3-2 矩阵范数(精品).ppt

3.2 矩阵范数矩阵范数1.矩阵范数的概念矩阵范数的概念2.相容范数相容范数3.从属范数从属范数1.矩阵范数的概念矩阵范数的概念设设ACmn，定义一个实值函数，定义一个实值函数|A|，若满足：，若满足：(1)非负性非负性：|A|0，且，且|A|=0当且仅当当且仅当A=0；(2)齐次性：齐次性：|a aA|=|a a|A|，a aC；(3)三角不等式：三角不等式：|A+B|A|+|B|，A,B Cmn;则称则称|A|为为A的的矩阵范数矩阵范数。(4)相容性相容性：|AB|A|B|，例例1 设设A=(aij)Cnn，则，则都是矩阵范数。都是矩阵范数。对于对于Cmn上的矩阵范数上的矩阵范数|A|M和和Cm与与Cn上的同类向上的同类向量范数量范数|x|v，如果满足，如果满足则称矩阵范数则称矩阵范数|A|M和向量范数和向量范数|x|v是是相容的相容的。2.相容范数相容范数例例2 设设A=(aij)Cmn，则，则是矩阵范数，且与向量的是矩阵范数，且与向量的2-范数相容。范数相容。该范数称为该范数称为Frobenius范数范数，或简称为，或简称为F-范数范数。例例3 设设|A|M是是Cnn上矩阵范数，任取上矩阵范数，任取Cn中的一个中的一个非零向量非零向量y，则函数，则函数是是Cn上的向量范数。且矩阵范数上的向量范数。且矩阵范数|A|M和向量范数和向量范数|x|v相容。相容。定理定理1：已知：已知Cm与与Cn上的同类向量范数上的同类向量范数|x|v，设，设ACmn，则按如下方式定义的的函数，则按如下方式定义的的函数是矩阵范数，并且与已知的向量范数是矩阵范数，并且与已知的向量范数|x|v相容。相容。3.从属范数从属范数定理定理1中给出的矩阵范数称为中给出的矩阵范数称为由向量范数诱导出的由向量范数诱导出的矩阵范数矩阵范数，简称为，简称为从属范数从属范数。对于任意从属范数，对于任意从属范数，|I|=1，但对于一般的矩阵范数，只有但对于一般的矩阵范数，只有|I|1。定理定理2：由向量的：由向量的1-范数、范数、2-范数和范数和-范数分别诱范数分别诱导出的矩阵范数分别是导出的矩阵范数分别是通常依次称为通常依次称为列和范数列和范数、谱范数谱范数和和行和范数行和范数。定理定理3：谱范数和谱范数和F-范数都是酉不变范数范数都是酉不变范数，即对于，即对于任意酉矩阵任意酉矩阵P和和Q，有，有|PAQ|=|A|。