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第第3章章 MATLAB矩阵分析与处理矩阵分析与处理3.1 特殊矩阵特殊矩阵3.2 矩阵结构变换矩阵结构变换3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解3.4 矩阵求值矩阵求值3.5 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量3.6 矩阵的超越函数矩阵的超越函数3.1 特殊矩阵特殊矩阵3.1.1 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵)。ones：产生全：产生全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态的标准正态分布随机矩阵。分布随机矩阵。例例3.1 分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大小的零矩同样大小的零矩阵。阵。(1)建立一个建立一个33零矩阵。零矩阵。zeros(3)(2)建立一个建立一个32零矩阵。零矩阵。zeros(3,2)(3)设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建立建立一个与矩阵一个与矩阵A同样大小零矩阵。同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6;%产生一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样大小的零同样大小的零矩阵矩阵例例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1)在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2)均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阶正态分布随机矩阵。阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成重新排成mn的二维矩阵。的二维矩阵。例例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1)在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2)均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阶正态分布随机矩阵。阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成重新排成mn的二维矩阵。的二维矩阵。3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共共n2个整数个整数组成。组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个，其功能是生成一个n阶魔方阵。阶魔方阵。例例3.3 将将101125等等25个数填入一个个数填入一个5行行5列的列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5)(2)范得蒙矩阵范得蒙矩阵范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数中，函数vander(V)生成以向量生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩即可得到上述范得蒙矩阵。阵。(3)希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵在在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数中，生成希尔伯特矩阵的函数是是hilb(n)。使用一般方法求逆会因为原始数据的微小使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数数invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n阶的希尔伯特矩阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。阵的逆矩阵。例例3.4 求求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：命令如下：format rat%以有理形式输出以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4)(4)托普利兹矩阵托普利兹矩阵托普利兹托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以它生成一个以x为第一列，为第一列，y为第一行的托为第一行的托普利兹矩阵。这里普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必均为向量，两者不必等长。等长。toeplitz(x)用向量用向量x生成一个对称的托生成一个对称的托普利兹矩阵。例如普利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6)(5)伴随矩阵伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命的伴随矩阵，可使用命令：令：p=1,0,-7,6;compan(p)(6)帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵我们知道，二次项我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡卡(Pascal)矩阵。函数矩阵。函数pascal(n)生成一个生成一个n阶帕斯卡矩阵。阶帕斯卡矩阵。例例3.5 求求(x+y)5的展开式。的展开式。在在MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：pascal(6)矩阵次对角线上的元素矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展即为展开式的系数。开式的系数。3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换3.2.1 对角阵与三角阵对角阵与三角阵1对角阵对角阵只有对角线上有非只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩的对角矩阵称为单位矩阵。阵称为单位矩阵。(1)提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素设设A为为mn矩阵，矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线元主对角线元素，产生一个具有素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k条条对角线的元素。对角线的元素。(2)构造对角矩阵构造对角矩阵设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产生一个将产生一个mm对角对角矩阵，其主对角线元素即为向量矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。的元素。diag(V)函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个，其功能是产生一个nn(n=m+|k|)对角阵，其第对角阵，其第k条对角线的元素即为向量条对角线的元素即为向量V的的元素。元素。例例3.6 先建立先建立55矩阵矩阵A，然后将，然后将A的第一行元的第一行元素乘以素乘以1，第二行乘以，第二行乘以2，第五行乘以，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A%用用D左乘左乘A，对，对A的每行乘以一个指定常数的每行乘以一个指定常数2三角阵三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为线以上的元素全为0的一种矩阵。的一种矩阵。(1)上三角矩阵上三角矩阵求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu(A)。triu(A)函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是，其功能是求矩阵求矩阵A的第的第k条对角线以上的元素。例如，提取条对角线以上的元素。例如，提取矩阵矩阵A的第的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。(2)下三角矩阵下三角矩阵在在MATLAB中，提取矩阵中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数的下三角矩阵的函数是是tril(A)和和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的，其用法与提取上三角矩阵的函数函数triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。3.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转1矩阵的转置矩阵的转置转置运算符是单撇号转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转矩阵的旋转利用函数利用函数rot90(A,k)将矩阵将矩阵A旋转旋转90的的k倍，倍，当当k为为1时可省略。时可省略。3矩阵的左右翻转矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，换，依次类推。，依次类推。MATLAB对矩阵对矩阵A实实施左右翻转的函数是施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud(A)。3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解3.3.1 矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：，使得：AB=BA=I(I为单位矩阵为单位矩阵)则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵求方阵A的逆矩阵可调用函数的逆矩阵可调用函数inv(A)。如果矩阵如果矩阵A不是一个方阵，或者不是一个方阵，或者A是一个非满秩的是一个非满秩的方阵时，矩阵方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵的转置矩阵A同型的矩阵同型的矩阵B，使得：，使得：ABA=ABAB=B此时称矩阵此时称矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。的伪逆，也称为广义逆矩阵。在在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组用矩阵求逆方法求解线性方程组在线性方程组在线性方程组Ax=b两边各左乘两边各左乘A-1，有，有A-1Ax=A-1b由于由于A-1A=I，故得，故得x=A-1b例例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。命令如下：命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6;x=inv(A)*b也可以运用左除运算符也可以运用左除运算符“”求解线性代数方程组。求解线性代数方程组。3.4 矩阵求值矩阵求值3.4.1 方阵的行列式方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为所对应的列式的规则求值，这个值就称为所对应的行列式的值。在行列式的值。在MATLAB中，求方阵中，求方阵A所所对应的行列式的值的函数是对应的行列式的值的函数是det(A)。3.4.2 矩阵的秩与迹矩阵的秩与迹1矩阵的秩矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在在MATLAB中，求矩阵秩的函数是中，求矩阵秩的函数是rank(A)。2矩阵的迹矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，中，求矩阵的迹的函数是求矩阵的迹的函数是trace(A)。3.4.3 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。其定义不同，范数值也就不同。1向量的向量的3种常用范数及其计算函数种常用范数及其计算函数在在MATLAB中，求向量范数的函数为：中，求向量范数的函数为：(1)norm(V)或或norm(V,2)：计算向量：计算向量V的的2范数。范数。(2)norm(V,1)：计算向量：计算向量V的的1范数。范数。(3)norm(V,inf)：计算向量：计算向量V的的范数。范数。2矩阵的范数及其计算函数矩阵的范数及其计算函数MATLAB提供了求提供了求3种矩阵范数的函数，其种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。相同。3.4.4 矩阵的条件数矩阵的条件数在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的的3种条件数的种条件数的函数是：函数是：(1)cond(A,1)计算计算A的的1范数下的条件数。范数下的条件数。(2)cond(A)或或cond(A,2)计算计算A的的2范数范数数下的条件数。数下的条件数。(3)cond(A,inf)计算计算A的的 范数下的条范数下的条件数。件数。3.5 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的特征值和特的特征值和特征向量的函数是征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有，常用的调用格式有3种：种：(1)E=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构的全部特征值，构成向量成向量E。(2)V,D=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，的全部特征值，构成对角阵构成对角阵D，并求，并求A的特征向量构成的特征向量构成V的的列向量。列向量。(3)V,D=eig(A,nobalance)：与第：与第2种种格式类似，但第格式类似，但第2种格式中先对种格式中先对A作相似变作相似变换后求矩阵换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵直接求矩阵A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。例例3.9 用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的伴随矩阵的伴随矩阵x1=eig(A)%求求A的特征值的特征值x2=roots(p)%直接求多项式直接求多项式p的零点的零点3.6 矩阵的超越函数矩阵的超越函数1矩阵平方根矩阵平方根sqrtmsqrtm(A)计算矩阵计算矩阵A的平方根。的平方根。2矩阵对数矩阵对数logmlogm(A)计算矩阵计算矩阵A的自然对数。此函数输的自然对数。此函数输入参数的条件与输出结果间的关系和函数入参数的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一样完全一样3矩阵指数矩阵指数expm、expm1、expm2、expm3expm(A)、expm1(A)、expm2(A)、expm3(A)的功能都求矩阵指数的功能都求矩阵指数eA。4普通矩阵函数普通矩阵函数funmfunm(A,fun)用来计算直接作用于矩阵用来计算直接作用于矩阵A的的由由fun指定的超越函数值。当指定的超越函数值。当fun取取sqrt时，时，funm(A,sqrt)可以计算矩阵可以计算矩阵A的平方的平方根，与根，与sqrtm(A)的计算结果一样。的计算结果一样。