(精品)自动控制原 理第4章.ppt

第第4章第章第1页页EXIT自自 动动控控 制制原原 理理第第4章第章第2页页EXIT第第4 4章章 根轨迹根轨迹分析法分析法第第4章第章第3页页EXIT 闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性及及性性能能主主要要由由闭闭环环极极点点（特特征征方方程程根根）决决定定的的。一一个个较较完完善善的的闭闭环环控控制制系系统统其其特特征征方方程程一一般般为为高高阶阶，直直接接用用时时域域法法求求解困难。解困难。第第4章第章第4页页EXIT 由由上上章章讨讨论论可可知知，闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性及及其其他他性性能能与与开开环环系系统统传传递递函函数数的的零零、极极点点之之间间有有确确定定的的关关系系。因因此此，可可以以根根据据较较易易获获取取的的开开环环零零、极极点点间间接接地地研研究究控控制制系系统统的的闭闭环环性性能能。在在1948年年提提出出了了一一种种在在复复平平面面上上由由开开环环系系统统零零、极极点点确确定定闭闭环环系系统统极极、零零点点的的图图解解方方法法，即即根根轨轨迹迹法法。用用途途：对对系系统统的的性性能能进进行行分分析析；确确定定系系统统应应有有的的结结构构、参参数数；对对系系统进行设计和综合。统进行设计和综合。第第4章第章第5页页EXIT4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则4.3 控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制4.4利用根轨迹分析控制系统性能利用根轨迹分析控制系统性能 第第4章第章第6页页EXIT4.14.1根轨迹的基根轨迹的基本概念本概念 第第4章第章第7页页EXIT4.1.1根轨迹图根轨迹图1.基本概念基本概念根根平平面面：在在一一个个复复平平面面（s平平面面）上上标标出出开开环环零零、极极点点，并并根根据据此此描描述述闭闭环环极极点点的的性性质质，这这个个复复平平面面就就称称为为根平面根平面。根根轨轨迹迹：指指系系统统开开环环传传递递函函数数中中某某一一参参数数（一一般般为为Kg，根根轨轨迹迹增增益益）变变化化时时，闭闭环环特特征征根根在在根根平平面面上上所所走走过的轨迹。过的轨迹。第第4章第章第8页页EXIT2.用解析法绘制根轨迹用解析法绘制根轨迹 以以图图4.1所所示示的的二二阶阶系系统统为为例例，分分析析系系统统的的参参数数Kg从从0连连续续变变化化到到时时，闭闭环环特特征征方方程程的的根根在在s平平面面上上移移动动的的轨轨迹迹，及及相相应应的系统动态特性的基本特性。的系统动态特性的基本特性。系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：1.时间常数表示法主要用于频率分析中；时间常数表示法主要用于频率分析中；2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。零极点表示法主要用于根轨迹分析中。R(s)C(s)E(s)第第4章第章第9页页EXIT开环有两个极点：开环有两个极点：p1=0，p2=2开环没有零点。开环没有零点。可可见见，当当Kg 变变化化，两两个个闭闭环环极极点点也也随随之之连连续续变变化化，对对应应两两条条根根轨轨迹迹分分支支。当当Kg 从从0变变化化时时，直直接接描描点点作作出出两两个个闭环极点的变化轨迹闭环极点的变化轨迹闭环特征方程为：闭环特征方程为：D(s)=s2+2s+Kg=0解得解得闭环特征根（亦即闭环极点）闭环特征根（亦即闭环极点）第第4章第章第10页页EXIT（1）当当 Kg=0时时，s1=0、s2=1，此此时时闭闭环极点就是开环极点。环极点就是开环极点。（2）当当0Kg0.25时时，s1、s2均均为为负负实实数数，且位于负实轴的（且位于负实轴的（1，j0）一段上。一段上。（3）当当Kg=0.25时时，s1=s2=0.25，两两个个负实数闭环极点重合在一起。负实数闭环极点重合在一起。（4）当当1Kg时时，s1，2=0.5 ，两两个个闭闭环环极极点点变变为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点。s1、s2的的实实部部不不随随Kg变变化化，其其位位于于过过（0.5，j0）点且平行于虚袖的直线上。）点且平行于虚袖的直线上。（5）当当Kg时时，s1=0.5+j、s2=0.5j，此时此时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。第第4章第章第11页页EXIT可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（1）根根轨轨迹迹增增益益Kg从从0时时，根根轨轨迹迹均均在在s平平面面左左半半部部，在在所所有有的的Kg值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。（2）当当0Kg0.25时时，闭闭环环特特征征根根为为共共轭轭复复根根，系系统统呈呈欠欠阻阻尼尼状状态态,其其阶阶跃跃响响应应为为衰衰减减的的振振荡荡过过程程。若若Kg，则则，0，对对应应等等幅幅振荡，系统处于临界稳定状态。振荡，系统处于临界稳定状态。（5）有有一一个个为为0的的开开环环极极点点，系系统统为为型型系系统统，其其阶阶跃跃作作用用下下的的稳稳态误差态误差ess为零。为零。第第4章第章第12页页EXIT 由由上上述述分分析析过过程程可可知知，系系统统的的根根轨轨迹迹分分析析的的意意义义在在于于：由由较较易易获获取取的的开开环环零零极极点点分分布布分分析析闭闭环环极极点点的的性性质质，从从而而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但但是是，试试探探法法不不是是绘绘制制根根轨轨迹迹的的最最合合适适方方法法，而而且且也也太太费费时时间间。对对于于高高阶阶系系统统，用用这这种种解解析析的的方方法法绘绘制制出出系系统统的的根根轨轨迹迹图图是是很很麻麻烦烦的的。实实际际上上，闭闭环环系系统统的的特特征征根根的的轨轨迹迹都都是是根根据据开开环环传传递递函函数数与与闭闭环环特特征征根根的的关关系系，以以及及已已知知的的开开环环极极点点和和零零点点在在根根平平面面上上的的分分布布，按按照照一一定定的规则用图解的方法绘制出来的。的规则用图解的方法绘制出来的。第第4章第章第13页页EXIT4.1.2根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。平面寻找闭环特征根的位置。1根轨迹方程根轨迹方程闭环传递函数为闭环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 m个开环零点个开环零点 n个开环极点（根轨迹方程）个开环极点（根轨迹方程）Kg：根轨迹增益根轨迹增益 在在s平平面面上上凡凡是是满满足足上上式式的的任任意意一一个个点点s1、s2、s，都都是是闭闭环特征根，即闭环极点。对应于环特征根，即闭环极点。对应于Kg 从从0。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)第第4章第章第14页页EXIT2 幅值条件幅值条件方程和相角条件方程方程和相角条件方程为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。相角条件：相角条件：幅值条件：幅值条件：第第4章第章第15页页EXIT 相相角角条条件件方方程程和和Kg无无关关，s平平面面上上任任意意一一点点，只只要要满满足足相相角角条条件件方方程程，则则必必定定同同时时满满足足幅幅值值条条件件，该该点点必必定定在在根根轨轨迹迹上上，即即对对应应不不同同的的Kg时时的的闭闭环环极极点点，相相角角条条件件是是决决定定闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹的的充充分分必必要要条条件件。（实实、虚虚轴轴选选用用相相同同的的比比例例尺尺刻刻度）度）第第4章第章第16页页EXIT3、幅值条件和相角条件的幅值条件和相角条件的应用应用 为从一个开环零点指向为从一个开环零点指向s的向量的向量为从一个开环极点指向为从一个开环极点指向s的向量的向量向量的模为长度，即向量的模为长度，即s平面上两点之间的距离；平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；逆时针为正，顺时针为负；1.可以直接计算可以直接计算 ；2.或在图上直接测量或在图上直接测量S为为试探点试探点第第4章第章第17页页EXIT不符合相角条件，不符合相角条件，s1不在根轨迹上。不在根轨迹上。满足相角条件，满足相角条件，s2在根轨迹上。在根轨迹上。1）用相角条件求根轨迹（试探法）用相角条件求根轨迹（试探法）例例4.1已知系统的开环传递函数如下，试判断已知系统的开环传递函数如下，试判断 是否在根轨迹上；若是，则求出对应的是否在根轨迹上；若是，则求出对应的Kg。第第4章第章第18页页EXIT2）用幅值条件确定）用幅值条件确定Kg的值的值求上例中根轨迹上求上例中根轨迹上 点对应的点对应的Kg。、也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。第第4章第章第19页页EXIT小结：小结：相角条件相角条件 判断是否闭环极点（根）判断是否闭环极点（根）幅值条件幅值条件 确定对应的根轨迹增益确定对应的根轨迹增益图解法：注意坐标、比例图解法：注意坐标、比例 但但是是控控制制系系统统的的根根轨轨迹迹图图不不能能遍遍历历s平平面面上上所所有有的的点点来来绘绘制制。因因为为在在满满足足根根轨轨迹迹条条件件方方程程的的基基础础上上，根根轨轨迹迹的的图图是是有有一一些些规规律律的的。依依据据绘绘制制轨轨迹迹图图的的一一些些基基本本法法则则，就就可可以以绘绘制制出控制系统的根轨迹草图。出控制系统的根轨迹草图。第第4章第章第20页页EXIT4.2 4.2 绘制根绘制根轨迹的基本轨迹的基本规则规则 第第4章第章第21页页EXIT 根根轨轨迹迹是是由由开开环环零零、极极点点当当Kg为为可可变变参参数时，闭环极点的变化轨迹。数时，闭环极点的变化轨迹。根根据据根根轨轨迹迹的的条条件件方方程程可可推推出出控控制制系系统统根根轨轨迹迹的的一一些些基基本本性性质质，或或称称为为基基本本法法则则。利利用用这这些些基基本本法法则则可可顺顺利利而而较较为为准准确确地地作作出出系系统统的的根轨迹草图。根轨迹草图。第第4章第章第22页页EXIT是是Kg或或其它参数的连续函数。其它参数的连续函数。当当Kg从从0+连连续续变变化化时时，闭闭环环极极点点连连续续变变化化，即即根轨迹是连续变化的曲线或直线。根轨迹是连续变化的曲线或直线。规则规则1 根轨迹的连续性与对称性根轨迹的连续性与对称性第第4章第章第23页页EXIT线线性性系系统统特特征征方方程程系系数数均均为为实实数数，闭闭环环极极点点均均为为实实数数或或共共轭轭复复数数（包包括括一一对对纯纯虚虚根根），根根轨轨迹迹对对称于实轴。称于实轴。规则规则2 根轨迹的对称性根轨迹的对称性第第4章第章第24页页EXIT规规则则3 n阶阶系系统统根根轨轨迹迹的的分分支支数数为为n，等等于于系系统的阶数统的阶数 开开环环传传递递函函数数为为n阶阶，故故开开环环极极点点和和闭闭环环数数都都为为n个个，当当Kg从从0+变变化化时时，n个个根根在在s平平面面上上连连续续形形成成n条根轨迹。条根轨迹。一一条条根根轨轨迹迹对对应应一一个个闭闭环环极极点点随随Kg的的连连续续变变化化轨迹。轨迹。根轨迹的分支数根轨迹的分支数=系统的阶数系统的阶数第第4章第章第25页页EXIT规则规则4 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点由幅值条件有：由幅值条件有：1.起点：起点：Kg=0，等式右边等式右边=，仅当，仅当成立，成立，n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点。个开环极点。第第4章第章第26页页EXIT另外另外nm条根轨迹终止于条根轨迹终止于处（处（，相角可为任意方向）。，相角可为任意方向）。结论：结论：根根轨轨迹迹以以n个个开开环环极极点点为为起起点点；以以m个个开开环环零零点点为为终终点点，另外另外nm条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。2.终点：终点：Kg=，等式右边等式右边=0当当当当nm时，时，s处处成立，成立，m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m 个开环零点处；个开环零点处；第第4章第章第27页页EXIT规则规则5 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 、两两向向量量对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向向相相反；反；、两两向向量量也也对对称称于于实实轴轴，引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向向相反。相反。开开环环复复平平面面上上的的开开环环零零、极极点点，由由于于是是共共轭轭复复数数对对，对对实实轴轴上上任任一一点点s1的的相相角角影影响响为为0，对对于于实实轴轴上上根根轨轨迹迹的的判判别别来来说说不影响幅角条件。不影响幅角条件。判断判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。第第4章第章第28页页EXIT位位于于s1左左边边的的实实数数零零、极极点点：、向向量量引引起起的的相相角角为为0。判判断断 s1是是否否落落在在根根轨轨迹迹上上，位位于于s1左左边边的的零零、极极点点不考虑。不考虑。位位于于s1右右边边的的实实数数零零、极极点点：每个零、极点提供每个零、极点提供180相角。相角。结结论论：s1右右边边的的实实数数零零、极极点点（开开环环）个个数数的的总总和和为为奇奇数数，则则s1位于根轨迹上。位于根轨迹上。第第4章第章第29页页EXIT解解 系系统统的的开开环环零零点点为为0.5，开开环环极极点点为为0（二二重重极极点点），1，1.5，3。根根据据实实轴轴上上根根轨轨迹迹的的判判别别条条件件可可以以得得到到区区间间3，1.5右右方方的的开开环环零零点点数数和和极极点点数数总总和和为为5，以以及及区区间间1，0.5右右方方的的开开环环零零点点数数和和极极点点数数总总和和为为3，均均为为奇奇数数，故故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。例例4.2设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。31.5 1 0.50j j 第第4章第章第30页页EXIT规则规则6 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 若若nm，当当Kg从从0+时时，有有(nm)条条根根轨轨迹迹分分支支沿沿着着实实轴正方向夹角轴正方向夹角，截距为截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标：与实轴交点的坐标：仅仅当当s足足够够大大时时，根根轨轨迹迹才才向向渐渐近近线线逐逐渐渐逼逼近近，Kg，根轨迹才与渐近线重合。根轨迹才与渐近线重合。一般直接取一般直接取180。第第4章第章第31页页EXIT-5-20例例4.4已已知知控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数数，试试确确定定根根轨轨迹迹的的支支数数、起起点点和和终终点点。若若终终点点在在无无穷穷远远处处，试试确确定定渐渐近近线线和和实实轴轴的的交交点及渐近线的倾斜角。点及渐近线的倾斜角。第第4章第章第32页页EXIT规则规则7 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 若若两两条条根根轨轨迹迹在在复复平平面面上上的的某某一一点点相相遇遇后后又又分分开开，称称该该点点为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点或或会会合合点点。此此点点对对应应于于二二重重根根（实实根根和和共共轭轭复复数根）。数根）。一般多出现在实轴上。一般多出现在实轴上。1分析分析：如图，：如图，为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。两两条条根根轨轨迹迹分分别别由由-p1和和-p2出出发发，随随Kg的的增增大大，会会合合于于a点点继继而而又又分分开开，离离开开实实轴轴，进进入入复复平平面面，再再回回到到实实轴轴，会会合合于于b点再离开，一条终止于点再离开，一条终止于-z1，另一趋于负无穷远处。另一趋于负无穷远处。第第4章第章第33页页EXIT2.规律：规律：若若实实轴轴上上两两相相邻邻开开环环极极点点之之间间存存在在根根轨轨迹迹，之之间间必必有分离点；有分离点；若若实实轴轴上上相相邻邻开开环环零零点点（一一个个可可视视为为无无穷穷远远）之之间间存在根轨迹，之间必有会合点；存在根轨迹，之间必有会合点；若若实实轴轴上上开开环环零零点点与与极极点点之之间间存存在在根根轨轨迹迹，则则其其间间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。第第4章第章第34页页EXIT3.求分离角求分离角（会合角）：会合角）：在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，l为相分离的根轨迹分支数。为相分离的根轨迹分支数。第第4章第章第35页页EXIT4.分离点的求取分离点的求取消消Kg得：得：特征方程：特征方程：s 分离点分离点 重根法重根法 特征方程：特征方程：A（s）=0 具有重根，则：具有重根，则：第第4章第章第36页页EXIT 极值法极值法 牛顿余数定理的使用（二阶以上）牛顿余数定理的使用（二阶以上）若若计计算算所所得得的的值值在在实实轴轴上上，那那么么要要判判别别该该线线段段是是否否是是根根轨轨迹迹。如如果果该该线线段段是是根根轨轨迹迹，则则计计算算结结果果就就是是分分离离点点。否否则则，不不是是分分离点，要舍去。离点，要舍去。第第4章第章第37页页EXIT例例4.5：已已知知控控制制系系统统的的开开环环传传递递函函数，试求根轨迹在实轴上的分离点。数，试求根轨迹在实轴上的分离点。解：解：（用重根法）（用重根法）第第4章第章第38页页EXIT 显显然然，在在区区间间0.50.1根根轨轨迹迹有有分分离离点点d1=s1=0.33，在在区区间间（，1根根轨轨迹迹有有会会合合点点d2=s2=1.67。将将d1和和d2值值的的代代入入幅幅值值条条件件计计算算，可可得得相相应应的的根根轨轨迹迹增增益益，Kgd1=0.06和和Kgd2=2.7。该系统完整的根轨迹为。该系统完整的根轨迹为 1 0.5 0.10j Kg=0.060.33Kg=2.61.67第第4章第章第39页页EXIT规则规则8 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 随随着着Kg，根根轨轨迹迹可可能能由由s左左半半平平面面右右半半平平面面，系系统统会会从从稳稳定定不不稳稳定定，根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点，即即闭闭环环特特征征方方程程出出现现纯纯虚虚根根，出现临界稳定。，出现临界稳定。求解方法（两种方法）：求解方法（两种方法）：劳劳斯斯判判据据：第第一一列列有有0元元素素（纯纯虚虚根根），代代入入辅辅助助方方程程，此处的增益此处的增益临界根轨迹增益临界根轨迹增益Kgp。令令s=j代入闭环特征方程代入闭环特征方程1G(s)H(s)=0，再令再令 求出求出、交点坐标和交点坐标和Kg。第第4章第章第40页页EXIT例例4.7已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数，求求根根轨轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益Kgp。解解 交点坐标：交点坐标：得：得：（舍去）（舍去）令令s=j代入有代入有第第4章第章第41页页EXIT当当 时，时，s1 行等于行等于0，有一对纯虚根，辅助方程，有一对纯虚根，辅助方程 1 2 3 0s3s2s1s0 解解 劳斯判据劳斯判据第第4章第章第42页页EXIT规则规则9 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角 ：由其它各开环零点指向：由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向：由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角入射角：入射角：出射角：出射角：第第4章第章第43页页EXIT例例4.9设设开开环环传传递递函函数数极极、零零点点如如图图4.14所所示示，试试确确定定根根轨轨迹迹离离开开共共轭轭复复数数极极点点的的出射角。出射角。解解利用公式（利用公式（4.35），由图），由图4.14示数据可得示数据可得 考虑到幅角的周期性，取考虑到幅角的周期性，取 1=26.6。同理，可得。同理，可得 2=+26.6。j 13545z1p3=0p1+z1p1+p43 2 1p4p1p226.626.626.6p1+p3jjp1+p2s平面平面第第4章第章第44页页EXIT规则九规则九 闭环极点的和与积闭环极点的和与积由根与系数的关系，当：由根与系数的关系，当：开环极点之和开环极点之和=闭环极点之和闭环极点之和=常数常数 表表明明，随随着着Kg，若若闭闭环环一一些些特特征征根根增增大大时时，另另一一些些特特征征根根必必定定减减小小，以以保保持持其其代代数数和和为为常常数数。即即一一些些分分支支向向右右移移动动时时，另另一一些些分分支支必向左移动，保持左右平衡。必向左移动，保持左右平衡。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。对于某一对于某一Kg，若，若已知（已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。个闭环极点，可求最后一个闭环极点。第第4章第章第45页页EXIT例例 4.11已已 知知 系系 统统 的的 开开 环环 传传 递递 函函 数数，根根 轨轨 迹迹 与与 虚虚 轴轴 的的 交交 点点 为为 ，试试求求其其相相应应的的第第三三个个闭闭环环极极点点，并并求求交交点点处处的的临临界界根根轨轨迹迹增增益益Kgp解：开环极点之和解：开环极点之和闭环极点之和：闭环极点之和：第第4章第章第46页页EXIT-2-10-0.423向左，向左，、关于实轴关于实轴对称，只能向右移动。对称，只能向右移动。-3第第4章第章第47页页EXIT小结：小结：按按9条条规规则则绘绘制制控控制制系系统统从从Kg=0+时时根根轨轨迹迹的草图的草图直观分析直观分析Kg变化对性能的影响；变化对性能的影响；进进一一步步根根据据幅幅角角条条件件，采采用用试试探探法法准准确确确确定定若若干干点点的的位位置置（特特别别是是虚虚轴轴附附近近或或原原点点附附近近）精精确确根根轨迹。轨迹。（根轨迹的重要部位，稳定（根轨迹的重要部位，稳定不稳定）不稳定）第第4章第章第48页页EXIT4.34.3控制系统根控制系统根轨迹的绘制轨迹的绘制第第4章第章第49页页EXIT 本本节节将将依依据据上上节节介介绍绍的的绘绘制制根根轨轨迹迹的的基基本本规规则则，绘绘制制控控制制系系统统的的根根轨轨迹迹。草草图图绘绘出出后后，再再根根据据相相角角条条件件选选择择一一些些试试验验点点在在重重要要部部位位（如如虚虚轴轴和和原原点点附附近近）作作一一些些修修正正，就就可可以以得到满意的根轨迹曲线。得到满意的根轨迹曲线。第第4章第章第50页页EXIT4.3.1 常规根轨迹的绘制常规根轨迹的绘制 以以根根轨轨迹迹增增益益Kg（或或开开环环传传递递系系数数K）为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹迹称称为为常常规规根根轨轨迹迹。常常规规根根轨轨迹迹的的绘绘制制是是针针对对如如图图4.1.3所所示示的的单单回回路负反馈系统而言的。路负反馈系统而言的。第第4章第章第51页页EXIT例例4.12 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解解 绘制根轨迹图的步骤如下：绘制根轨迹图的步骤如下：1）根根轨轨迹迹共共有有4支支。起起点点在在开开环环极极点点0，3，和和一一对对共共轭轭复复数数极极点点1j。2）实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹在区间（在区间（，3），），2，0。3）渐近线：渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无穷远处，故有三条渐近线。因为有三条根轨迹分支终止于无穷远处，故有三条渐近线。1 单回路负反馈系统的根轨迹单回路负反馈系统的根轨迹可求出渐近线与虚轴的交点为可求出渐近线与虚轴的交点为1.73j。第第4章第章第52页页EXIT4）根据重根法可确定，）根据重根法可确定，实轴上无分离点和会合点。实轴上无分离点和会合点。5）根根轨轨迹迹离离开开复复数数极极点点1j的的出出射射角角已已在在例例4.9中中求求得得为为26.6，并分别沿着，并分别沿着60、300的渐近线终止于无穷远处。的渐近线终止于无穷远处。6）计算）计算根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点将将j代入系统闭环特征方程中，得代入系统闭环特征方程中，得分别令上式的实部与虚部等于零，解方程组，并舍去分别令上式的实部与虚部等于零，解方程组，并舍去0解，得解，得说明复平面上的两条根轨迹与虚轴的交点坐标为说明复平面上的两条根轨迹与虚轴的交点坐标为1.61j。第第4章第章第53页页EXIT根据以上步骤，绘制出完整的根轨迹图示。根据以上步骤，绘制出完整的根轨迹图示。1.73j1.73j60s平面平面p1p2p4z1p3第第4章第章第54页页EXIT例例4.13 系统开环传递函数如下，系统开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹。试绘制系统根轨迹。（2）n-m=4，有有4条条分分支趋向无穷远处支趋向无穷远处。解解（1）无无开开环环零零点点，在在 实实 轴轴 上上 根根 轨轨 迹迹-2.73，0。（3）实轴上的分离点）实轴上的分离点（4）起始角（出射角）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点75 j 7545j 1.07j1.07Kgp=7.26Kgp=7.26Kg=2.93p3p4第第4章第章第55页页EXIT2.圆弧根轨迹圆弧根轨迹 当当系系统统仅仅具具有有两两个个开开环环极极点点和和一一个个开开环环零零点点时时，这这时时根根轨轨迹迹可可能能是是直直线线或或圆圆弧弧，但但只只要要根根轨轨迹迹一一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。圆心：开环零点圆心：开环零点 半径：半径：第第4章第章第56页页EXIT例例4.15已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数，求根轨迹。，求根轨迹。解：解：1）两个开环极点：）两个开环极点：一个开环零点：一个开环零点：2）根轨迹在实轴上的区间：）根轨迹在实轴上的区间：3）圆心：）圆心：（-3，j0），），半径：半径：4）分离点分离点坐标为坐标为d1=3+1.732=1.268，Kgd1=0.536会合点会合点的坐标为的坐标为d2=31.732=4.732，Kgd2=7.46完整的根轨迹如图完整的根轨迹如图4.19所示。所示。Kg=7.464.7325 4 3 2 10j jjKg=0.5361.268p1p2z第第4章第章第57页页EXIT典型根轨迹与开环零极点间关系典型根轨迹与开环零极点间关系 根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）；根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；n-m2，左右平衡。左右平衡。分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹 会合点：实轴上相邻开环零点之间有根轨迹会合点：实轴上相邻开环零点之间有根轨迹 第第4章第章第58页页EXIT3 小结小结 综上，绘制单回路负反馈系统概略根轨迹的顺序为综上，绘制单回路负反馈系统概略根轨迹的顺序为1）首首先先根根据据开开环环零零、极极点点的的分分布布确确定定实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹及其走向。及其走向。2）较较为为准准确确地地确确定定nm条条终终止止于于无无穷穷远远处处的的根根轨轨迹迹的的渐近线渐近线（截距，角度）。（截距，角度）。3）由由nm2时时根根轨轨迹迹左左右右平平衡衡的的规规律律，大大致致确确定定复复平面上其它的根轨迹的走向。平面上其它的根轨迹的走向。4）对对于于虚虚轴轴附附近近等等重重要要位位置置的的根根轨轨迹迹，可可以以利利用用试试探法修正。探法修正。第第4章第章第59页页EXIT4.3.2 参数根轨迹参数根轨迹 某某些些开开环环零零、极极点点、时时间间常常数数、反反馈馈比比例例系系数数等等，作作为为可可变变参参数数所所绘绘制制的的根根轨轨迹迹，称称之之为为参参数数根根轨轨迹迹。用用参参数数根根轨轨迹迹可可以以分分析系统中的析系统中的各种参数对系统的影响。绘制参数根轨迹的步骤如下：各种参数对系统的影响。绘制参数根轨迹的步骤如下：（1）写出原系统的闭环特征方程。）写出原系统的闭环特征方程。（2）以以特特征征方方程程中中不不含含参参数数的的各各项项除除特特征征方方程程，得得到到原原系系统统的的等等效效开开环环传传递递函函数数GDK(s)，原原系系统统的的参参数数即即为为等等效效开开环环传传递递函函数数的根轨迹增益。的根轨迹增益。（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。注注意意，等等效效开开环环传传递递函函数数GDK(s)与与原原系系统统的的开开环环传传递递函函数数GK(s)在在闭闭环环特特征征方方程程上上是是等等价价的的，但但“等等效效”的的含含义义仅仅在在于于系系统闭环极点相同，而闭环零点等一般是不同的。统闭环极点相同，而闭环零点等一般是不同的。第第4章第章第60页页EXITs平面平面Kg=4例例4.16 控控制制系系统统如如图图4.21所所示示，当当Kg=4时时，试试绘绘制制开开环环极极点点p变变化化时时参数根轨迹。参数根轨迹。解解 当当Kg=4时，系统的开环传递函数为时，系统的开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为R(s)C(s)E(s)上式两端同除以不含参量上式两端同除以不含参量p的项的项s2+4，得，得 系统的等效开环传递函数为系统的等效开环传递函数为等效系统的根轨迹表明了原系统参数等效系统的根轨迹表明了原系统参数p变化时系统闭环特征根的变化。变化时系统闭环特征根的变化。第第4章第章第61页页EXIT 当当系系统统有有两两个个参参数数变变化化时时，所所绘绘出出的的轨轨迹迹叫叫做做根根轨轨迹迹簇簇。以以本本系系统统为为例例，可可绘绘制制Kg和和p分分别别从从零零变变化化到到无无穷穷大大时时的的根根轨轨迹簇。迹簇。s平面平面Kg=1Kg=4Kg=9Kg=16例例4.16系统系统Kg参数根轨迹簇参数根轨迹簇s平面平面例例4.16系统系统p参数根轨迹簇参数根轨迹簇第第4章第章第62页页EXIT4.3.3多回路系统的根轨迹多回路系统的根轨迹 实实际际中中，许许多多系系统统为为抑抑制制干干扰扰以以提提高高系系统统的的性性能能，除除了了有有主主反反馈馈闭闭环环外外，还还设设置置了了内内环环通通道道，这这就就是是多多回回路路系系统统。例例如如在在机机电电调调速速系系统统中中，通通常常是是除除了了速速度度反反馈馈外外，还还有有电电流流反反馈馈形形成成的的内内环环，亦亦称称双双闭闭环环系系统统。在在工工业业过过程程控控制制中中也也有有类类似似的的双双闭闭环环控控制制系系统统，如如串级控制系统。串级控制系统。绘绘制制多多回回路路系系统统的的根根轨轨迹迹时时，首首先先根根据据内内反反馈馈回回路路的的开开环环传传递递函函数数，绘绘制制内内反反馈馈回回路路的的根根轨轨迹迹，确确定定内内反反馈馈回回路路的的极极点点分分布布。然然后后由由内内反反馈馈回回路路的的闭闭环环零零、极极点点和和内内回回路路外外的的零零、极极点点构构成成整整个个多多回回路路系系统统的的开开环环零零、极极点点。再再按按照照单单回回路路根根轨轨迹迹的的基基本本法法则则，绘绘制制系统总的根轨迹。系统总的根轨迹。多多回回路路系系统统分分析析设设计计往往往往出出现现多多个个参参数数可可变变的的情情况况。这这时时，可可以把前述的方法加以扩展，考虑不同参数变化的情况下的根轨迹。以把前述的方法加以扩展，考虑不同参数变化的情况下的根轨迹。第第4章第章第63页页EXIT例例4.18 已知系统结构图如已知系统结构图如图图4.26所示，试求根轨迹。所示，试求根轨迹。R(s)C(s)E(s)sK解解 例例4.18系统外环根轨迹图系统外环根轨迹图 j 11.5+j1.51.5j1.5j2.12 j2.12 60o 60o 2 j 例例4.18系统内环根轨迹图系统内环根轨迹图 p1=11.5+j1.5 p1=21.5j1.5=1.25=1.25=1.25=1.25K=6.75j1.5j1.5p2p3p1第第4章第章第64页页EXIT4.3.4 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹 负反馈是自动控制系统的一个重要特点。但在有些负反馈是自动控制系统的一个重要特点。但在有些系统中，系统中，内环是一个正反馈回路内环是一个正反馈回路。这种局部正反馈的结。这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。因此，在利用根轨某种性能要求在设计系统时加进的。因此，在利用根轨迹法对系统进行分析或综合时，有时需绘制正反馈系统迹法对系统进行分析或综合时，有时需绘制正反馈系统的根轨迹。这时，绘制根轨迹的条件和规则与上述有所的根轨迹。这时，绘制根轨迹的条件和规则与上述有所区别。区别。第第4章第章第65页页EXITR(s)C(s)G(s)H(s)+图示的正反馈系统，其闭环传递函数为图示的正反馈系统，其闭环传递函数为相应的根轨迹方程为相应的根轨迹方程为其幅值条件和相角条件分别为其幅值条件和相角条件分别为与与负负反反馈馈系系统统比比较较，幅幅值值条条件件相相同同，但但相相角角条条件件不不同同。负负反反馈馈系系统统是是180等等相相角角条条件件，正正反反馈馈系系统统则则是是0等等相相角角条条件件。因因此此，通通常常称称正反馈系统的根轨迹为正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。零度根轨迹。第第4章第章第66页页EXIT 绘绘制制正正反反馈馈回回路路的的根根轨轨迹迹时时，前前述述关关于于根根轨轨迹迹的的绘绘制制规规则则，仅需修正与相角条件有关的规则。仅需修正与相角条件有关的规则。规规则则5 在在实实轴轴的的线线段段上上存存在在根根轨轨迹迹的的条条件件是是：其其右右边边的的开开环环零零、极点数目之和为极点数目之和为偶数偶数。规则规则6 nm条渐近线与实轴的夹角应改为条渐近线与实轴的夹角应改为 规则规则9 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角在开环极点处根轨迹的出射角为在开环极点处根轨迹的出射角为在开环零点处根轨迹的入射角为在开环零点处根轨迹的入射角为第第4章第章第67页页EXIT 与与负负反反馈馈系系统统比比较较可可知知，正正反反馈馈系系统统的的根根轨轨迹迹，就就是是开开环环传传递递函函数数相相同同的的负负反反馈馈系系统统当当Kg从从0变变化化到到时时的的根根轨轨迹迹，故故正正反反馈馈时时的的根根轨轨迹迹又又称称补补根根轨轨迹迹。因因此此，可可将将负负反反馈馈系系统统和和正正反反馈馈系系统统的的根根轨轨迹迹合并，得合并，得Kg+整个区间的根轨迹。整个区间的根轨迹。若正反馈系统的开环传递函数为若正反馈系统的开环传递函数为则正反馈系统根轨迹方程（则正反馈系统根轨迹方程（4.47）可以改写为）可以改写为第第4章第章第68页页EXIT例例4.19 单单位位反反馈馈系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试分分别别画画出出正正、负负反反馈馈时时的的根根轨迹。轨迹。解解系统有一对开环共轭极点系统有一对开环共轭极点p1,2=1j，一个开环实数零点，一个开环实数零点z=1。1）负反馈时）负反馈时 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：，1。复平面上的根轨迹复平面上的根轨迹开环极点开环极点p1处的出射角为处的出射角为复复平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是以以开开环环零零点点（1，j0）为为圆圆心心，半半径径为为1的的左左半半圆，见图圆，见图4.31虚线部分，会合点为（虚线部分，会合点为（2，j0）。）。2 10j jjp1p2z第第4章第章第69页页EXIT2）正反馈时）正反馈时 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：1，。复平面上的根轨迹复平面上的根轨迹开环极点开环极点p1处的出射角为处的出射角为复复平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是以以开开环环零零点点（1，j0）为为圆圆心心，半半径径为为1的的右右半半圆圆，见见图图4.31粗粗实线线部分，会合点为原点。实线线部分，会合点为原点。正正、负负反反馈馈时时的的根根轨轨迹迹互互补补，形形成成一一个个连连续续的的整整圆圆。正正反反馈馈根根轨轨迹迹与与负负反反馈馈根根轨轨迹迹有有许许多多