18.2特殊的平行四边形能力培优.pdf

1 第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形专题一开放类题目1.在四边形 ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形 ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个矩形这个条件是.2.如图，两个完全相同的三角尺ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动 要使四边形 CBFE为菱形，还需添加的一个条件是（写出一个即可）3.如图，在 ABC 中，D 为 BC 边的中点，过 D 点分别作 DEAB 交 AC 于点E，DFAC 交 AB 于点 F（1）证明：BDFDCE；（2）如果给 ABC 添加一个条件，使四边形AFDE 成为菱形，则该条是；如果给 ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为矩形，则该条件是（均不再增添辅助线）请选择一个结论进行证明专题二规律探索题4.如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1 幅图中有 1 个正方形；第2幅图中有 5 个正方形；按这样的规律下去，第6 幅图中有个正方形2 5.如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB=60 连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形ACEF，使 FAC=60 连接 AE，再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使HAE=60，按此规律所作的第n 个菱形的边长是6.如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，A=60.顺次连接菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形 A2B2C2D2各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此 规 律 继 续 下 去 ，则 四 边 形A2B2C2D2的 周 长 是；四 边形A2013B2013C2013D2013的周长是.专题三综合应用题7.如图，M 为正方形 ABCD 边 AB 的中点，E 是 AB 延长线上的一点，MNDM，且交CBE 的平分线于 N（1）求证：MD=MN；（2）若将上述条件中的“M 为 AB 边的中点”改为“M 为 AB 边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由3 8.在ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连接 EG、GF、FH、HE（1）如图，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图，当 EFGH 时，四边形 EGFH 的形状是；（3）如图，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是；（4）如图，在（3）的条件下，若 ACBD，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由4 参考答案1.ACBD【分析】由三角形中位线性质易得四边形EFGH 是平行四边形，当添加 ACBD 时，可得到四边形 EFGH 为矩形.2.答案不唯一，如 CB=BF，BECF；EBF=60，BD=BF 等【分析】两个三角尺 ABC 和 DEF 完全相同，CBEF，CB=EF，四边形 CBFE是平行四边形.可以添加 CB=BF，BECF，EBF=60，BD=BF 等，都能说明四边形 ABFE 是菱形.3.证明：（1）DEAB，EDC=FBDDFAC，FDB=ECD又BD=DC，BDFDCE（2）AB=AC A=90，证明：DEAB，DFAC，四边形 AFDE 为平行四边形，B=EDC又AB=AC，B=C，EDC=C，ED=EC由BDFDCE 可得 FD=ECED=FD，四边形 AFDE 为菱形证明：同理可证四边形AFDE 为平行四边形A=90，四边形 AFDE 为矩形4.91 【分析】第幅图中含有1 个正方形，第幅图中含有5 个正方形；第幅图中含有14 个正方形，所以第幅图中正方形的个数可以表示为211，第幅图中正方形的个数可以表示为22512，第幅图中正方形的个数可以表示为22214123，则第幅图中正方形的个数可以表示为5 22222212345691个正方形.5.n)3(【分析】如图，在菱形ABCD 中，取 AC 的中点 M，连接 BM，由菱形的性质可得 BMAC，且BAC=30 在 RtABM 中，AB1，AM23，AC3；同理，在菱形ACEF 中，可得到 AN323，AE3；可猜想得其一般规律为第二个菱形边长是第一个菱形边长的3倍，第三个菱形边长是第二个菱形边长的3倍，因此第 n 个菱形的边长是n)3(6.20 100455 32【分析】连接AC、BD，根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得矩形 A1B1C1D1的周长为 2（55 3），菱形 A2B2C2D2的周长为 20，矩形 A3B3C3D3的周长为55 3，菱形 A4B4C4D4的周长为 10，矩形 A5B5C5D5的周长为55 32，菱形 A4B4C4D4的周长为 5，四边形 A2013B2013C2013D2013的周长即为第 1006 个矩形的周长，100455 327.解：（1）证明：取 AD 的中点 F，连接 FMFDM+DMA=BMN+DMA=90，FDM=BMN.BN 平分 CBE，DFM=MBN=135 又AF=AD=AB=AM=MB=DF，DFMMBNDM=MN6（2）结论“DM=MN”仍成立证明如下：在 AD 上截取 AF=AM，连接 FMDF=AD-AF，MB=AB-AM，AD=AB，AF=AM，DF=MBFDM+DMA=BMN+DMA=90，FDM=BMN又DFM=MBN=135，DFMMBNDM=MN8.解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形；证明：ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EO=FO，GO=HO，四边形 EGFH 是平行四边形，（2）菱形（3）菱形（4）四边形 EGFH 是正方形.证明：AC=BD，ABCD 是矩形.又ACBD，ABCD 是菱形.ABCD 是正方形，BOC=90，GBO=FCO=45，OB=OC.EFGH，GOF=90，BOG=COF.BOGCOF，OG=OF，GH=EF.7 由（1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又 EFGH，EF=GH,四边形 EGFH 是正方形