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第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性【重、难点重、难点】重点：级数的相关概念，由数列知识引出。难点：正确判断级数的敛散性，由实例讲解方法。【授课时数授课时数】总时数：4学时.【学习目标】1、知道级数的相关概念和性质；2、会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；3、会判断交错级数和一般级数的敛散性。第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积一、问题的提出一、问题的提出第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 1.1.1.1.级数的定义级数的定义级数的定义级数的定义一般项一般项3.3.3.3.级数的分类级数的分类级数的分类级数的分类2.2.2.2.级数的部分和级数的部分和级数的部分和级数的部分和记作记作二、级数的概念二、级数的概念第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 上述数列中,(1)、(2)是数项级数，(3)、(4)是函数项级数.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 4.4.4.4.级数的收敛与发散级数的收敛与发散级数的收敛与发散级数的收敛与发散第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例1 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例2 判别无穷级数判别无穷级数的敛散性的敛散性.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例3 讨论等比级数讨论等比级数 的敛散性的敛散性.收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 综上综上知知,等比级数（几何级数）等比级数（几何级数）第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 注意：注意：(可以用可以用(2)来快速判断级数的发散来快速判断级数的发散.)三、基本性质三、基本性质第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散敛散结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性不变性不变.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 1.1.1.1.定义定义定义定义:级数称为正项级数级数称为正项级数.2.2.2.2.比较审敛法比较审敛法比较审敛法比较审敛法四、正项级数及其审敛法四、正项级数及其审敛法第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 使用比较审敛法常用的三个结论使用比较审敛法常用的三个结论:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 小结小结1.1.级数的概念级数的概念2.2.级数的部分和级数的部分和3.3.级数的收敛与发散级数的收敛与发散4.4.级数的基本性质级数的基本性质5.5.正项级数的概念正项级数的概念6.6.正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 练练 习习 题题第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 3.3.3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 4.4.4.4.极限审敛法：极限审敛法：极限审敛法：极限审敛法：第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解原级数发散原级数发散.例例5 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 原级数收敛原级数收敛.例例5 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:解解第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 5.5.5.5.比值审敛法比值审敛法比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔达朗贝尔D D D D AlembertAlembertAlembertAlembert判别法判别法判别法判别法)：第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例6 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解例例6 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性(比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法)例例6 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:解解第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 例例6 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:解解第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 故该故该级数收敛级数收敛.6.6.6.6.根值审敛法根值审敛法根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法柯西判别法柯西判别法)：第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.五、交错级数及其审敛法五、交错级数及其审敛法第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解故故原级数收敛原级数收敛.例例7 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解故故原级数收敛原级数收敛.例例7 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 定义定义定义定义1 1 1 1:正、负项任意出现的级数称为任意项级数正、负项任意出现的级数称为任意项级数.定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数六、绝对收敛与条件收敛六、绝对收敛与条件收敛第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛，即原级数收敛.例例8 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛，即原级数收敛.例例8 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 解解级数，级数，故原级数故原级数条件条件收敛收敛.例例8 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.比较法比较法5.比值法比值法6.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;小结小结第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 练练 习习 题题发散发散收敛收敛第八章第八章 无穷无穷级数级数 四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十三课题二十三 级数的概念和敛散性级数的概念和敛散性 通过本课题学习，学生应该达到：1会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；2会判断交错级数和一般级数的敛散性。（一）（一）P120习题习题8.1；（二）（二）P122习题习题8.2.【授课小结授课小结】【课后练习课后练习】
