2019-2020学年北京市西城区八年级下学期期末数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年北京市西城区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）Ax5Bx5Cx5Dx52下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A唐代对凤纹B良渚神人兽面纹C敦煌元素宝相花纹D营造法式海石榴花纹3下列运算正确的是（）A+B3+3C6D24如图，在RtABC 中，C90，AC6，BC8若 D，E 分别为边AC，BC 的中点，则 DE 的长为（）A10B5C4D35下列关于一元二次方程x2+2x0 的说法正确的是（）A该方程只有一个实数根x2B该方程只有一个实数根x 2C该方程的实数根为x10，x22D该方程的实数根为x10，x2 26下列命题正确的是（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C有一组邻边相等的四边形是菱形D有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7用配方法解一元二次方程x2+6x+20 时，下列变形正确的是（）A（x+3）29B（x+3）27C（x+3）23D（x3）278甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（）A甲城市的年平均气温在30以上B乙城市的年平均气温在0以下C甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温D甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近9图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME 7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O 的直角三角形（如图2 所示）演化而成的如果图2 中的 OA1A1A2A2A3 A7A81，那么 OA8的长为（）A2B3CD10如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为 AB 边的中点，点F 在 BC 边上，点 B 关于直线EF 的对称点记为B，连接 BD，BE，B F当点 F 在 BC 边上移动使得四边形BEB F成为正方形时，BD 的长为（）ABC2D3二、填空题（共8 小题）.11计算：?12如图，在?ABCD 中，若 A2 B，则 D13若 0，则 xy 的值为14如图，矩形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，若 OB5，则 AC15如果 x1 是关于 x 的方程 x2+bx20 的一个根，则b16如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，若 ABC 60，OA1，则菱形的周长等于17如图，正方形ABCD 的边长为4，点 E 在 CD 边上，CE3，若点 F 在正方形的某一边上，满足CF BE，且 CF 与 BE 的交点为M，则 CM18如图，在 OAB 中，1 2将 OAB 绕点 O 顺时针旋转180，点 A 的对应点记为 C，点 B 的对应点记为D，顺次连接BC，CD，DA 得到四边形ABCD（1）补全图形；（2）所得四边形ABCD 为（从 矩形；菱形；正方形中选择，只填写序号即可），判断此结论的依据是三、解答题（本题共44 分，第 1923 题每小题6 分，第 24、25 题每小题6 分）19计算：（1）+；（2）（+）（）+20解方程：x24x 8021如图，在?ABCD 中，点 E 在 BC 边上，AE 平分 BAD，点 F 在 AD 边上，EF AB（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若 AB2，BC3，点 P 在线段 AE 上运动，请直接回答当点P 在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多少22甲、乙两支运动队各有10 名队员，他们的年龄分布情况分别如图1、图 2 所示甲、乙两队队员年龄统计表平均数（近似值）众数中位数甲队a乙队20b解决下列问题：（1）求甲队队员的平均年龄a 的值（结果取整数）；（2）补全统计表中的三处；（3）阅读理解扇形图中求中位数的方法：【阅读与思考】小明同学在求乙队队员年龄的中位数b 时，是这样思考的：因为中位数是将一组数据按大小排序后，排在中间位置的一个数或中间两个数的平均数，那就需要先找到数据按大小排序后，大致排在50%附近的数，再根据中位数的概念进行细化求解图 2 这个扇形图中的数据1821 是按大小顺序旋转排列的，我们就可以像图3 所示的这样，先找到最大数据“21”与最小数据“18”的分界半径OM，为找到排在50%附近的数，再作出直径MN，那么射线ON 指向的数据就是中位数王老师的评价：小明的这个方法是从中位数的概念出发，充分利用了扇形图的特性形象直观地解决问题【理解与应用】请你利用小明的方法直接写出统计表中b 的值23阅读材料：中国西班牙联合发行中欧班列（义乌马德里）特种邮票1 套 2 枚，它们的大小、形状相同（如图1）邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，；在单枚邮票票面上的平行四边形ABCD 中，邻边 AB 与 AD 的长度比非常接近黄金分割数（0.618）单枚邮票的规格见图2 所示的技术资料（节选）设图1 的?ABCD 中 BC 边上的高为AH 根据以上信息解决问题：（1）提取信息：在?ABCD 中，BCmm，ABmm，AH mm；（2）计算 BH 的长（结果用最简二次根式表示）；（3）如果将图1 中的?ABCD设计成精确地满足相邻两边的比为黄金分割数，即在?ABCD 中，满足，且 ADa，求此时2 枚连印的邮票票面中?ABEF 的周长（用含a 的式子表示，结果用最简二次根式表示，无需计算近似值）24在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（2，0）四边形AOBC 的第四个顶点C 在第一象限，AC1，BC3（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；（2）求 OAC 的度数及四边形AOBC 的面积25在?ABCD 中，O 是对角线BD 的中点点E 在?ABCD 外，且 AED 90过点C作直线 ED 的垂线，垂足为F连接 OE，OF（1）如图 1，当?ABCD 为矩形，且 DAE 45时，画出线段OE 与 OF，并直接写出这两条线段的数量关系；（2）在图 2 中，根据题意补全图形，写出线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（3）如图 3，当?ABCD 为正方形时，若AE1，OD，直接写出OF 的长一、操作题（本题6 分）26从下面正方形网格的格点AN 中，选择恰当的格点，分别画出以所选择格点为顶点的以下图形，并用字母表示 矩形；菱形；既不是矩形也不是菱形的平行四边形二、方案比较（本题6 分）27在边长为1 的正方形中放置5 个大小相同的小正方形，现在有如下两个放置方案（这两个方案中小正方形的边长分别为a1，a2）：图形边长满足的条件边长的值方案一（2+）a11a1方案二 a2（1）补全表格；（2）比较 a1与 a2的大小关系并说明理由三、解答题（本题8 分）28 对于平面内三点M，N，P，我们规定：若将点 M 绕点 P顺时针旋转（0 360）后能与点N 重合，就将其简记为：R（P，）：MN在平面直角坐标系xOy 中，P（1，0），S（1，0）解决下面的问题：（1）如图 1，若 R（P，90）：S T，画出点T 并直接写出点T 的坐标；（2）如图 2，A（0，），B（0，），直线l：x+1 与 x 轴的交点为C 若 R（P，）：SQ，且点 Q 落在直线l 上，求 的值；若点 E 在四边形ASBP 的边上运动，在直线l 上存在相应的点F，使得 R（P，）：E F，请直接写出点E 的横坐标xE的取值范围参考答案一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）第 110 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）Ax5Bx5Cx5Dx5【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案解：由题意可知：x50，x5故选：B2下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A唐代对凤纹B良渚神人兽面纹C敦煌元素宝相花纹D营造法式海石榴花纹【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题故选：C3下列运算正确的是（）A+B3+3C6D2【分析】根据二次根式的加减、乘法和除法法则逐一计算可得答案解：A与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B 3 与不能进一步计算，此选项错误；C6，此选项正确；D2，此选项错误；故选：C4如图，在RtABC 中，C90，AC6，BC8若 D，E 分别为边AC，BC 的中点，则 DE 的长为（）A10B5C4D3【分析】利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE 即可解：C90，AC6，BC8，AB10，AD DC，CEEB，DE AB5，故选：B5下列关于一元二次方程x2+2x0 的说法正确的是（）A该方程只有一个实数根x2B该方程只有一个实数根x 2C该方程的实数根为x10，x22D该方程的实数根为x10，x2 2【分析】根据根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程即可得出结论解：x2+2x0，2241 040，故原方程有两个不相等的实数根，解得 x10，x2 2故选：D6下列命题正确的是（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C有一组邻边相等的四边形是菱形D有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定方法对A 进行判断；根据矩形的判定方法对B 进行判断；根据菱形的判定方法对C 进行判断；根据正方形的判定方法对D 进行判断解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A 选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B 选项为假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C 选项为假命题；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D 选项为真命题故选：D7用配方法解一元二次方程x2+6x+20 时，下列变形正确的是（）A（x+3）29B（x+3）27C（x+3）23D（x3）27【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，据此可得答案解：x2+6x+20，x2+6x 2，x2+6x+9 2+9，即（x+3）27，故选：B8甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（）A甲城市的年平均气温在30以上B乙城市的年平均气温在0以下C甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温D甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近【分析】利用折线图，求出甲、乙的平均气温即可判断解：由折线图可知，甲的年平均气温10.25 故选项 A 不符合题意，乙的年平均气温3.5，故选项B，C 不符合题意故选：D9图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME 7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O 的直角三角形（如图2 所示）演化而成的如果图2 中的 OA1A1A2A2A3 A7A81，那么 OA8的长为（）A2B3CD【分析】OA11，根据勾股定理可得OA2，OA3，找到 OAn的规律，即可计算OA8的长解：OA11，由勾股定理可得OA2，OA3，OAn，OA82故选：A10如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为 AB 边的中点，点F 在 BC 边上，点 B 关于直线EF 的对称点记为B，连接 BD，BE，B F当点 F 在 BC 边上移动使得四边形BEB F成为正方形时，BD 的长为（）ABC2D3【分析】连接 BB，连接 BD，由正方形的性质可得BD AB2，BD 平分 ABC，BBBE，BB平分 ABC，可证点B，点 B，点 D 三点共线，即可求解解：如图，连接BB，连接 BD，四边形ABCD 是正方形，BD AB2，BD 平分 ABC，E 为 AB 边的中点，AE BE1，四边形BEB F 是正方形，BBBE，BB平分 ABC，点 B，点 B，点 D 三点共线，BDBD BB，故选：A二、填空题（本题共26 分，其中第18 题 5 分，其余每小题3分）11计算：?5【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案解：原式5故答案为：512如图，在?ABCD 中，若 A2 B，则 D60【分析】根据平行四边形的性质得出A+B180，B D，结合 A2B 可得答案解：四边形ABCD 是平行四边形，A+B 180，B D，A2B，2B+B180，D B60，故答案为：6013若 0，则 xy 的值为6【分析】根据非负数的性质列式求出x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解解：由题意得，x+20，y30，解得 x 2，y3，所以，xy（2）3 6故答案为：614如图，矩形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，若 OB5，则 AC10【分析】由矩形的性质得出OAOCOB5，即可得出答案解：四边形ABCD 是矩形，OAOCAC，OBODBD，ACBD，OAOCOB5，AC 2OA10；故答案为：1015如果 x1 是关于 x 的方程 x2+bx20 的一个根，则b1【分析】把 x1 代入方程x2+bx 20 得到一个关于b 的一元二次方程，求出方程的解即可解：把 x1 代入方程x2+bx20得：1+b20，解得：b1故答案为：116如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，若 ABC 60，OA1，则菱形的周长等于8【分析】依据菱形的性质求出AC 的长，只要证明ADC 是等边三角形即可得到菱形的周长解：四边形ABCD 是菱形，AD DC，ODAC，OAOC1，AC 2OA2，ABC ADC60，ADC 是等边三角形，CDAC2，菱形的周长等于8，故答案为：817如图，正方形ABCD 的边长为4，点 E 在 CD 边上，CE3，若点 F 在正方形的某一边上，满足CF BE，且 CF 与 BE 的交点为M，则 CM或【分析】分两种情况进行讨论，点F 在 AD 上或点 F 在 AB 上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM 的长解：分两种情况：如图 1 所示，当点F 在 AD 上时，由 CF BE，CDBC，BCE CDF 90可得，Rt BCE Rt CDF（HL），DCF CBE，又 BCF+DCF 90，BCF+CBE 90，BMC 90，即 CFBE，BC 4，CE3，BCE90，BE 5，CM；如图 2 所示，当点F 在 AB 上时，同理可得，Rt BCF Rt CBE（HL），BF CE，又 BF CE，四边形BCEF 是平行四边形，又 BCE 90，四边形BCEF 是矩形，CMBE5故答案为：或18如图，在 OAB 中，1 2将 OAB 绕点 O 顺时针旋转180，点 A 的对应点记为 C，点 B 的对应点记为D，顺次连接BC，CD，DA 得到四边形ABCD（1）补全图形；（2）所得四边形ABCD 为（从 矩形；菱形；正方形中选择，只填写序号即可），判断此结论的依据是对角线相等的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求画出图形即可（2）根据矩形的判定解决问题即可解：（1）如图，四边形ABCD 即为所求（2）结论：四边形ABCD 是矩形理由：1 2，OAOB，由旋转的性质知OAOC，OBOD，四边形ABCD 是平行四边形，AC 2OA，BD 2OB，OAOB，AC BD，四边形ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）故答案为：，对角线相等的平行四边形是矩形，三、解答题（本题共44 分，第 1923 题每小题6 分，第 24、25 题每小题6 分）19计算：（1）+；（2）（+）（）+【分析】（1）先根据二次根式的除法法则算除法，再化成最简二次根式，再算加法即可；（2）先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可解：（1）+32+35；（2）（+）（）+52+3620解方程：x24x 80【分析】利用公式法解答解：a1，b 4，c 8，1641（8）48，x，x12+2，x1 2221如图，在?ABCD 中，点 E 在 BC 边上，AE 平分 BAD，点 F 在 AD 边上，EF AB（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若 AB2，BC3，点 P 在线段 AE 上运动，请直接回答当点P 在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多少【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AF BE，推出四边形ABEF 是平行四边形，FAE BEA，根据角平分线的定义得到BAE EAF，求得ABBE，于是得到四边形 ABEF 是菱形；（2）根据菱形的性质得到点B 与点 F 关于 AE 对称，于是得到结论解：（1）在?ABCD 中，AD BC，即 AF BE，EF AB，四边形ABEF 是平行四边形，FAE BEA，AE 平分 BAD，BAE EAF，BAE AEB，AB BE，四边形ABEF 是菱形；（2）四边形ABEF 是菱形，点 B 与点 F 关于 AE 对称，当点 P 在点 E 的位置时，PC+PF 取得最小值，最小值BC322甲、乙两支运动队各有10 名队员，他们的年龄分布情况分别如图1、图 2 所示甲、乙两队队员年龄统计表平均数（近似值）众数中位数甲队a1919乙队2019、20、21b解决下列问题：（1）求甲队队员的平均年龄a 的值（结果取整数）；（2）补全统计表中的三处；（3）阅读理解扇形图中求中位数的方法：【阅读与思考】小明同学在求乙队队员年龄的中位数b 时，是这样思考的：因为中位数是将一组数据按大小排序后，排在中间位置的一个数或中间两个数的平均数，那就需要先找到数据按大小排序后，大致排在50%附近的数，再根据中位数的概念进行细化求解图 2 这个扇形图中的数据1821 是按大小顺序旋转排列的，我们就可以像图3 所示的这样，先找到最大数据“21”与最小数据“18”的分界半径OM，为找到排在50%附近的数，再作出直径MN，那么射线ON 指向的数据就是中位数王老师的评价：小明的这个方法是从中位数的概念出发，充分利用了扇形图的特性形象直观地解决问题【理解与应用】请你利用小明的方法直接写出统计表中b 的值【分析】（1）由图 1 可以计算出a 的值；（2）根据图 1 和图 2 可以将表格中空格补充完整；（3）根据题意和图3 可以直接写出b 的值解：（1）a19；（2）由图 1 可得，众数是19，中位数是19，由图 2 可得，众数是19，20，21，故答案为：19，19；19，20，21；（3）由题意和图3 可得，b2023阅读材料：中国西班牙联合发行中欧班列（义乌马德里）特种邮票1 套 2 枚，它们的大小、形状相同（如图1）邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，；在单枚邮票票面上的平行四边形ABCD 中，邻边 AB 与 AD 的长度比非常接近黄金分割数（0.618）单枚邮票的规格见图2 所示的技术资料（节选）设图1 的?ABCD 中 BC 边上的高为AH 根据以上信息解决问题：（1）提取信息：在?ABCD 中，BC32mm，AB50mm，AH 28mm；（2）计算 BH 的长（结果用最简二次根式表示）；（3）如果将图1 中的?ABCD设计成精确地满足相邻两边的比为黄金分割数，即在?ABCD 中，满足，且 ADa，求此时2 枚连印的邮票票面中?ABEF 的周长（用含a 的式子表示，结果用最简二次根式表示，无需计算近似值）【分析】（1）由题意可求解；（2）由勾股定理可求解；（3）先求出 AB 的长，由平行四边形的性质可求?ABEF 的周长解：（1）如图，由题意可得：BC50mm，AB32mm，AH 28mm，故答案为：50，32，28；（2）AB2AH2+BH2，1024784+BH2，BH 4；（3），AD a，ABa，?ABEF 的周长 4AD+2AB4a+（1）a（3+）a24在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（2，0）四边形AOBC 的第四个顶点C 在第一象限，AC1，BC3（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；（2）求 OAC 的度数及四边形AOBC 的面积【分析】（1）利用数形结合的思想证明CAB 90，由此即可解决问题（2）证明 OAB 45，CAB 90即可求出OAC，利用 S四边形AOBCSAOB+SAOC计算面积即可解：（1）如图，四边形AOBC 即为所求（2）AC1，BC3，AB2，AC2+AB2 BC2，CAB 90，OAOB2，AOB 90，OAB 45，OAC 135，S四边形AOBCSAOB+SABC22+1 22+25在?ABCD 中，O 是对角线BD 的中点点E 在?ABCD 外，且 AED 90过点C作直线 ED 的垂线，垂足为F连接 OE，OF（1）如图 1，当?ABCD 为矩形，且 DAE 45时，画出线段OE 与 OF，并直接写出这两条线段的数量关系；（2）在图 2 中，根据题意补全图形，写出线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（3）如图 3，当?ABCD 为正方形时，若AE1，OD，直接写出OF 的长【分析】（1）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质得出OEF OFD 45，则可得出结论；（2）连接 AC，延长 EO，FC，两条延长线交于点G，证明 OAE OCG（AAS），得出 OEOG，由直角三角形的性质得出结论；（3）证明 ADE DCF（AAS），得出AEDF 1，求出 DE，证明 EAO FDO（SAS），得出 OEOF，AOE DOF，证明 OEF 为等腰直角三角形，则可求出答案解：（1）如图 1，OEOF，连接 AC，DAE 45，AED 90，AE ED，矩形 ABCD 中，OAOD，OE 垂直平分AD，OED 45，同理 DFO 45，OEOF；（2）如图 2，OEOF，连接 AC，延长 EO，FC，两条延长线交于点G，?ABCD，O 是对角线BD 的中点，OAOC，CF EF，CFE 90，AED 90，CFE+AED 180，CF AE，AEO OGC，在 OAE 和 OCG 中，OAE OCG（AAS），OEOG，在 Rt EFG 中，EFG 90，OF 为斜边 EG 的中线，OF EG，OEOF（3）解：四边形ABCD 为正方形，AD DC，ADC90，AED 90，CF DF，ADE+CDF 90，CDF+DCF 90，ADE DCF，又 AED DFC，ADE DCF（AAS），AE DF 1，O 为对角线BD 的中点，AOD 90，OAOD，EAO+EDO 180，又 EDO+ODF 180，EAO ODF，EAO FDO（SAS），OEOF，AOE DOF，EOF AOD90，OEF 为等腰直角三角形，OD，AD OD2，DE，EF DE+DF+1，OF 一、操作题（本题6 分）26从下面正方形网格的格点AN 中，选择恰当的格点，分别画出以所选择格点为顶点的以下图形，并用字母表示 矩形；菱形；既不是矩形也不是菱形的平行四边形【分析】根据题意画出图形即可得到结论解：如图所示，矩形ABGE 即为所求；菱形 CDGF 即为所求；平行四边形DMNF 即为所求二、方案比较（本题6 分）27在边长为1 的正方形中放置5 个大小相同的小正方形，现在有如下两个放置方案（这两个方案中小正方形的边长分别为a1，a2）：图形边长满足的条件边长的值方案一（2+）a11a1方案二2a21 a2（1）补全表格；（2）比较 a1与 a2的大小关系并说明理由【分析】（1）根据勾股定理即可补全表格；（2）作差法即可比较a1与 a2的大小关系解：（1）补全表格为：图形边长满足的条件边长的值方案一（2+）a11a1方案二 2a21 a2（2）a1a2，理由如下：a1a20，a1a2故答案为：2a21，三、解答题（本题8 分）28 对于平面内三点M，N，P，我们规定：若将点 M 绕点 P顺时针旋转（0 360）后能与点N 重合，就将其简记为：R（P，）：MN在平面直角坐标系xOy 中，P（1，0），S（1，0）解决下面的问题：（1）如图 1，若 R（P，90）：S T，画出点T 并直接写出点T 的坐标；（2）如图 2，A（0，），B（0，），直线l：x+1 与 x 轴的交点为C 若 R（P，）：SQ，且点 Q 落在直线l 上，求 的值；若点 E 在四边形ASBP 的边上运动，在直线l 上存在相应的点F，使得 R（P，）：E F，请直接写出点E 的横坐标xE的取值范围【分析】（1）将线段 SP绕点 P 顺时针旋转90得到线段PT，画出图形即可解决问题（2）解直角三角形求出QPC 即可解决问题当点Q 在 z 轴下方时同法可得 210 如图 3 中，过点 P 作 PH BS 于 H，当点 E 在 AP 上时，PEPC时，过点 E 作EJOP 于 J求出 PH 的长，点E 的坐标即可判断解：（1）如图 1 中，P（1，0），S（1，0），OS OP1，SP2，由题意 PTSP，PTSP 2，T（1，2）（2）如图 2 中，P（1，0），C（+1，0），OP 1，OC+1，PC OCOP，PQ PS2，cos QPC，QPC 30，SPQ180 30 150，150当点 Q 在 z 轴下方时同法可得 210 如图 3 中，过点 P 作 PH BS 于 H，当点 E 在 AP 上时，PEPC时，过点 E 作EJOP 于 JA（0，），B（0，），OAOB，tan ASOtan BAO，ASO BSO60，ASAPBSBPSP2，ASP，SPB 是等边三角形，四边形ASBP 是菱形，PH SB，PH SP?sin60，观察图象可知，当E 在 AS，BS 上运动时，满足条件，在 Rt EJP 中，PE，EPJ60，PEJ30，PJPE，EJPJ，E（1，），观察图象可知，满足条件的点E 的横坐标为：1xE1