4图形与几何部分主线分析.ppt

数学课程标准数学课程标准（2011版）版）图形与几何主线分析图形与几何主线分析2图形与几何分析对图形与几何教材研究的重要性对图形与几何教材研究的重要性图形与几何是初中数学的重要组成部分图形与几何是初中数学的重要组成部分3图图形形与与几几何何年份年份200820082009200920102010201120112012201220132013分值52分54分55分52分54分55分所占比例43.3%45.0%45.8%43.3%45.0%45.8%“图形与几何图形与几何”在近六年河南中在近六年河南中考中所占的比例考中所占的比例例例1 1：己知己知ABCABC中，中，B=2B=2 C C，ADAD是高，是高，AEAE是中线。求证是中线。求证:AB=2DE:AB=2DE。CBAED一条线段是另一条线段的两倍一条线段是另一条线段的两倍 将长的线段减一半将长的线段减一半 将短的线段加倍将短的线段加倍 再证明再证明 取中点减半取中点减半/直接延长加倍直接延长加倍三角形中位线性质减半三角形中位线性质减半 /加倍加倍直角三角形斜边上的中线性质来减半直角三角形斜边上的中线性质来减半/加倍加倍有有助于直觉思维能力的培养助于直觉思维能力的培养 思思考一考一:将线段将线段ABAB看作看作ABCABC的一边，的一边，用三角形中位线性质减半，取用三角形中位线性质减半，取ACAC中点中点F F，连接，连接EFEF，只要，只要EF=DEEF=DE，问题就得证。，问题就得证。EFEF是一条成功的辅助线。是一条成功的辅助线。CBAEDF 思考二思考二:将线段将线段ABAB看作看作ABDABD的一边，的一边，在在ADAD、BDBD上各取中点上各取中点G G、H H，然后证，然后证GH=DEGH=DE。但因为线段但因为线段GHGH与线段与线段DEDE很难联系在一起，很难联系在一起，要证它们相等，还得靠另外的线段做媒介。要证它们相等，还得靠另外的线段做媒介。GHGH就是经过试探不成功的一条辅助线就是经过试探不成功的一条辅助线CBAEDGHCBAEDI 思思考三考三:AB:AB是是RtABDRtABD的斜边，利用斜的斜边，利用斜边上的中线性质来减半，则取边上的中线性质来减半，则取ABAB中点中点I I，连连接接D DI I、IEIE，证，证ID=DEID=DE即可。即可。IDID也是一条也是一条成功的辅助线。成功的辅助线。思思考四考四:用三角形中位线性质将用三角形中位线性质将DEDE加加倍。延长倍。延长AEAE至至J J，使，使EJEJ二二AEAE，延长，延长ADAD至至K K，使，使DK=ADDK=AD，连结，连结KJKJ，即只要证明，即只要证明KJ=ABKJ=AB。又因前面作法可得又因前面作法可得AB=CJAB=CJ，故只需证，故只需证KJ=CJKJ=CJ即可。事实上，这也是一条成功的即可。事实上，这也是一条成功的辅助线。辅助线。CBAEDJK 思考思考五五:找桥梁。找桥梁。延长延长CBCB到到P P使使CDCDDPDP，连接，连接APAP，又又ADAD垂直于垂直于BCBC于于D D，ADAD是是CPCP的垂直平分线，的垂直平分线，CCAPCAPC，BB2C2CAPCAPCBAPBAPAPCAPCBAPBAPABABBPBPEE为为BCBC中点中点CECEEB=BD+DEEB=BD+DECD=PDCD=PD即即BP+BD=DE+CEBP+BD=DE+CEBP+BD=DE+BD+DEBP+BD=DE+BD+DEBP=2DEBP=2DEAB=2DEAB=2DE例2.如图，A、B、C三点在同一条直线上，ABD和ACE均为等边三角形,连接BE、DC，请判断线段BE与DC的大小关系,并证明你的结论.有有助于发散思维能力的培养助于发散思维能力的培养变式1：当ABD和ACE分别绕点A旋转，使A、B、C三点不在同一条直线上时，其它条件不变，BE与DC之间的大小关系是否会改变?考查知识点：考查知识点：等边三角形的性质.方法提升：方法提升：从复杂图形中提炼出基本图形.变式2：如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：AEBD AGBF FGBE BOCEOC，其中正确结论的个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个变式3：如图，点C是AB上一点，DAB和EAC都是等边三角形，AE，BE分别与CD，AD交于点N，M，连接MN，求证：MNA是等边三角形.变式4：如图，点C是AB上一点，DAB和EAC都是等边三角形，M，N分别是BE，CD的中点，连接MN，试探究MNA的形状.通过对这个问题的分析，可以看出在图形与几何里，伴通过对这个问题的分析，可以看出在图形与几何里，伴随着对图形敏锐的有选择的分析和思考，迅速将镜头结合随着对图形敏锐的有选择的分析和思考，迅速将镜头结合得到数学直觉产生的图景，从而解决问题。这样做不仅培得到数学直觉产生的图景，从而解决问题。这样做不仅培养了学生的逻辑思维能力，还培养了学生的直觉思维能力，养了学生的逻辑思维能力，还培养了学生的直觉思维能力，一举两得。一举两得。交流的主要话题1、三个核心关键词、三个核心关键词-三个核心主线。三个核心主线。2、章节主线分析及教学建议。、章节主线分析及教学建议。图形的性质主线分析及建议。图形的性质主线分析及建议。图形的变化主线分析及建议。图形的变化主线分析及建议。图形与坐标主线分析及建议。图形与坐标主线分析及建议。15 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 更突出体现了几何学的本质：以图更突出体现了几何学的本质：以图形作为重要的研究对象，以空间形式作形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。为分析和探讨的核心。“空间与图形空间与图形”“图形与几何图形与几何”实验稿实验稿20112011版版16 主要是点明这部分内容的研究对象主要是点明这部分内容的研究对象图图形，既包括立体图形也包括平面图形。形，既包括立体图形也包括平面图形。从图形的性质从图形的性质、图形的变化、图形与坐图形的变化、图形与坐标等维度刻画图形。在运用多种方法研究的标等维度刻画图形。在运用多种方法研究的过程中形成了概念、性质等体系，也就是过程中形成了概念、性质等体系，也就是“几何几何”的内容。的内容。简单说，图形是几何的研究对象。简单说，图形是几何的研究对象。“空间与图形空间与图形”“图形与几何图形与几何”实验稿实验稿20112011版版18图形与几何分析对课标中对课标中 图形与几何图形与几何 的解读的解读1.1.课标（大纲）对其要求变化课标（大纲）对其要求变化2.2.“图形与几何图形与几何”部分的内容调整部分的内容调整19实验稿实验稿修订稿修订稿图形的认识图形的认识图形与变换图形与变换图形与坐标图形与坐标图形与证明图形与证明图形的性质图形的性质图形的变化图形的变化图形与坐标图形与坐标变化大纲大纲演绎演绎证明证明空间与图形空间与图形图形与几何图形与几何平面平面几何几何20 将将标准（实验稿）标准（实验稿）中的中的“空间空间与图形与图形”改为改为“图形与几何图形与几何”.标准（标准（20112011）修订组组长史宁中修订组组长史宁中教授的解释为：教授的解释为：“图形图形”是存在，是存在，“空间空间”是存在的背景，是存在的背景，“几何几何”是运用规则对图形是运用规则对图形进行研究进行研究.改为改为“图形与几何图形与几何”更准确一些更准确一些.变化21 将将标准（实验稿）标准（实验稿）中中“图形的认识图形的认识”和和“图形与证明图形与证明”合并为合并为“图形的性质图形的性质”.标准（实验稿）标准（实验稿）将将“空间与图形空间与图形”分为分为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明明4 4个部分；个部分；标准标准将将“空间与图形空间与图形”分为图形分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标的性质、图形的变化、图形与坐标3 3个部分个部分.将原来的将原来的“图形的认识图形的认识”和和“图形与证明图形与证明”合合并为并为“图形的性质图形的性质”，除了更有利于在探索、发现，除了更有利于在探索、发现、证明图形性质的过程中，体现两种推理（合情推证明图形性质的过程中，体现两种推理（合情推理与演绎推理）相辅相成的关系外，更决定了理与演绎推理）相辅相成的关系外，更决定了“图图形与几何形与几何”的教学内容将发生结构性的变化的教学内容将发生结构性的变化.22 标准（实验稿）标准（实验稿）将将“图形的认识图形的认识”、“图形与证明图形与证明”这两个具体这两个具体内容内容分开，决定了分开，决定了在原来在原来教材中，涉及几何证明的内容只能安排教材中，涉及几何证明的内容只能安排在八年级下学期和九年级进行，而在七年级及在八年级下学期和九年级进行，而在七年级及八年级上学期只能运用合情推理探索、发现图八年级上学期只能运用合情推理探索、发现图形的性质形的性质.这样安排有两个方面的问题这样安排有两个方面的问题：一是将一是将合情推理与演绎推理分开，割裂了它们之间的合情推理与演绎推理分开，割裂了它们之间的相辅相成的关系；二是重复较多，给人以相辅相成的关系；二是重复较多，给人以 “证证”了两次，了两次，“用用”了两次的感觉了两次的感觉.根据根据 标准标准修订的教材将从七年级上修订的教材将从七年级上学期的学期的“余角、补角、对顶角余角、补角、对顶角”开始进行推理开始进行推理证明，合情推理与演绎推理也将得到进一步的证明，合情推理与演绎推理也将得到进一步的融合融合.23 数学教学大纲虽然也提出了实践方面的要数学教学大纲虽然也提出了实践方面的要 求，但不具体。求，但不具体。课程标准（实验稿）提倡自主探究与课程标准（实验稿）提倡自主探究与合作交流的学习方式。合作交流的学习方式。课程标准（修订稿）中提出学生学习课程标准（修订稿）中提出学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。性的过程。变化24课程标准（修订稿）课程标准（修订稿）图形与几何部图形与几何部分增加了学习图形与几何的新视角和新分增加了学习图形与几何的新视角和新方法：方法：变换和坐标变换和坐标。变化25课程标准（修订稿）课程标准（修订稿）提出了与内容有提出了与内容有关的十个核心概念：关的十个核心概念：数感、符号意识、数感、符号意识、空间观念、几何直观、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、数据分析观念、运算能力、推理能力、模推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。型思想、应用意识和创新意识。变化26“数学公理数学公理”改名叫改名叫“数学基本事实数学基本事实”。在实验稿中在实验稿中6 6条基本事实，在标准稿中明确条基本事实，在标准稿中明确了了9 9条数学基本事实。条数学基本事实。变化27“图形与几何”部分的内容调整（一）删除了一些内容；（二）新增了一些内容；（三）对相同内容的要求不同；（四）列出了9个“基本事实”.28“图形与几何”部分的内容调整（一）删除了一些内容；（一）删除了一些内容；1.1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形、菱形的对角两组对角分别相等的四边形是平行四边形、菱形的对角线平分一组对角等定理；线平分一组对角等定理；2.2.关于梯形、等腰梯形的相关要求，等腰梯形的性质和判关于梯形、等腰梯形的相关要求，等腰梯形的性质和判定定理等内容；定定理等内容；3.3.探索并了解圆与圆的位置关系；探索并了解圆与圆的位置关系；4.4.关于影子、视点、视角、盲区等内容；关于影子、视点、视角、盲区等内容；5.5.对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏；对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏；6.6.关于镜面对称的要求关于镜面对称的要求.29“图形与几何”部分的内容调整（二）新增了一些内容；（二）新增了一些内容；1 1、新增必学内容、新增必学内容（1 1）会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的）会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义；意义；（2 2）了解平行于同一条直线的两条直线平行；）了解平行于同一条直线的两条直线平行；（3 3）会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；）会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；（4 4）了解并证明圆内接四边形的对角互补；）了解并证明圆内接四边形的对角互补；（5 5）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；30“图形与几何”部分的内容调整（二）新增了一些内容；（二）新增了一些内容；1 1、新增必学内容、新增必学内容 尺规作图尺规作图（6 6）过一点作已知直线的垂线；）过一点作已知直线的垂线；（7 7）已知一直角边和斜边作直角三角形；）已知一直角边和斜边作直角三角形；（8 8）作三角形的外接圆、内切圆；）作三角形的外接圆、内切圆；（9 9）作圆的内接正方形和正六边形）作圆的内接正方形和正六边形.31“图形与几何”部分的内容调整（二）新增了一些内容；2、新增选学内容（1）了解平行线性质定理的证明（2）了解相似三角形判定定理的证明，（3）探索并证明垂径定理，（4）探索并证明切线长定理等.32“图形与几何”部分的内容调整（三）对相同内容的要求不同；例1（课标31页）【实验稿】通过丰富的实例，进一步认识点、线、面.【修订稿】通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点.33“图形与几何”部分的内容调整（三）对相同内容的要求不同；例2（课标33页）【实验稿】了解线段垂直平分线及其性质.【修订稿】探索并证明线段垂直平分线的性质定理.34“图形与几何”部分的内容调整（三）对相同内容的要求不同；例3（课标34页）【实验稿】探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.【修订稿】探索并证明平行四边形的性质定理.35“图形与几何”部分的内容调整（四）列出了9个“基本事实”1、两点确定一条直线.2、两点之间线段最短.3、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.36“图形与几何”部分的内容调整（四）列出了9个“基本事实”6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8、三边分别相等的两个三角形全等.9、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.图形与几何领域的核心概念图形与几何领域的核心概念图形与几何领域的核心概念图形与几何领域的核心概念 看到看到“图形与几何图形与几何”这几个字，您想这几个字，您想到了哪些关键词？到了哪些关键词？空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力37 主要是指根据物体特征抽象出几何图形，主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。38 空间观念空间观念空间观念与空间想象力空间观念与空间想象力 空间想象能力就是以现实世界空间想象能力就是以现实世界为背景为背景,对几何表象进行加工改造，创造新对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。对初中生来说，这种要求的形象的能力。对初中生来说，这种要求可能太高了，所以义务教育阶段课程标准可能太高了，所以义务教育阶段课程标准中只提出培养学生的空间观念。中只提出培养学生的空间观念。空间观念的认识空间观念的认识39从课标从课标(2011)各学段的数学思考可以看出：各学段的数学思考可以看出：第一学段是第一学段是初步发展初步发展空间观念。空间观念。第二学段是第二学段是初步形成初步形成空间观念。空间观念。第三学段是第三学段是进一步发展进一步发展空间观念。空间观念。40 空间观念的认识空间观念的认识空间观念的空间观念的5个方面的要求：个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；系；（5）由文字或符号作出或画出图形。）由文字或符号作出或画出图形。空间观念的认识空间观念的认识41水平水平1：完全直观阶段。完全视觉的，纯粹想：完全直观阶段。完全视觉的，纯粹想象的，对象单一的，并进行表示象的，对象单一的，并进行表示(画出画出)。水平水平2：直观、简单分析及描述阶段。视觉加：直观、简单分析及描述阶段。视觉加分析，简单推理的，运用概念的，运用想象分析，简单推理的，运用概念的，运用想象后的表象进行分析，并能进行相应的表示。后的表象进行分析，并能进行相应的表示。水平水平3：直观、复杂分析及描述阶段。头脑中：直观、复杂分析及描述阶段。头脑中进行较为复杂的加工组织，对问题引申。进行较为复杂的加工组织，对问题引申。空间观念的认识空间观念的认识42学生形成空间观念的过程，观察实物、感知学生形成空间观念的过程，观察实物、感知实物是基础，如果缺少观察感知过程，用以实物是基础，如果缺少观察感知过程，用以建构知识的思维材料也就相对匮乏，也就是建构知识的思维材料也就相对匮乏，也就是说，学生的空间观念的形成也是遵循由具体说，学生的空间观念的形成也是遵循由具体到抽象、由简单到复杂的认知过程。到抽象、由简单到复杂的认知过程。空间观念的教学建议空间观念的教学建议43这个过程是必不可少的，只有充分的给予学生这个过程是必不可少的，只有充分的给予学生感受体验的过程，空间观念的培养才不至于是感受体验的过程，空间观念的培养才不至于是一句空话一句空话。唯有过程充分了，观念和能力才能提升唯有过程充分了，观念和能力才能提升。所以，我们尽量不应把关乎空间观念的课程，所以，我们尽量不应把关乎空间观念的课程，上成完成数学结论的过程。上成完成数学结论的过程。空间观念的教学建议空间观念的教学建议44比如正方体的展开图，虽然是由六个面组成的，但如比如正方体的展开图，虽然是由六个面组成的，但如果剪开的棱的相对位置不同，展开图是不一样的果剪开的棱的相对位置不同，展开图是不一样的。这这节课的目的就是让学生能够在头脑中，把一个正方节课的目的就是让学生能够在头脑中，把一个正方体体给剪开，同时又能把一个正方体给折上，通过在头脑给剪开，同时又能把一个正方体给折上，通过在头脑中不断的想象完成这个工作，以提升空间观念中不断的想象完成这个工作，以提升空间观念。但在实际教学中，当我们人为的把但在实际教学中，当我们人为的把11种展开图一一总种展开图一一总结出来时，希望学生能够记住，我想就变了味道。结出来时，希望学生能够记住，我想就变了味道。空间观念的教学案例空间观念的教学案例45141型132型33型222型总结是必要的，但得到这个总结的过程应该是更必要总结是必要的，但得到这个总结的过程应该是更必要的的.我们还是应该把这个过程在我们力所能及的范围内做我们还是应该把这个过程在我们力所能及的范围内做足，淡化这些结论的总结，这样，学生收获的足，淡化这些结论的总结，这样，学生收获的将将不仅不仅仅是这仅是这11种展开图，而更是空间观念的种展开图，而更是空间观念的又又一次充分实一次充分实践践.长远来看，他再去解决长方体的展开图，解决其他的长远来看，他再去解决长方体的展开图，解决其他的展开图就少了一些障碍。我们失去了一点总结记忆的展开图就少了一些障碍。我们失去了一点总结记忆的机会，但我们得到的是学生内化的空间观念的能力和机会，但我们得到的是学生内化的空间观念的能力和素质。素质。空间观念的教学案例空间观念的教学案例47几何直观 例（2012陕西10）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A1 B2 C3 D6压轴题压轴题；探究型探究型分析：分析：计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向解答：解答：解：当x=0时，y=-6，故函数图象与y轴交于点C（0，-6），当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A（-2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2故选B 几何直观几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学（帮助学生直观地理解数学（不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用），在整个数学学），在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。习过程中都发挥着重要作用。50第一，直观和我们认识世界的方法与特点密第一，直观和我们认识世界的方法与特点密切相关。相同的事物可以用不同的方法加以切相关。相同的事物可以用不同的方法加以记录、表示与刻画。记录、表示与刻画。这些方法在逻辑关系上有简单和复杂之分这些方法在逻辑关系上有简单和复杂之分;在感知类型上有直接付诸感官直觉和需要经在感知类型上有直接付诸感官直觉和需要经过理性分析之分过理性分析之分;在表现形式上有直观和抽象之分。在表现形式上有直观和抽象之分。把事情直观化，是我们认识世界的一个方法把事情直观化，是我们认识世界的一个方法与特点。与特点。何谓直观何谓直观51第二，直观是相对的，有不同的层面和表现。第二，直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以眼前的美景难以描述描述，我们拍下照片，这是一，我们拍下照片，这是一种直观；种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。图，这也是直观。何谓直观何谓直观52第三，直观含有可视化的意思（英文第三，直观含有可视化的意思（英文Visual），），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。直观。何谓直观何谓直观5354第一，课标中的几何直观既是一个过程，又是第一，课标中的几何直观既是一个过程，又是一个结果。一个结果。作为过程，主要体现在作为过程，主要体现在“利用图形利用图形”（区别于（区别于文字、符号、表格等）来描述和分析问题上；文字、符号、表格等）来描述和分析问题上；作为结果，几何直观可以看成一种静态的能力作为结果，几何直观可以看成一种静态的能力或素养，当我们说或素养，当我们说“不同学生几何直观的水平不同学生几何直观的水平不同不同”时，就是将几何直观作为一种静态的结时，就是将几何直观作为一种静态的结果。果。对几何直观的认识对几何直观的认识55第二，课标中对数学的描述是第二，课标中对数学的描述是“研究数量研究数量关系和空间形式的科学关系和空间形式的科学”。就数学的四大就数学的四大领域而言，领域而言，“数与代数数与代数”侧重对数量关系侧重对数量关系的研究，的研究，“图形与几何图形与几何”侧重对空间形式侧重对空间形式的研究。的研究。但就但就“几何直观几何直观”而言，和而言，和“图形与几何图形与几何”的内容自然关系密切，却又不局限于这的内容自然关系密切，却又不局限于这一领域的内容。这一点和一领域的内容。这一点和“空间观念空间观念”形形成鲜明的对比。成鲜明的对比。对几何直观的认识对几何直观的认识56第三，空间形式可以用几何方法进行刻画，但几何方第三，空间形式可以用几何方法进行刻画，但几何方法的可见形式（几何图形）本身并不能立刻成为一种法的可见形式（几何图形）本身并不能立刻成为一种“直观直观”。学生可以看清楚一个图形，但他不明白该。学生可以看清楚一个图形，但他不明白该图形反映了空间中怎样的点、线、面之间的相对位置图形反映了空间中怎样的点、线、面之间的相对位置关系，也不清楚该图形反映了关系，也不清楚该图形反映了何种何种运动下的运动下的何种何种几何几何性质性质，那么此时的几何图形对他并没有直观的意义。，那么此时的几何图形对他并没有直观的意义。换言之，直观可以付诸于感官的直接感知，但直接感换言之，直观可以付诸于感官的直接感知，但直接感知到的未必就有知到的未必就有“直观直观”的含义，这取决于主体的认的含义，这取决于主体的认知水平和既有的经验积累。正因此，几何直观的教学，知水平和既有的经验积累。正因此，几何直观的教学，或者说在教学中的渗透，才显示出其必要性。或者说在教学中的渗透，才显示出其必要性。对几何直观的认识对几何直观的认识57第四，正因为几何图形未必能马上产生直观的效果，所以，第四，正因为几何图形未必能马上产生直观的效果，所以，对作为能力和素养的几何直观的培养是一个长期的、动态的对作为能力和素养的几何直观的培养是一个长期的、动态的过程。几何直观能力的形成和空间观念的发展有密切的关系，过程。几何直观能力的形成和空间观念的发展有密切的关系，但几何直观又跳出了空间观念的限制，与之同源又逐渐分化。但几何直观又跳出了空间观念的限制，与之同源又逐渐分化。对此，从课标对此，从课标(2011)学段目标对学段目标对“数学思考数学思考”的描述可以看到的描述可以看到一点端倪：一点端倪：（第一学段）发展空间观念；（第一学段）发展空间观念；（第二学段）初步形成空间观念，（第二学段）初步形成空间观念，感受几何直观的作用感受几何直观的作用；（第三学段）进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题（第三学段）进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，的过程，初步建立几何直观初步建立几何直观。对几何直观的认识对几何直观的认识58对几何直观的认识对几何直观的认识第五，将几何直观用于描述和分析第五，将几何直观用于描述和分析“非几何与图形非几何与图形”领域的问题时，恰恰最能彰显几何直观的价值。也只领域的问题时，恰恰最能彰显几何直观的价值。也只有在这样的使用中，才能更好地培养学生的几何直观有在这样的使用中，才能更好地培养学生的几何直观意识与能力，最终提升几何直观意识与能力，最终提升几何直观能力和能力和素养。素养。第一，在第一，在“图形与几何图形与几何”领域的教学中，教师要领域的教学中，教师要强调几何本身的方法，但未必要提及强调几何本身的方法，但未必要提及“直观直观”。几何领域的学习对象本身就有直观的特性，无须几何领域的学习对象本身就有直观的特性，无须多此一举地强调用了多此一举地强调用了“直观直观”的方法，对的方法，对“空间空间观念观念”则可以多强调（观察、想象、画图、操作则可以多强调（观察、想象、画图、操作学具等教学方法自然要用）。学具等教学方法自然要用）。这一观点暗含了这样的价值判断：在这一观点暗含了这样的价值判断：在“图形与几图形与几何何”领域大讲领域大讲“几何直观几何直观”可能是喧宾夺主、用可能是喧宾夺主、用错了力的。错了力的。59几何直观教学建议几何直观教学建议第二，在第二，在“数与代数数与代数”及其他及其他“非图形与几何非图形与几何”领域的教领域的教学中，教师要强调直观的方法（如学中，教师要强调直观的方法（如“怎样让大家一眼就看怎样让大家一眼就看得懂？得懂？”），但未必要提及），但未必要提及“几何几何”。这是因为，在数学。这是因为，在数学学习的领域，达到直观的方法不止几何一个，至少不是直学习的领域，达到直观的方法不止几何一个，至少不是直观几何这一种。同时，因为强调直观，自然而然又会和使观几何这一种。同时，因为强调直观，自然而然又会和使用大括号、表格、箭头图、画示意图等带有几何特色的方用大括号、表格、箭头图、画示意图等带有几何特色的方法联系起来。当学生乐于使用他认为的直观的方法时，几法联系起来。当学生乐于使用他认为的直观的方法时，几何直观的方法会逐渐孕育其中。也就是说，教师要将教学何直观的方法会逐渐孕育其中。也就是说，教师要将教学定位于定位于“直观直观”，几何直观是其子集。这样定位，基于学，几何直观是其子集。这样定位，基于学生的已有经验，难度上有一个渐进的过程，更符合学生的生的已有经验，难度上有一个渐进的过程，更符合学生的认知规律。同时，这也保留了其他直观方法在学生数学学认知规律。同时，这也保留了其他直观方法在学生数学学习中的地位。习中的地位。60几何直观教学建议几何直观教学建议第三，需要注意的是，上述两点涉及第三，需要注意的是，上述两点涉及几何的方法、直观的方法，以及几何几何的方法、直观的方法，以及几何直观的方法，但这里的方法不是直接直观的方法，但这里的方法不是直接指向解决问题，而是为了指向解决问题，而是为了“描述和分描述和分析析”问题。问题。61几何直观教学建议几何直观教学建议简言之，对几何直观的教学，应该在培养学简言之，对几何直观的教学，应该在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识与能生利用几何直观描述与分析问题的意识与能力上下工夫，解决问题是下一步，虽然是联力上下工夫，解决问题是下一步，虽然是联系紧密的下一步。系紧密的下一步。这就意味着，对几何直观的教学，教师要关这就意味着，对几何直观的教学，教师要关注学生注学生理解理解问题的过程，以及问题的过程，以及理解理解之后的反之后的反思与顿悟。思与顿悟。没有反思与顿悟，学生可能获得了几何的方没有反思与顿悟，学生可能获得了几何的方法，却未必获得了法，却未必获得了“几何直观几何直观”的能力。的能力。62几何直观教学建议几何直观教学建议计算：计算：(a+b)3 3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)1=a+b(a+b)0=1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 11 3 3 11 3 3 11 1 2 2 1 11 1 3 3 3 3 1 1(a+b)4 41 1 4 6 4 4 6 4 1 11 11 1 1 1 1杨杨辉辉三三角角形形几何直观教学案例几何直观教学案例63例例,若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次手，个人共握几次手，4个人共个人共握几次手握几次手，n个人共握几次手个人共握几次手?64几何直观教学案例几何直观教学案例如果我们用两点之间是否存在连线，表示两个如果我们用两点之间是否存在连线，表示两个人相互间是否握过手，那么，在人相互间是否握过手，那么，在n个人的集合个人的集合中，彼此之间握手的情况就可以用一个类似与中，彼此之间握手的情况就可以用一个类似与“一条直线上一条直线上n个点之间所连的线段有多少？个点之间所连的线段有多少？”直观表示，图形中所有的线段数直观表示，图形中所有的线段数k就表示握就表示握手多少次？手多少次？例例 若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次手，个人共握几次手，4个人共握几次手个人共握几次手，n个个人共握几次手人共握几次手?人数人数 握手次数握手次数 规律规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)A1A2A3AN65几何直观教学案例几何直观教学案例 推理能力推理能力 推理一般包括合情推理和演绎推理推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。发现结论；演绎推理用于证明结论。66新课改强调了对学生合情推理的能力的培养新课改强调了对学生合情推理的能力的培养，这与这与传统的几何学习中重视演绎推理传统的几何学习中重视演绎推理，忽视合情推理是忽视合情推理是截然不同的截然不同的。这一点在这一点在近几近几年的中考题中已有体现年的中考题中已有体现：原来几何题的模式无非是原来几何题的模式无非是：“已知已知，求证求证。”而现有几何题中而现有几何题中，经常会出现经常会出现：“请你猜想这个结论成立吗请你猜想这个结论成立吗？并证明之。？并证明之。”等等形式，形式，这都体现了对合情推理的重视。这都体现了对合情推理的重视。67 推理能力的认识推理能力的认识合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是以它们是“开拓型开拓型”或或“发散型发散型”的思维方法的思维方法.也正因为结也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理以归纳类比都是或然性推理.演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭封闭型型”或或“收敛型收敛型”的思维方法的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的确，结论必然是真实的.68 推理能力的认识推理能力的认识总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的的内容一般是通过合情推理获得的。演绎推理可以验证合情推理的正确性演绎推理可以验证合情推理的正确性。合情推理可以为演绎推理提供方向和思路合情推理可以为演绎推理提供方向和思路。69 推理能力的认识推理能力的认识合情推理：猜想（不一定正确）合情推理：猜想（不一定正确）演绎推理：由一般到特殊演绎推理：由一般到特殊(一定正确一定正确)70 推理能力的认识推理能力的认识哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 一个未被否定或证明的猜想一个未被否定或证明的猜想17世纪，德国数学家哥德巴赫发现每一个大偶数都世纪，德国数学家哥德巴赫发现每一个大偶数都可以写成两个素数的和可以写成两个素数的和例如：例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，他对许多偶数进行了检验，都说明这是确定的他对许多偶数进行了检验，都说明这是确定的。但是，这但是，这需要给予证明，他算来算去，没有办法证出来需要给予证明，他算来算去，没有办法证出来。于是，他于是，他写信向著名的大数学家欧拉求教，欧拉到死也没有证明它写信向著名的大数学家欧拉求教，欧拉到死也没有证明它。因为哥德巴赫的发现尚未经过证明，所以只能称之为猜想，因为哥德巴赫的发现尚未经过证明，所以只能称之为猜想，200多年来，世界上成千上万的数学家企图给哥德巴赫猜想多年来，世界上成千上万的数学家企图给哥德巴赫猜想作出证明，但都未取得成