221等差数列(教育精品).ppt

.观察与思考下面的几个数列：观察与思考下面的几个数列：归纳这些数列共同特点归纳这些数列共同特点?从第从第2项起它们的后一项与前项起它们的后一项与前 一项的差都是一项的差都是同一个常数。同一个常数。这个常数叫等差数列的公差这个常数叫等差数列的公差.通通常用字母常用字母d表示。表示。一、等差数列的定义：一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项项起，每一项与它的前一项的差等于起，每一项与它的前一项的差等于同同一个常数一个常数，那麽这个数列就叫做等差，那麽这个数列就叫做等差数列。数列。例例 1：观察下列数列是否是等差数列：观察下列数列是否是等差数列：该数列的第该数列的第2项与第一项的差是项与第一项的差是1，其余，其余的后一的后一 项与项与 前一项的差都是前一项的差都是2。不符合等差。不符合等差数的定义数的定义 要求从第要求从第2项项 起起 后项与前项的差后项与前项的差是同一个常数。是同一个常数。所以它不是等差数列。所以它不是等差数列。（2）-3,-2,1,3,5,7,.(1)1,2,4,6,8,10,12,不是。理由与不是。理由与1）相同）相同是。是。它符合等差数列的定义。它符合等差数列的定义。公差是公差是0.通常称作常数列通常称作常数列.不是。不是。因为他从第因为他从第2项起后项与前项的差是项起后项与前项的差是 ：1，2 ，3 ，4 ，5 ，是常数，是常数，但不是同一常数。但不是同一常数。所以不是。所以不是。（3）3,3,3,3,3,3，.（4）1,2,4,7,11,16,.1、等差数列要求、等差数列要求从第从第2项起，项起，后一项与后一项与 前一项前一项作差作差。不能颠倒。不能颠倒。2、作差的结果要求是、作差的结果要求是同一个常数。同一个常数。可以是整数，也可以是和负数。可以是整数，也可以是和负数。3、等差数列的符号表示、等差数列的符号表示an+1-an=d二、等差中项的定义二、等差中项的定义 由三个数由三个数a,A,b组成的等差数列可以组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。看成最简单的等差数列。若数若数a,A,b 构成等差数列，则构成等差数列，则A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。三、等差数列的通项公式：三、等差数列的通项公式：如果等差数列如果等差数列 an 的首项是的首项是 a1,公差是公差是d，那么由定义得：，那么由定义得：a2-a1=d (1)a3-a2=d (2)a4-a3=d (3)a5-a4=d (4).an-a n-1=d (n-1)所以：所以：an-a1=(n-1)d ,即即an=a1+(n-1)d 当当n=1时，上式两边都等于时，上式两边都等于 a1。nN*，公式成立。公式成立。等差数列的通项公式是等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn-1 个个(n-1)个等式累加法个等式累加法三、通项公式的应用：三、通项公式的应用：例例 2：（：（1）、已知等差数列的首项）、已知等差数列的首项 a1是是3，公差，公差 d 是是2，求它的通项公式。，求它的通项公式。（2）、求等差数列）、求等差数列 10，8，6，4，的第的第20项。项。（3）、）、-401是不是等差数列是不是等差数列 5 ，-9 ，-13 ，的项的项？如果？如果是，是第几项？是，是第几项？等差数列的通项公式等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 中中，an,a1,n ，d 这四个变量这四个变量，知知道道其中三个量就可以求余下的一个其中三个量就可以求余下的一个 量量 。分析：知道分析：知道a1,d，求，求an。代代入通项公式。入通项公式。a1=3,d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1)2 =2n-1 解：解：（1）、已知等差数列的首项）、已知等差数列的首项 a1是是3，公差公差 d 是是2，求它求它 的通项公式。的通项公式。（2）求等差数列）求等差数列 8,5,2，的第的第20项。项。分析：分析：根据根据a1=8，d=5-8=-3，先求出，先求出通项公式通项公式an，再求出，再求出a20解：解：由题可得由题可得 a1=8,d=5-8=-3，n=20 所以这个数列的通项公式为所以这个数列的通项公式为:an=8+(n-1)(-3)=11-3n 当当n=20时时,有有 a20=8+(20-1)(-3)=-49解：解：a1=-5,d=-9-(-5)=-4 an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1 -401=-4n-1 n=100 -401是该数列的第是该数列的第100项。项。分析：根据分析：根据a1=-5，d=-4，先求出通项公式先求出通项公式an，再把再把 401代入，然后看是否存在正整数代入，然后看是否存在正整数n。（3）、）、-401是不是等差数列是不是等差数列 5 ，-9 ，-13 ，的项的项？如果是，是第几项？如果是，是第几项？解：解：由题意可得由题意可得 a1+4d=10 (1)a1+11d=31 (2)d=3 a1=-2an=2+(n-1)3=3n-1 例例3：在等差数列在等差数列an中中，已知已知a5=10，a12=31,求首项求首项a1，公差公差 d 。分析：分析：此题已知此题已知a5=10，n=5；a12=31,n=12分别代入通项，分别代入通项，公式公式an=a1+(n-1)d 中中，可得，可得两个方程，都含两个方程，都含a1与与d两个未知两个未知 数组成方程组，数组成方程组，可解出可解出a1与与d。*此题解法是利用数学的函数与方程思想，此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。握。推广后的推广后的通项公式通项公式:(n-m)d(m n)由通项公式及其变形式我们知道由通项公式及其变形式我们知道:(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;(2)已知等差数列任意两项已知等差数列任意两项,可以确定等差数列中的可以确定等差数列中的 任一项任一项.例例4、某市出租车的计价标准为、某市出租车的计价标准为1.2元元/km,起步价为起步价为10元，即最初的元，即最初的4km（不含（不含4km)计费计费10元。如果某人乘坐该市的出租车前元。如果某人乘坐该市的出租车前 往往14km处的目的地，且一路畅通，等候时处的目的地，且一路畅通，等候时 间为零，需支付多少车费间为零，需支付多少车费?例例5、已知数列、已知数列an的通项公式为的通项公式为 an=pn+q,其中其中p、q为常数，为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？那么这个数列一定是等差数列吗？小结小结:判断数列是否是等差数列的方法判断数列是否是等差数列的方法 1、定义法定义法:an-an-1=d（d为常数）为常数）2、等差中项的定义等差中项的定义:2an=an+1+an-11、（、（1）、求等差数列）、求等差数列 3 ，7 ，11，的第的第4项和第项和第10项。项。（2）、）、100是不是等差数列是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？如果是，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明是第几项？如果不是，说明理由。理由。（3）、）、-20是不是等差数列是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？的项？如果是，如果是，是第几项？如果不是，是第几项？如果不是，说明理由。说明理由。2、在等差数列、在等差数列an中，中，（1）已知）已知 a4=10,a7=19，求，求 a1与与 d。（2）、已知）、已知 a3=9,a9=3，求，求 a12。解解：（1）、）、a1=3 ，d=7-3=4 an=3+4（n-1）=4n-1 a4=44-1=15，a10=410 1=39 （2）、）、a1=2 ，d=9-2=7 an=2+7（n-1)=7n-5 100=7n-5 n=15 100是该数列的第是该数列的第15项。项。（3）、）、a1=0 ，d=-3.5-0 =-3.5 an=0-3.5（n-1）=-3.5n+3.5 -20=-3.5n+3.5无正整数解无正整数解 -20不是该数列的项。不是该数列的项。解：解：（1）已知已知 a4=10，a7=19 由通项公式由通项公式的推广形式知的推广形式知 d=(19-10)(7-4)=3，a4=a1+3d 解得解得 a1=10-33=1（2）由题意得）由题意得 d=(a9 a3)(9-3)=-1 a3=a1+2d解得：解得：d=-1,a1=11。an=11-1（n-1）=12-n a12=12-12=0 1、等差数列的概念等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减项起后项减去前项，并且差是去前项，并且差是 同同 一常数。一常数。2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 知知道其中三道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。变量。四、小结：四、小结：这节课主要讲了以下两个问题：这节课主要讲了以下两个问题：