角平分线及其画法(精品).pptx
15.4 角平分线八年级数学备课组八年级数学备课组尺规作图 做一做做一做1 1l已知已知:AOB,:AOB,如图如图.l求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.l作法作法:l1.以以O O为圆心，任意长为半径画弧为圆心，任意长为半径画弧分别交分别交OAOA、OBOB于点于点E E、D.D.l2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心,以以大于大于DE/2DE/2长长为半径在为半径在角的内部角的内部画弧交于点画弧交于点C.C.l3.作射线作射线OC.OC.则射线则射线OC就是就是AOB的平分线的平分线.你你能说明能说明OCOC为什么是为什么是AOBAOB的平分的平分线吗？线吗？小组进行交小组进行交流流.ABOCDEABOCDE已知：已知：OE=ODOE=OD，EC=DCEC=DC求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB证明证明：在在OECOEC和和ODCODC中，中，OE=ODOE=OD，（，（已知）已知）EC=DCEC=DC，（已知），（已知）OC=OCOC=OC，（公共边），（公共边）OECOEC ODCODC（SSSSSS）EOCEOC=DOCDOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB角平分线角平分线回顾 思考已知已知:如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点，上任意一点，PD OA,PEOB,PD OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证：求证：PD=PEPD=PEOCA1B2PED 在广德城区有一个农贸市场在广德城区有一个农贸市场P，它建在横山南，它建在横山南路和团结东路所成角的平分线上，要从路和团结东路所成角的平分线上，要从P点建两条点建两条路，一条通向路，一条通向横山南横山南路，一条通向路，一条通向团结东团结东路路.横山南路团结东路P问题问题1：怎样修建道路最短：怎样修建道路最短问题问题2：哪条路更短呢？：哪条路更短呢？证明证明:PDPDOAOA，PEPEOBOB（已知），（已知），PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中，因为中，因为12（已证），（已证），PDOPEO（已证），（已证），POPO（公共边），（公共边），PDO PEO(AAS)PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）OC OC是是AOBAOB的平分线的平分线 1=1=2 2（角平分线的定义）（角平分线的定义）OCB1A2PDEODEPP P到到OAOA的距离的距离P P到到OBOB的距离的距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言描述：几何语言描述：ACB 角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：不必再证全等不必再证全等作用：作用：判断线段相等的依据判断线段相等的依据.P是是AOB的平分线的平分线OC上一点，上一点，-条件条件1 且且PDOA，PEOB -条件条件2PD=PE -结论结论 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边的距离相等。的距离相等。BD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边的距离相等。的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边 的距离相等的距离相等）DBDC()我思我进步老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东西到点东西,纳入到自己的认纳入到自己的认知结构中去知结构中去.BAEDCF例例1、已知、已知:如图如图,在在ABC中中,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.求证：求证：BE=CF例例2 2：如图，：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点。求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEDFMN NDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCPABCP点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BF是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCPDEF结论：三角形两内角平分线的交点到三边的距离相等回味无穷本节课你有什么收获？本节课你有什么收获？结束寄语结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的 规范性 在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的 原则.下课了!
