的光谱仪观测，可以看到可以看到该谱线其其实是是由靠的很近的两条由靠的很近的两条谱线组成。成。其他原子光其他原子光谱中也可以中也可以发现这种种谱线由更由更细的一些的一些线组成的成的现象，称之象，称之为光光谱线的精的精细结构。构。该现象象只有考只有考虑了了电子的自旋才子的自旋才能得到解能得到解释（二）光谱线精细结构（二）光谱线精细结构UhlenbeckUhlenbeck 和和 GoudsmitGoudsmit 1925 1925年根据上述现象提出了年根据上述现象提出了电子自旋假设电子自旋假设（1 1）每个）每个电子都具有自旋角子都具有自旋角动量，它在空量，它在空间任何方向上的投任何方向上的投影只能取两个数影只能取两个数值：（2 2）每个）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系量的关系为：自旋磁矩，在空自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr Bohr 磁子磁子（三）电子自旋假设（三）电子自旋假设2 2 电子的自旋算符和自旋波函数电子的自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符（一）自旋算符 （二）含自旋的状（二）含自旋的状态波函数波函数 （三）自旋算符的矩（三）自旋算符的矩阵表示与表示与 PauliPauli 矩矩阵 （四）自旋波函数（四）自旋波函数 自旋角自旋角动量是量是纯量子概念，它不可能用量子概念，它不可能用经典力学来解典力学来解释。自旋角自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通通常常的的力力学学量量都都可可以以表表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数而而自自旋旋角角动动量量则则与与电电子子的的坐坐标标和和动动量量无无关关，它它是是电电子子内内部部状状态态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为也是用一个算符描写，记为自旋角动量自旋角动量轨道轨道角动量角动量 异同点异同点与坐与坐标、动量无关量无关不适用不适用同是角同是角动量量满足同足同样的角的角动量量对易关系易关系（一）自旋算符（一）自旋算符由于由于自旋角自旋角动量量在空在空间任意方向上的投影只能取任意方向上的投影只能取 /2/2 两个两个值所以所以的本征的本征值都是都是/2/2，其平方，其平方为 /2/22 2算符的本征算符的本征值是是仿照仿照自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数只有一个数值因因为自旋是自旋是电子内部运子内部运动自由度，所以描写自由度，所以描写电子运子运动除了用除了用 (x,y,(x,y,z)z)三个坐三个坐标变量外，量外，还需要一个自旋需要一个自旋变量量 (S(SZ Z），），于是于是电子的含自旋子的含自旋的波函数需写的波函数需写为：由于由于 S SZ Z 只取只取 /2/2 两个值，两个值，所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量：写成列矩写成列矩阵规定列矩阵规定列矩阵 第一行对应于第一行对应于S Sz z=/2/2，第二行对应于第二行对应于S Sz z=-=-/2/2。若若已已知知电子子处于于S Sz z =/2/2或或S Sz z =-/2/2的的自旋自旋态，则波函数可分波函数可分别写写为：（二）含自旋的状态波函数（二）含自旋的状态波函数（1 1）SZ的矩阵形式的矩阵形式电子自旋算符（如子自旋算符（如S SZ Z）是作用与是作用与电子自旋子自旋波函数上的，既然波函数上的，既然电子波函数表示成了子波函数表示成了2 21 1 的列矩的列矩阵，那末，那末，电子自旋算符的子自旋算符的矩矩阵表示表示应该是是 2 22 2 矩矩阵。因因为为1/2 1/2 描描写写的的态态，S SZ Z有有确确定定值值 /2/2，所所以以1/2 1/2 是是 S SZ Z 的的本本征征态态，本本征征值值为为 /2/2，即有：，即有：矩阵形式矩阵形式同理对同理对1/2 处理，有处理，有最后得最后得 S SZ Z 的的矩矩阵形式形式S SZ Z 是是对角矩角矩阵，对角矩角矩阵元是其本征元是其本征值/2/2。（三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 PauliPauli 矩阵矩阵（2 2）PauliPauli 算符算符1.Pauli 算符的引进算符的引进分量分量形式形式因因为S Sx x,S Sy y,S Sz z的本征的本征值都是都是/2/2，所以所以x x,y y,z z的本征的本征值都是都是1 1；x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征的本征值都是都是1 1。即：即：2.2.反对易关系反对易关系基于基于的对易关系，可以证明的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系各分量之间满足反对易关系:证：证：我们从对易关系我们从对易关系:出发出发左乘左乘y y右乘右乘y y二式相加二式相加同理可证同理可证:y,z分量的反对易分量的反对易关系亦成立关系亦成立.证毕证毕 或或由由对易关系和反易关系和反对易关系易关系还可可以得到关于以得到关于 PauliPauli 算符的如下算符的如下非常有用性非常有用性质：y2=13.3.PauliPauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式根据定义根据定义求求 Pauli 算符的算符的 其他两个分量其他两个分量令令利用反对利用反对易关系易关系X 简化为：简化为：令：令：c=1,c=1,则则由力学量算由力学量算符厄密性符厄密性得：得：b=c*(或或c=b*)求求y 的矩阵形式的矩阵形式于是得到于是得到 PauliPauli 算符的矩算符的矩阵形式形式为：从自旋算符与从自旋算符与 PauliPauli 矩矩阵的关系自然得到自旋算符的矩的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：表示：写成矩阵形式写成矩阵形式波函数波函数这是是因因为，通通常常自自旋旋和和轨道道运运动之之间是是有有相相互互作作用用的的，所所以以电子子的的自自旋旋状状态对轨道道运运动有有影影响响。但但是是，当当这种种相相互互作作用用很很小小时，可可以以将将其其忽忽略略，则1 1 ,2 2 对 (x,(x,y,y,z)z)的的依依赖一一样，即即函函数数形式是相同的。此形式是相同的。此时可以写成如下形式：可以写成如下形式：S SZ Z 的本征方程的本征方程令令一般情况下，一般情况下，1 1 2 2，二者二者对(x,y,(x,y,z)z)的依的依赖是不一是不一样的。的。（五）自旋波函数（五）自旋波函数求：自旋波函数求：自旋波函数因因为 S Sz z 是是 2 2 2 2 矩矩阵，所以在，所以在 S S2 2,S Sz z 为对角矩角矩阵的表象的表象内，内，1/21/2,-1/2 -1/2 都都应是是 2 21 1 的列矩的列矩阵。代入本征方程得：代入本征方程得：由由归一化条件确定一化条件确定a a1 1所以所以二者是属于不同本征二者是属于不同本征值的本征函数，彼此的本征函数，彼此应该正交正交（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理 （二）（二）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子3 全同粒子的特性全同粒子的特性（1 1）全同粒子）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性荷、自旋等固有性质完全相同的微完全相同的微观粒子。粒子。（2）经典粒子的可区分性典粒子的可区分性经典力学中，固有性典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。完全相同的两个粒子，是可以区分的。因因为二粒子在运二粒子在运动中，有各自确定的中，有各自确定的轨道，在任意道，在任意时刻都有确刻都有确定的位置和速度。定的位置和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子1212（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理（3）微）微观粒子的不可区分性粒子的不可区分性微微观粒子运粒子运动服从服从量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区 粒子是不可区分的粒子是不可区分的（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理不引起体系物理状状态的改的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。全同性原理是量子力学的基本原理之一。1、Hamilton 算符具有交算符具有交换对称性称性N 个全同粒子个全同粒子组成的体系，其成的体系，其Hamilton 量量为：调换第第 i 和第和第 j 粒子，粒子，体系体系 Hamilton 量不量不变。即：即：表明，表明，N 个全同粒子个全同粒子组成的体系的成的体系的Hamilton 量具有交量具有交换对称性，称性，交交换任意两个粒子坐任意两个粒子坐标（q i,q j)后不后不变。（二）全同粒子系（二）全同粒子系统的特性：的特性：2、全同粒子的波函数有确定的交、全同粒子的波函数有确定的交换对称性称性考考虑全同粒子体系的含全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程方程将方程中（将方程中（q i,q j)调换，得：，得：由于由于Hamilton 量量对于（于（q i,q j)调换不不变表明：表明：（q i,q j)调换前后的波函数都是前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。方程的解。根据全同根据全同性原理：性原理：描写同一状描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。因此，二者相差一常数因子。再做一次（再做一次（q i,q j)调换对称波函数称波函数反反对称波函数称波函数引入粒引入粒子坐子坐标交交换算算符符全同粒子体系波函数的全同粒子体系波函数的这种种对称性不随称性不随时间变化，即初始化，即初始时刻刻是是对称的，以后称的，以后时刻永刻永远是是对称的；初始称的；初始时刻是反刻是反对称的，以称的，以后后时刻永刻永远是反是反对称的。称的。证设全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数 s 在在 t 时刻是刻是对称的，由体系哈密称的，由体系哈密顿量量是是对称的，所以称的，所以 H s 在在t 时刻也是刻也是对称的。称的。在在 t+dt 时刻，波函数刻，波函数变化化为对称称对称称二二对称波函称波函数之和仍是数之和仍是对称的称的依次依次类推，在以后任何推，在以后任何时刻，波函数都是刻，波函数都是对称的。称的。同理可同理可证：t 时刻是反刻是反对称的波函数称的波函数 A，在，在t 以后任何以后任何时刻都是反刻都是反对称的。称的。3、波函数的、波函数的对称性不随称性不随时间变化化结论：描写全同粒子体系状描写全同粒子体系状态的波函数只能是的波函数只能是对称的或反称的或反对称的，其称的，其对称性不随称性不随时间改改变。如果体系在某一如果体系在某一时刻刻处于于对称（或反称（或反对称）称）态上，上，则它将永它将永远处于于对称（或反称（或反对称）称）态上。上。实验表明：表明：对于每一种粒子，它于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交的多粒子波函数的交换对称性是完全称性是完全确定的，而且确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的称性与粒子的自旋有确定的联系。系。（1）Bose 子子凡自旋凡自旋为零或零或为 整数倍（整数倍（s=0，1，2，)的粒子，其多粒子波函的粒子，其多粒子波函数数对于交于交换 2 个粒子个粒子总是是对称的，遵从称的，遵从Bose统计，故称，故称为Bose 子。子。如：如：光子光子（s=1）；）；介子介子（s=0）。）。（三）（三）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子（2）Fermi 子子凡自旋凡自旋为 半奇数倍（半奇数倍（s=1/2，3/2，)的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于于交交换 2 个粒子个粒子总是反是反对称的，遵从称的，遵从Fermi 统计，故称，故称为Fermi 子。子。例如：例如：电子、子、质子、中子（子、中子（s=1/2）等粒子。等粒子。（一）（一）2 2个全同粒子波函数个全同粒子波函数 （二）（二）N N 个全同粒子体系波函数（三）个全同粒子体系波函数（三）PauliPauli 原理原理4 全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数Pauli 原理原理1、对称和反称和反对称波函数的构成称波函数的构成（1）2 个全同粒子个全同粒子Hamilton 量（无相互作用量（无相互作用时）（2）单粒子波函数粒子波函数（一）（一）2个全同粒子波函数个全同粒子波函数（3）交交换简并并粒子粒子1 在在 i 态，粒子，粒子2 在在 j 态，则体系能量和波函数体系能量和波函数为：验证：粒子粒子2 在在 i 态，粒子，粒子1 在在 j 态，则体系能量和波函数体系能量和波函数为：（4）满足足对称条件波函数的构成称条件波函数的构成全同粒子体系要全同粒子体系要满足足对称性条件，而称性条件，而 (q1,q2)和和 (q2,q1)仅当当 i=j 二二态相同相同时，才是一个，才是一个对称波函数；称波函数；当当 i j 二二态不同不同时，既不是，既不是对称波函数，也不是反称波函数，也不是反对称波函数。称波函数。所以所以 (q1,q2)和和 (q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。不能用来描写全同粒子体系。构造具有构造具有对称性的波函数称性的波函数C 为归一化系数一化系数显然然 S(q1,q2)和和 A(q1,q2)都是都是 H 的本征函数，本征的本征函数，本征值皆皆为：（5）S 和和 A 的的归一化一化若若单粒子波函数是正交粒子波函数是正交归一化的，一化的，则 (q1,q2)和和 (q2,q1)也是正交也是正交归一化的一化的证：同理：同理：而而同理：同理：证毕首先首先证明明然后考然后考虑 S 和和 A 归一化一化则归一化的一化的 S同理同理对 A 有：有：上述上述讨论是适用于二粒子是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子无相互作用的情况，当粒子间有互作用有互作用时，但是下式但是下式仍然成立仍然成立归一化的一化的 S A 依旧依旧因因H 的的对称性称性式式2成立成立（1）Shrodinger 方程的解方程的解上述上述对2个全同粒子的个全同粒子的讨论可以推广到可以推广到N个全同粒子体系，个全同粒子体系，设粒子粒子间无互作用，无互作用，单粒子粒子H0 不不显含含时间，则体系体系单粒子本粒子本征方程：征方程：（二）（二）N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数（2）Bose 子体系和波函数子体系和波函数对称化称化2 个个Bose 子体系，其子体系，其对称化波函数是：称化波函数是：1，2 粒子在粒子在 i，j态中的一种排列中的一种排列N 个个Bose 子体系，其子体系，其对称化波函数可称化波函数可类推是：推是：N 个个 粒子在粒子在 i，j k 态中的一种排列中的一种排列归一化系数一化系数对各种可能排列各种可能排列 p 求和求和nk 是是单粒子粒子态 k 上的粒子数上的粒子数（3）Fermi 子体系和波函数反子体系和波函数反对称化称化2 个个Fermi 子体系，其反子体系，其反对称化波函数是：称化波函数是：行列式的性行列式的性质保保证了波函数反了波函数反对称化称化推广到推广到N 个个Fermi 子体系：子体系：两点两点讨论I.行列式展开后，每一行列式展开后，每一项都是都是单粒子波函数乘粒子波函数乘积形式，形式，因而因而 A 是是 本征方程本征方程 H =E 的解的解.II.交交换任意两个粒子，等价于行列式中相任意两个粒子，等价于行列式中相应两列两列对调，由行列式性由行列式性质可知，行列式要可知，行列式要变号，故是反号，故是反对称化波函数。称化波函数。（1）二）二 Fermi 子体系子体系其反其反对称化波函数称化波函数为：若二粒子若二粒子处于相同于相同态，例如都，例如都处于于 i 态，则写成写成 行列式行列式两行相同，两行相同，行列式行列式为 0（2）N Fermi 子体系子体系（三）（三）Pauli 原理原理如果如果 N 个个单粒子粒子态 i j k 中有两个相同，中有两个相同，则行列式行列式中有两行相同，于是行列式中有两行相同，于是行列式为0，即，即两行两行同同态上述讨论表明，上述讨论表明，N FermiN Fermi 子体系中，不能有子体系中，不能有 2 2 个或个或 2 2 个以上个以上Fermi Fermi 子处于同一状态，这一结论称为子处于同一状态，这一结论称为 PauliPauli 不相容原理。波函数的反对不相容原理。波函数的反对称化保证了全同称化保证了全同Fermi Fermi 子体系的这一重要性质。子体系的这一重要性质。（3）无自旋）无自旋轨道相互作用情况道相互作用情况在无自旋在无自旋轨道相互作用情况，或道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略作用很弱，从而可略时，体系，体系总波函数可写成空波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘波函数与自旋波函数乘积形式：形式：若是若是Fermi Fermi 子体子体系，则系，则 应是应是反对称化的。反对称化的。对2 粒子情况，反粒子情况，反对称化可分称化可分别由由 的的对称性保称性保证。I.对称，称，反反对称；称；II.反反对称，称，对称。称。（一）二（一）二电子波函数的构成子波函数的构成（二）（二）总自旋自旋 S2，SZ 算符的本征函数算符的本征函数（三）二（三）二电子波函数的再解子波函数的再解释5 两两电子自旋波函数子自旋波函数当体系当体系 Hamilton 量不含二量不含二电子自旋相互作用子自旋相互作用项时，二二电子自旋波函数子自旋波函数单电子自旋波函数子自旋波函数可构成可构成4种相互独立二种相互独立二电子自旋波函数：子自旋波函数：由此又可构成由此又可构成4组具有一定具有一定对称性的二称性的二电子自旋波函数：子自旋波函数：对称称 波函数波函数反反对称称 波函数波函数（一）二（一）二电子波函数的构成子波函数的构成（1）总自旋算符：自旋算符：（二）（二）总自旋自旋 S2，SZ 算符的本征函数算符的本征函数（2）S A 是是 S2 SZ 的本征函数：的本征函数：证：计算表明，算表明，sI 是是 S2 和和SZ 的本征函数，其本征的本征函数，其本征值分分别为2 2和和 。相相应的自旋角的自旋角动量量子数量量子数 S=1，磁量子数磁量子数 mZ=1同理可求得：同理可求得：上述上述结果表明：果表明：下面从两个角下面从两个角动量耦合的量耦合的观点点对二二电子波函数作一解子波函数作一解释，以加深，以加深对此此问题的理解。的理解。单电子自旋波函数子自旋波函数（1）无耦合表象）无耦合表象（2）耦合表象）耦合表象耦合表象基矢耦合表象基矢（3）二表象基矢）二表象基矢间的关系的关系耦合表象基矢按无耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开耦合表象基矢展开CG系数系数（三）二（三）二电子波函数的在解子波函数的在解释S=1,ms=1,0,-1ms=1ms=0ms=-1 S=0,ms=0