2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全(立体几何).pdf
第 1页（共 39页）2014 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何）一、选择题：1.(2014 安徽文)一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.233B.476C.6D.71A解析 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积 V821312 111233.考点：1.多面体的三视图与体积.2.（2014 安徽理）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.18解析：有题意知所得几何体是有棱长为2 的长方体截掉两个角得到的。故2132261 1 62221324S表（）考点：多面体的三视图与表面积.第 2页（共 39页）3.（2014 安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对【答案】C【解析】试题分析：在正方体ABCDA B C D中，与上平面A B C D中一条对角线A C成60的直线有考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.4.(2014 北京理)在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)ABCD.若123,S S S分别是三棱锥DABC在,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123SSSB21SS且23SSC31SS且32SSD32SS且31SS【答案】D【解析】设顶点D在三个坐标面xoy、yoz、zox的正投影分为1D、2D、3D，则211BDAD，2AB，2222211S，2222122OCDSS，2222133OADSS.5.(2014福建文)以边长为1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面 积等于（）.2.2.1ABCD6.(2014 福建理)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱.B圆锥.C四面体.D三棱柱第 3页（共 39页）8(2014 湖北文、理)在如图 1-1 所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图 1-1A和B和C和D和8D解析 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是.故选 D.9(2014 湖北文、理)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积V 的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式V275L2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.3551139B解析 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则 L 2r.由题意得136L2h13Sh，代入 S r2化简得 3.类比推理，若V275L2h 时，258.故选 B.10(2014 湖南文、理)一块石材表示的几何体的三视图如图2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4 来源:Zxxk.Com【答案】B【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则2286862rrr,故选 B.11.(2014江西理)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B第 4页（共 39页）12.(2014 广东文、理)若空间中四条两两不同的直线1l、2l、3l、4l，满足12ll，23/ll，34ll，则下列结论一定正确的是（）A.14llB.14/llC.1l、4l既不平行也不垂直D.1l、4l的位置关系不确定13.(2014江西理)如右图，在长方体1111ABCDA B C D中，AB=11，AD=7，1AA=12，一质点从顶点 A 射向点4 312E，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i次到第i次反射点之间的线段记为2,3,4iLi，1LAE，将线段1234,LLLL竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),1E(8,6,0),2E(328,7,4),3E(11,425,9),131234222AE，534221EE,313413422221EE,2122232126554535EEEE14.(2014 辽宁文、理)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若/,/,mn则/mnB若m，n，则mnC若m，mn，则/nD若/m，mn，则n【答案】B【解析】.,.,.,BDCBA选不用再看对平面上的直线直线垂直平面，则垂直对错，不一定平行平行同一平面的两直线对解析：若m，n，由直线和平面垂直的定义知，mn，选 B.15.(2014 辽宁文、理)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 5页（共 39页）A82B8C82D84【答案】B【解析】.-82)21*-2*2(2BshV选几何体为直棱柱，体积=16.(2014 全国大纲文、理)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A814B16C9D27417.(2014 全国大纲理)已知二面角l为60，AB，ABl，A 为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A14B24C34D12【答案】B.【解析】如图作BE于E，连结AE，过A作AGCD，第 6页（共 39页）作EGAG于G，连结BG，则.BGAG18.(2014 全国大纲文)已知正四面体ABCD 中，E 是 AB的中点，则异面直线CE与 BD所成角的余弦值为（）A16B36C13D3320.(2014 全国新课标文)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】：B【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱.选 B21.(2014 全国新课标理)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6 2B.4 2C.6D.4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥DABC，其中4,4 2,2 5ABBCACDBDC第 7页（共 39页），24 246DA，故最长的棱的长度为6DA，选 C22.(2014 全国新课标文、理)如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示 1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6cm的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.13【答案解析】C.解析：毛胚的体积23654V制成品的体积221322434V切削掉的体积与毛胚体积之比为：13454101127VV，故选 C.考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.23.(2014 全国新课标文)正三棱柱111ABCA B C的底面边长为2，侧棱长为3，D 为 BC中点，则三棱锥11AB DC的体积为()A3B32C 1D32【答案解析】C.解析：正三棱柱的底面边长为2，D为BC中点22213AD1112,3B CCC111111123322B DCBCSCC11111133133AB CB DCVSAD.故选 C.考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.24.(2014 全国新课标理)直三棱柱111ABCA B C中，BCA=90，M，N分别是11A B，11AC的中点，1BCCACC，则BM与AN的夹角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22【答案解析】C.解析：设AC=2，12BCCACC(2,0,0),(1,0,2),(0,2,0),(1,1,2)ANBM(1,1,2),(1,2,0)BMAN330cos,|3065013AN BMAN BMANBM故选 C.考点：考查空间夹角问题.中等题.第 8页（共 39页）25.(2014陕西文)将边长为1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（）A.4B.8C.2D.【答案】C【解析】CrSr选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2*22112=26.(2014 陕西理)已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A.4B.2C4.3D【答案】D【解析】Drrrr选解得设球的半径为.3434V,1,4)2(11)2(,32222=+=27、(2014 四川文)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13VSh，其中S为底面面积，h为高）A、3B、2C、3D、127、解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，底面为等边三角形，边长为2，三棱锥的体积V=2=1故选：D28(2014 四川理)如图，在正方体1111ABCDA B C D中，点O为线段BD的中点。设点P在线段1CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为，则sin的取值范围是A3,13B6,13C62 2,33D2 2,13【答案】B【解析】直线OP与平面1A BD所成的角为的取值范围是111,22AOAC OA，由于16sin3AOA，11632 26sin23333C OA，sin12所以sin的取值范围是6,13第 9页（共 39页）29.(2014 浙江文)某几何体的三视图（单位：cm）若图所示，则该几何体的体积是（）A.372cmB.390cmC.3108cmD.3138cm30.(2014 浙江理)某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A.902cmB.1292cmC.1322cmD.1382cm【答案】D【解析】.138.93*3.186*3.363*4*3.935*34*6363*4*3DSSSSSSSSSSS。选几何体表面面积左面面积右面面积前后面面积，上底面面积几何体下底面面积右右前后上下左右前后上下=+=+=31.(2014 重庆文、理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为第 10页（共 39页）（A）54（B）60（C）66（D）72【答案】：B【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为3,4,5的直角三角形，高为2，上方的四棱锥是底面边长是3 的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合。此图形共有5 个面，底面113462S,竖直的三个面面积分别为234(25)535(25)43515,14222SSS，剩下的一个面是一个直角边长为 3,5 的直角三角形，51153 522S。所以表面积为5160iiSS32.(2014 浙江文)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A.若nm，/n，则mB.若/m，则mC.若m，n，n，则mD.若nm，n，则m【解析】二、填空题：33.(2014 北京文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.第 11页（共 39页）【答案】22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABCPB面，2PB，2,2BCACAB，222222PA，62222PC.34.(2014 江苏)设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S，体积为12,V V，若它们的侧面积相等且1294SS，则12VV的值是。35.(2014 山东文)一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。13.【答案】12【解析】设六棱锥的高为h，斜高为h，则由体积1122 sin 6062 332Vh得：1h，2232hh侧面积为126122h.36.(2014山东理)三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为1V，PABC的体积为2V，则12VV.13.【答案】41【解析】分别过CE,向平面 PAB 做高21,hh，由E为PC的中点得2121hh，由D为PB的中点得ABPABDSS21，所以41)31(:)31(:2121hShSVVABPABD37.(2014 陕西理)观察分析下表中的数据：第 12页（共 39页）多面体面数（F）顶点数（V)棱数（E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，EVF，所满足的等式是 _.【答案】2+=+EVF【解析】.2+=+EVF经观察规律，可得38.(2014上海理)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。【答案】22arctan【解析】22arctan22arctan,22tan833,221,2222222222所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=+=+?=+?=rhhrrhrrhrrSSrShrrSrh39.(2014 上海文)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。【答案】31arcsin【解析】31arcsin31arcsin,31sin,22cot833,221,2222222222所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=+=+?=+?=rhhrrhrrhrrSSrShrrSrh40.(2014 上海文)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于_.8【答案】24【解析】242423)1-5(所以，是高宽总长两个长方体的体积和=?=?=V41.(2014 天津文、理)一个几何体的三视图如图所示（单位：m），一个几何体的三视图如图所示（单第 13页（共 39页）位：m），则该几何体的体积为3m.【答案】320【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积32022314122V.考点：1立体几何三视图；2几何体体积的计算三、解答题：42.(2014 安徽文)如图，四棱锥ABCDP的底面边长为8 的正方形，四条侧棱长均为172.点HFEG,分别是棱PCCDABPB,上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，/BC平面GEFH.(1)证明：;/EFGH(2)若2EB，求四边形GEFH的面积.（）证：因为BC平面 GEFH，BCPBC平面，且PBCGEFHGH平面平面，所以 GHBC。同理可证EFBC，因此 GHEF。（）解：连接AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK因为 PA=PC，O 是 AC 的中点，所以POAC，同理可得BDPO又BDAC=O，且 AC、BD 都在底面内，所以POABCD平面又因为GEFHABCD平面平面且POGEFH平面，所以/POGEFH平面，因为PBDGEFHGK平面平面所以 PO GK，且GKABCD平面，从而GKEF。所以 GK 是梯形 GEFH 的高由8,2ABEB得:1:4EB ABKB DB从而1142KBDBOB，即 K 为 OB 的中点。再由 POGK 得，12GKPO，即 G 为 PB 的中点，且142GHBC由已知可得224 2,68326OBPOPBOB所以3GK故四边形GEFH 的面积4831822GHEFSGK。43.（2014 安徽理）如图，四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD.四边形ABCD为梯形，BCAD/,且BCAD2.过DCA,1三点的平面记为，1BB与的交点为Q.（1）证明：Q为1BB的中点；第 14页（共 39页）（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若AA14，2CD，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角大小.44.(2014 北京文)如图，在三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，1BC，E、F分别为11AC、BC的中点.（1）求证：平面ABE平面11B BCC；（2）求证：1/C F平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积.解：（）在三棱柱111ABCA B C 中，1BB底面 ABC 所以1BBAB又因为 ABBC 所以 AB平面11B BCC 所以平面ABE平面11B BCC（）取 AB 中点 G，连结 EG，FG 因为 E，F 分别是11AC，BC 的中点，所以 FGAC，且12FGAC 因为11ACAC，且11ACAC，所以1FGEC，且1FGEC 所以四边形1FGEC 为平行四边形所以1C FEG又因为 EG平面 ABE，1C F平面 ABE，所以1C F 平面 ABE（）因为12AAAC，1BC，ABBC，所以223ABACBC所以三棱锥EABC 的体积111133123323ABCVSAA45.(2014 北京理)如图，正方形AMDE的边长为2，CB,分别为MDAM,的中点，在五棱锥ABCDEP中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PCPD,分别交于点HG,.第 15页（共 39页）（1）求证：FGAB/；（2）若PA底面ABCDE，且PEAF，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.解：（I）在正方形中，因为B 是 AM 的中点，所以ABDE。又因为AB平面 PDE，所以AB平面 PDE，因为AB平面 ABF，且平面ABF平面PDFFG，所以ABFG.（）因为PA底面 ABCDE,所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B,(2,1,0)C,(0,0,2)P,(0,1,1)F,BC(1,1,0).设平面 ABF 的法向量为(,)nx y z，则0,0,n ABn AF即0,0.xyz令1,z，则1y。所以(0,1,1)n，设直线BC 与平面 ABF 所成角为 a,则1sincos,2n BCan BCn BC.因此直线BC 与平面 ABF 所成角的大小为6.设点 H 的坐标为(,).u v w因为点 H 在棱 PC 上，所以可设(01),PHPC即(,2)(2,1,2).u v w。所以2,22uvw.因为n是平面 ABF 的法向量，所以0n AB，即(0,1,1)(2,22)0。解得23，所以点 H 的坐标为4 2 2(,).3 3 3所以222424()()()2333PH.第 16页（共 39页）46.(2014 福建文)如图，三棱锥ABCD中，,ABBCD CDBD平面.（）求证：CD平面ABD；（）若1ABBDCD，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积.19.（1）AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面 ABD，BD平面 ABD，CD平面ABD.（2）由AB平面 BCD，得ABBD.1ABBD，12ABDS.M 是 AD 的中点，1124ABMABDSS.由（1）知，CD平面 ABD，三棱锥C-ABM 的高1hCD，因此三棱锥AMBC的体积11312A MBCCABMABMVVSh.解法二：（1）同解法一.（2）由AB平面 BCD 知，平面ABD平面 BCD，又平面 ABD平面 BCD=BD，如图，过点M 作MNBD交 BD 于点 N.则MN平面 BCD，且1122MNAB，又,1CDBD BDCD，12BCDS.三棱锥AMBC的体积1113312A MBCABCDMBCDBCDBCDVVVABSMNS.第 17页（共 39页）47.(2014 福建理)在平行四边形ABCD中，1ABBDCD，,ABBCD CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图.（1）求证：CDCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.48.(2014 广东文)如图 2，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，1,2ABBCPC,作如图 3折叠，折痕EFDC，其中点,E F分别在线段,PD PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.（1）证明：CF平面MDF;（2）求三棱锥MCDE的体积00:(1):,.11(2),60,30,=,22,PDABCD PDPCDPCDABCDPCDABCDCD MDABCD MDCDMDPCDCFPCDCFMDCFMF MD MFMDF MDMFMCFMDFCFMDFCFDFPCDCDFCFCDDEEFDCD解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而222222133 3132,=,2442833 336()(),44211362.338216CDEMCDECDECFDEDEPESCD DEPCPMDMEDEPEDEVSMD即第 18页（共 39页）49.(2014 广东理)如图 4，四边形ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，DPC030，AF PC于点 F，FE CD，交 PD于点 E.（1）证明：CF 平面ADF；（2）求二面角DAF E 的余弦值.:(1):,A,.(2):EEG/CFDFG,EH,PDABCD PDPCDPCDABCDPCDABCDCDDABCD ADCDADPCDCFPCDCFADAFPCCFAFAD AFADF ADAFACFADFCFDFEGDF解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A连则0022,CD2,30,130,=1,213324,=,3,2222 333319322EG.,7,42231933 193 193622,()()474747EHGDAFEDPCCDFCFCDDECFDECPEFDCDEDFDPCPDEEFAEAFEFDFAE EFEHHGAF为二面角的平面角设从而即还易求得 EF=从而易得故3,47634 7257cos.19473 19GHEHGEH12:,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(2 3,0,0),(2 3,22,0),43 331(,0),(,0,0),ADFCP(3,1,0),2222AEF(xDP DC DAx y zDCACFCPFDFCFFEnn解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,4 32 57(4,0,3),.19|219nAEnAFnnnnn利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为50(2014 湖北文)如图 1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线 BC1平面 EFPQ；(2)直线 AC1平面 PQMN.图 1-520 证明：(1)连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1是正方体，知 AD1BC1.因为 F，P 分别是 AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而 BC1FP.第 19页（共 39页）而 FP?平面 EFPQ，且 BC1?平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则 ACBD.由 CC1平面 ABCD，BD?平面 ABCD，可得 CC1BD.又 ACCC1C，所以 BD平面 ACC1A1.而 AC1?平面 ACC1A1，所以 BDAC1.因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而 MNAC1.同理可证PNAC1.又 PNMNN，所以直线AC1平面 PQMN.51(2014 湖北理)如图 1-4，在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且DPBQ(0=
