2018-2019学年吉林省五地六市联盟2018级高一下学期期末考试数学试卷及解析.pdf
2018-2019 学年吉林省五地六市联盟2018级高一下学期期末考试数学试卷祝考试顺利一、选择题1.下列命题中正确的是（）A.OA OB ABuur uu u ruu u rB.0ABBAu uu ruu u rC.00ABuu u rD.AB BC DC ADuu u ruu u ruuuruuur【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义即可判断。【详解】OAOBBAuu ruu u ruu r，0ABBAuu u ruu rr，00ABuu u rr，ABBCDCACCDADuu u ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu r，故选 D 2.下面一段程序执行后的结果是（）2a*2aa2aaPRINTaENDA.6 B.4 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根据题中的程序语句，直接按照顺序结构的功能即可求出。【详解】由题意可得：2a，4a，6a，所以输出为 6，故选 A.3.若ab，则下列正确的是（）A.22abB.acbcC.22acbcD.acbc【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除。【详解】A选项不正确，因为若0a，1b，则不成立；B选项不正确，若0c=时就不成立；C选项不正确，同 B，0c=时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D 4.已知ABC中，2a，3b，60Bo，那么角 A等于（）A.135oB.45oC.135o或45oD.90o【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理求出sin A，进而得出角 A，再根据大角对大边，大边对大角确定角A【详解】由正弦定理得：23sinsinsinsinabABAB，22sinsin23AB，45Ao或135o，ab，AB，45Ao，故选 B.5.从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.事件 A与C 互斥B.事件B与 C 互斥C.任何两个事件均互斥D.任何两个事件均不互斥【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项。【详解】A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A与B是互斥事件；A与C 是包含关系，不是互斥事件；B与 C是互斥事件，故选 B6.若,x y满足约束条件02323xxyxy，则zxy的最小值是（）A.3B.0C.32D.3【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】约束条件02323xxyxy，表示的可行域如图，023xxy解得0,3，023xxy解得30,2，2323xyxy解得C 1,1，把0,3、30,2、C 1,1分别代入zxy，可得zxy的最小值是 033，故选 A【点晴】1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：azyxbb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值注意：转化的等价性及几何意义7.在长为12cm的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于220cm的概率为（）A.16B.13C.23D.45【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率计算公式，分别计算出点C 占据的所有长度，以及满足题意时点 C 占据的长度，即可求出。【详解】设 ACx，则12012BCxx，矩形的面积1220Sxx，212200 xx，210 x.由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于220cm的概率10221203P8.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程?ybxa中的?b为 9.4，据此模型预报广告费用为6 万元时销售为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0 万元【答案】B【解析】试题分析：4235492639543.5,4244xy，回归直线必过点，即。将其代入?ybxa可得解得，所以加归方程为。当时，所以预报广告费用为6 万元时销售额为 65.5 万元9.数列na中，若12a，123nnaa，则10a（）A.29 B.2563 C.2569 D.2557【答案】D【解析】【分析】利用递推关系，构造等比数列3na，进而求得3na的表达式，即可求出na，也就可以得到10a的值。【详解】数列na中，若12a，123nnaa，可得1323nnaa，所以3na是等比数列，公比为2，首项为 5，所以1352nna，9105232557a10.在ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C 的对边，且满足coscosaAbB，那么ABC的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【详解】由正弦定理sinsinabAB，可得 sincossincosAABB,sin2sin2AB.,0,A BQ，22AB或 22AB，AB或2AB，即AB或2C，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选 C.11.若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是A.245B.285C.5 D.6【答案】C【解析】【详解】由已知可得31155xy，则3194123131234()(34)555555555yxxyxyxyxy，所以34xy的最小值5，应选答案 C。12.在ABC中,16,7,cos5ACBCA,O是ABC 的内心,若OPxOAyOBuuu ruuruu u r,其中01,12xy,动点P的轨迹所覆盖的面积为()A.1063B.563C.103D.203【答案】A【解析】【分析】画出图形，由已知条件便知P 点在以 BD，BP 为邻边的平行四边形内，从而所求面积为 2 倍的 AOB 的面积，从而需求SAOB：由余弦定理可以求出AB的长为 5，根据 O为ABC 的内心，从而 O到 ABC 三边的距离相等，从而5567AOBABCSSVV，由面积公式可以求出ABC的面积，从而求出 AOB的面积，这样 2SAOB便是所求的面积【详解】如图，根据题意知，P点在以 BP，BD为邻边的平行四边形内部，动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为2SAOB；在ABC中，cos15BAC，AC=6，BC=7；由余弦定理得，213649526ABAB；解得：AB=5，或 AB=135（舍去）；又 O为ABC的内心；所以内切圆半径r=2ABCsabc,所以1r2AOBsAB5567AOBABCSSVV=512515 6118 2625sinBAC=5 63；动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为1063故答案为：A二、填空题。13.若采用系统抽样的方法从420 人中抽取 21 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，420，则抽取的 21 人中，编号在区间 241,360 内的人数是 _【答案】6【解析】试 题 分 析：由 题 意 得，编 号 为20,(0,1,2,20,1,20)km kmL，由20241,360,km得12,13,17,kL共 6 个.考点：系统抽样14.如图是甲、乙两人在10 天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10 天甲加工零件个数的中位数为a，乙加工零件个数的平均数为b，则 ab_.【答案】44.5【解析】【分析】由茎叶图直接可以求出甲的中位数和乙的平均数，求和即可。【详解】由茎叶图知，甲加工零件个数的中位数为1212221.52a，乙加工零件个数的平均数为11917112124222430323010b23，则21.52344.5ab15.执行如图所示的程序框图，则输出结果S_.【答案】1010【解析】【分析】弄清程序框图的算法功能是解题关键。由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算122020111212020S的值，依据数列求和方法并项求和，即可求出。【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出122020111212020S123420202 143202020191010，输出的S为 101016.已知数列na的前n项和是nS，且241nnSa，则na_.（写出两个即可）【答案】11n或 21n【解析】【分析】利用已知nS求na的公式，即可算出结果。【详解】（1）当1n，得21141Sa，2110a，11a（2）当2n时，22114141nnnnSaSa，两式作差得，22114411nnnnSSaa，化简得22111nnaa，111nnaa或111nnaa，即12nnaa（常数）或1nnaa，当12nnaa（常数）时，数列na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以12121nann；当1nnaa时，数列na是以 1 为首项，1 为公比的等比数列，所以11nna【点睛】本题主要考查利用nS与na的关系公式，即1112nnnSnaSSn，求na的方法应用。三、解答题.17.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（）甲被选中的概率；（）丁没被选中的概率.【答案】（1）12；（2）12.【解析】【分析】（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.【详解】（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6 种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为3162.（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，所以丁没被选中的概率为3162.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18.已知ar，br，cr是同一平面内的三个向量，其中1,2ar（1）若2 5cr，且 cr与ar共线，求 cr的坐标；（2）若52br，且2abrr与2abrr垂直，求ar与br的夹角.【答案】（1）()2,4c=r或2,4cr（2）【解析】【分析】（1）由2 5cr，5ar以及cr与ar共线，可以得到2carr，再根据向量的数乘的坐标运算即可求出cr的坐标；（2）先依据向量垂直，数量积为 0，求出52a brr，再利用数量积的定义，即可求出ar与br的夹角的余弦值，进而得到夹角的大小。【详解】（1）由1,2ar，得22125ar，又2 5cr，所以2carr.又因为 cr与ar共线，所以2carr，所以()2,4c=r或2,4cr（2）因为2abrr与2abrr垂直，所以220ababrrrr，即222320aa bbrr rr 将5ar，52br代入 得52a brr，所以cos1a ba br rr r.又由0,，得，即ar与br的夹角为.19.已知a，b，c分别为ABC三个内角 A，B，C 的对边，cos2cosBbcAaa.（1）求角 A的大小；（2）若2a，ABC的面积为3，求边 b，c.【答案】（1）3A；（2）2bc.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出1cos2A，进而求得角A 的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出4bc，再利用余弦定理求出228bc，联立即可求解出 b，c的值。【详解】（1）由cos2cosBbcAaa及正弦定理得cossin2sincossinsinBBCAAA，整理得，sincoscossin2sincosABABCA，sin2sincosABCA，因为sinsinsinABCC，且sin0C，所以，1cos2A，又 0A，所以，3A.（2）因为ABC的面积11sinsin3223SbcAbc，所以，4bc 由余弦定理得，2222cosabcbcA，22222cos3bcbc所以，228bc联立解得，2bc.20.某高校在 2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示组号分组频数频率第 1 组160165,5 0.050第 2 组165170,0.350第 3 组170175,30 第 4 组175,18020 0.200第 5 组180185,10 0.100（1）请先求出频率分布表中,位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取 2名学生接受 A考官进行面试，求：第 4组至少有一名学生被考官A面试的概率【答案】（1）35人，0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第 3组的频率，从而完成频率分布直方图（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数（3）设第 3组的 3位同学为123,AAA，第 4组的 2位同学为12,BB，第 5组的 1位同学为1C，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率【详解】（1）由题可知，第2 组的频数为 0.35 10035人，第 3组的频率为300.300100，频率分布直方图如图所示，（2）因为第 3,4,5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取 6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360人，第 4组：206260人，第5组：106160人，所以第 3,4,5 组分别抽取 3人、2人、1人进入第二轮面试（3）设第 3组的 3位同学为123,AAA，第 4组的 2位同学为12,BB，第 5组的 1位同学为1C，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A（），13,AA（），11,A B（），12,A B（），11,A C（），23,AA（），21,AB（），22,AB（），21,A C（），31,A B（），32,A B（），31,A C（），12,B B（），11,B C（），21,B C（），其中第 4组的 2位同学12,B B中至少有一位同学入选的有9种，分别为：11122122ABABABAB（，），（，），（，），（，），31321211ABABBBBC（，），（，），（，），（，），21BC（，），第 4组至少有一名学生被A考官面试的概率为9315521.已知等差数列na满足35a，644aa，公比为正数的等比数列nb满足21b，35116b b.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设2nnna bc，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）21212nnnanb，；（2）12362nnnT.【解析】【分析】（）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；（）由（）知，21121212222nnnnnna bnc，利用错位相减法即可得到数列nc的前n项和nT.【详解】（）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为644aa，所以6424aad，解得2d.所以3353221naandnn.由35116b b及等比中项的性质，得24116b，又显然4b必与2b同号，所以414b.所以24211414bqb.又公比为正数，解得12q.所以222211122nnnnbb q.（）由（）知，21121212222nnnnnna bnc，则0121135212222nnnTL.121113232122222nnnnnTL.-，得01212112222111211 1222222222nnnnnnnTLL111212321312212nnnnn.所以12362nnnT.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于 1 两种情况求解.22.已知函数2()(1)1fxmxmxm（mR）（1）若不等式()0f x的解集为，求m的取值范围；（2）当2m时，解不等式()f xm；（3）若不等式()0f x的解集为D，若 11D，求m的取值范围【答案】（1）2 33m；（2）1|11xxm.；（3）2 33m.【解析】试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得100m求出解集即可；（2）分为10m，10m，10m分别解出 3 种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的1,1x，不等式2110mxmxm恒成立，利用分离参数的思想得2211xmxx恒成立，求出其最大值即可.试题解析：（1）当10m即1m时，2fxx，不合题意；当10m即1m时，2104110mmmm，即21340mm，12 32 333mmm或，2 33m（2）fxm即2110mxmx即1110mxx当10m即1m时，解集为|1x x当10m即1m时，1101xxm1011m，解集为1|11x xxm或当10m即21m时，1101xxm21m，所以110m，所以111m解集为1|11xxm（3）不等式0fx的解集为D，1,1D，即对任意的1,1x，不等式2110mxmxm恒成立，即2211m xxx恒成立，因为210 xx恒成立，所以22212111xxmxxxx恒成立，设2,xt则1,3t，2xt，所以2222131332213xttxxtttttt，因为32 3tt，当且仅当3t时取等号，所以2212 33132 33xxx，当且仅当23x时取等号，所以当23x时，22max12 313xxx，所以2 33m
