2018版高中数学三角恒等变换导学案新人教A版必修4含解析.pdf

第三章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 已知 cos633，求 cos56的值.分析将6看作一个整体，观察6与56的关系.解656，566.cos56cos 6 cos633，即 cos5633.二、利用目标中的角表示条件中的角例2设为第四象限角，若sin 3sin 135，则tan 2_.分析要求 tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin，代入到sin 3sin 135中，首先求出cos 2的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2.解析由sin 3sin sin 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos2cos 2135.2cos2cos 212cos 2135.cos 245.为第四象限角，2k322k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 245，2在第四象限，sin 235，tan 234.答案34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例 3 已知 sin4x513，0 x4，求cos 2xcos4x的值.分析转化为已知角4x的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现4x这个角的三角函数.解原式sin22xcos4x2sin4xcos4xcos4x2sin4x2cos4x，sin4x513，且 0 x0，sin20，故原式12121cos 221212cos sin22sin2.点评一般地，在化简求值时，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1 sin 2常常化为平方式：2cos2、2sin2、(sin cos)2、(sin cos)2.三、灵活变角例 3 已知 sin(6)13，则 cos(232)_.解析cos(23 2)2cos2(3)12sin2(6)12(13)2179.答案79点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“6”表示待求角“232”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例 4 已知 tan 12，则cos 21 sin 2的值是 _.解析cos 21sin 2cos2sin2cos2sin22sin cos 1tan21tan22tan 1141142 1234143.答案3 点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 21sin 2”化为关于sin 和 cos 的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以 2nsin 求 cos cos 2cos 4cos 8cos 2n 1的值例 5 求 cos 11cos 211cos 311cos 411cos 511的值.解原式 cos 11cos 211cos 411cos 811cos 51124sin 11cos 11cos 211cos 411cos 811cos 51124sin 11sin 1611cos 51124sin 11sin 511cos 51124sin 1112sin101124sin 11sin 1125sin 11132.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为yAsin(x)B的形式求解例 1 求函数f(x)sin4xcos4xsin2xcos2x2sin 2x的最值.解原函数变形得f(x)sin2xcos2x2 sin2xcos2x2sin 2x114sin22x2sin 2x112sin 2x112sin 2x2 112sin 2x14sin 2x12.f(x)max34，f(x)min14.例 2 求函数y sin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解原函数化简得ysin 2xcos 2x2 2sin2x42.当 2x42k32，kZ，即xk58，kZ 时，ymin22.此时x的集合为 x|xk58，kZ.点评形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成yAsin(2x)B的形式求最值.二、利用正、余弦函数的有界性求解例 3 求函数y2sin x12sin x1的值域.解原函数整理得sin xy12y1.|sin x|1，y12y 11，解出y13或y3.函数的值域为y|y13或y3.例 4 求函数ysin x 3cos x 4的值域.解原函数整理得sin xycos x 4y 3，y21sin(x)4y3，sin(x)4y31y2.|sin(x)|1，解不等式4y 31y21 得122615y 122615.点评对于形如yasin xbcsin xd或yasin xbccos xd的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例 5 设关于x的函数ycos 2x2acos x2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.解ycos 2x 2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)2 cos xa22a222a1.当a21，即a1，即a2 时，f(a)ymin1 4a，此时 cos x1.综上所述，f(a)1a2.点评形如yasin2xbsin xc的三角函数可转化为二次函数yat2btc在区间 1，1 上的最值问题解决.例 6 试求函数ysin xcos x2sin xcos x2 的最值.解设 sin xcos xt，t 2，2 ，则 2sin xcos xt21，原函数变为yt2t1，t 2，2 ，当t12时，ymin34；当t2时，ymax32.点评一般地，既含sin xcos x(或 sin x cos x)又含 sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x cos xt，则 sin xcos x12(t21)；sin xcos xt，则 sin xcos x12(1t2).四、利用函数的单调性求解例 7 求函数y1sin x3sin x2sin x的最值.解ysin2x4sin x3sin x2sin x 221sin x2(sin x2)1sin x2，令tsin x2，则t1，3，yt1t.利用函数单调性的定义易证函数yt1t在 1，3 上为增函数.故当t1，即 sin x 1 时，ymin0；当t3，即 sin x1 时，ymax83.例 8 在 RtABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设ABa，ABC，ABC的面积为P，正方形面积为Q.求PQ的最小值.解ACatan，P12ABAC12a2tan.设正方形的边长为x，AGxcos，BCacos.BC边上的高hasin，AGABhxh，即xcos aasin xasin，xasin 1 sin cos，Qx2a2sin21 sin cos 2.从而PQsin 2cos 1sin cos 2sin22sin 224sin 21sin 241sin 2.易知函数y1tt4在区间(0，1 上单调递减，从而，当sin 21 时，PQmin94.点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4 行百里者半九十三角恒等变换一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例 1 已知 sin 55，sin 1010，和都是锐角，求的值.错解 因为和都是锐角，且sin 55，sin 1010，所以 cos 255，cos 31010，sin()sin cos cos sin 5531010255101022.因为，0，2，则(0，).所以4或34.剖析 由 sin 55，sin 1010，和都是锐角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos()的值.正解 因为和都是锐角，且sin 55，sin 1010，所以 cos 255，cos 31010，cos()cos cos sin sin 2553101055101022.因为，0，2，所以(0，)，所以4.温馨点评根据条件求角，主要有两步：1 求角的某种三角函数值；2 确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan2 6tan 7 0，tan2 6tan 7 0，、(0，)，且，求的值.错解 由题意知tan、tan 是方程x2 6x7 0 的两根，由根与系数的关系，得tan tan 6，tan tan 7，tan()tan tan 1tan tan 6171.0，0，02，4或54.剖析 由知 tan 0，tan 0，角、都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解 由tan tan 6，tan tan 7易知 tan 0，tan 0.、(0，)，2，2，0，得B 0，2，且 sin B1213.由 sin A35，得 cos A45，当 cos A45时，cos A23.sin B121332，B 0，2，B3.故当 cos A45时，AB，与A、B是ABC的内角矛盾.cos A45，cos C cos(AB)sin Asin Bcos Acos B1665.温馨点评涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和ABC180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例 4 判断函数f(x)1sin xcos x1sin xcos x的奇偶性.错解 f(x)1sin xcos x1sin xcos x12sin x2cos x2 1 2sin2x212sin x2cos x2 2cos2x212sin x2cos x2sin x22cos x2sin x2cos x2 tan x2，由此得f(x)tanx2 tan x2f(x)，因此函数f(x)为奇函数.剖析 运用公式后所得函数f(x)tan x2的定义域为x|xR，x2k，kZ.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错.正解 事实上，由1sin xcos x0可得sin xcos x 1，即2sinx4 1，从而 sinx422，所以x42k54且x42k74(kZ)，故函数f(x)的定义域是x|x2k且x2k32，kZ，显然该定义域不关于原点对称.因此，函数f(x)为非奇非偶函数.温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.五、误用公式asin xbcos xa2b2sin(x)而致错例 5 若函数f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函数，求的值.错解 f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos 2sin4.f(x)sin(x)cos(x)是偶函数.|f(0)|f(x)max2.f(0)2sin42，sin41，4k2，kZ.即k4，kZ.剖析 x与x是不同的角.函数f(x)的最大值不是2，上述解答把f(x)的最大值误当作2来处理.正解 f(x)sin(x)cos(x)是偶函数.f(x)f(x)对一切x R恒成立.即 sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立.sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0 恒成立.即 2sin x(cos sin)0 恒成立.cos sin 0.cos sin 2sin40.4k，即k4，kZ.温馨点评注意公式asin xbcos x22ab sinx的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.例如：函数f xsinx3cosx xR 的最大值不是2.5 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解.一、平面向量平行与三角函数交汇例 1 已知a(2cos x23sin x，1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y关于x的函数，则f(x)的最小正周期为_.解析由ab得 2cos2x23sin xcos xy0，即y2cos2x 23sin xcos xcos 2x3sin 2x1 2sin(2x6)1，所以f(x)2sin(2x6)1，所以函数f(x)的最小正周期为T22.答案点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.二、平面向量垂直与三角函数交汇例 2 已知向量a(4，5cos)，b(3，4tan)，(0，2)，若ab，则 cos(24)_.解析因为ab，所以 43 5cos(4tan)0，解得 sin 35.又因为(0，2)，所以 cos 45.cos 212sin2725，sin 22sin cos 2425，于是 cos(24)cos 2cos4sin 2sin417250.答案17250点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量m(sin，1cos)(0)与向量n(2，0)的夹角为3，则_.解析由条件得|m|sin2 1cos 222cos，|n|2，mn2sin，于是由平面向量的夹角公式得cos 3mn|m|n|2sin 222cos 12，整理得 2cos2cos 10，解得 cos 12或 cos 1(舍去).因为 0，所以23.答案23点评解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解.四、平面向量的模与三角函数交汇例 4 若向量a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值为 _.解析由条件可得|a|1，|b|2，ab3cos sin，则|2ab|2ab|24a2b24ab843cos sin 88cos6 4，所以|2ab|的最大值为4.答案4 点评解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a|2a2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解.五、平面向量数量积与三角函数交汇例 5 若函数f(x)2sin(6x3)(2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OBOC)OA等于()A.32 B.16 C.16 D.32 解析由f(x)0，解得x4，即A(4，0)，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是BC的中点，所以OBOC2OA，所以(OBOC)OA 2OAOA2|OA|224232，答案D 点评平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.6 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例 1 已知sin sin 14，cos cos 13，求tan 2.(提示：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点的坐标为x1x22，y1y22解设A(cos，sin)，B(cos，sin)均在单位圆上，如图，则以OA、OB为终边的角分别为、，由已知，sin sin 14，cos cos 13，用题设所给的中点坐标公式，得AB的中点C16，18，如图，由平面几何知识知，以OC为终边的角为22，且过点C16，18，由三角函数的坐标定义，知tan 2181634.点评借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值.二、单位圆与恒等变换的交汇例 2 已知圆x2y2R2与直线y 2xm相交于A、B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为，OB为终边的角为，则 tan()的值为 _.解析如图，过O作OMAB于点M，不妨设、0，2，则AOMBOM12AOB12()，又因为xOMAOM2，所以 tan 2kOM1kAB12，故 tan()2tan 21tan2243.答案43点评若是采用先求A、B两点的坐标，再求、的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例 3 如图，A，B是单位圆O上的点，OA为角的终边，OB为角的终边，M为AB的中点，连接OM并延长交圆O于点C.(1)若6，3，求点M的坐标；(2)设(0，3)，3，C(m，n)，求ymn的最小值，并求使函数取得最小值时的取值.解(1)由三角函数定义可知，A32，12，B12，32，由中点坐标公式可得M314，314.(2)由已知得xOC12()12(3)，即Ccos126，sin126，故mcos126，nsin126，所以ycos126sin1262sin12512，又因为 0，3，故51212512712，当0 或3时，函数取得最小值ymin2sin512312.点评借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.7 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式asin bcos a2b2sin()，其中角所在的象限由a，b的符号确定，的值由 tan ba确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考.一、求最值例 1 求函数y 2sin x(sin xcos x)的最小值.解y2sin x(sin xcosx)2sin2x2sin xcos x1cos2xsin 2x12 sin 2x22cos 2x2212 sin 2xcos 4cos 2xsin 412sin2x4，所以函数y的最小值为12.二、求单调区间例 2 求函数y12cos2x32sin xcos x1 的单调区间.解y12cos2x32sin xcos x1 14(1 cos 2x)34sin 2x1 34sin 2x14cos 2x541232sin 2x12cos 2x5412sin2x654.由 2k22x62k2(kZ)，得k3xk6(kZ).由 2k22x62k32(kZ)，得k6xk23(kZ).所以函数的单调增区间是k3，k6(k Z)；函数的单调减区间是k6，k23(kZ).三、求周期例 3 函数y cos22x4cos 2xsin 2x的最小正周期是()A.2 B.C.2 D.4答案C 解析ycos22x 4cos 2xsin 2x12cos 4x2sin 4x12172sin(4x)12(其中 sin 1717，cos 41717)，函数的最小正周期为T242.故选 C.四、求参数的值例 4 如果函数ysin 2xacos 2x的图象关于直线x8对称，则实数a的值为()A.2 B.2 C.1 D.1 答案D 解析y1a2sin(2x)(其中 tan a).因为x8是对称轴，所以直线x8过函数图象的最高点或最低点.即当x8时，y1a2或y1a2.所以 sin4acos 41a2.即22(a1)1a2.所以a 1.故选 D.