2019-2020学年河南省洛阳市高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版).pdf

2019-2020 学年河南省洛阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知 a 是实数，是实数，则的值为（）ABC0D2已知命题p：?x R，x2x+10，下列 p 形式正确的是（）A p：?x0 R，使得 x02x0+10B p：?x0 R，使得 x02x0+10C p：?x R，x2x+10D p：?x R，x2x+103设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4已知向量，且若 x，y 满足不等式，则 z的取值范围为（）A0，2B2，3C2，3D0，35以双曲线的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）ABC2D36的展开式中常数项为（）A30B15C 15D307已知 a0，b0，ab8，则 log2a?log2b 的最大值为（）ABC4D88 设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布N（1，2），若P（1）0.2，则 函 数没有极值点的概率是（）A0.2B0.3C0.7D0.89若，则（）A 1BCD10回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238 等设 n位回文数的个数为an（n 为正整数），如11 是 2 位回文数，则（）Aa210Ba310Ca490Da59011已知函数f（x）满足 f（x）f（x），当 x0 时，若 af（21.3），b f（40.6），则 a，b，c 的大小关系是（）AcabBcbaCbcaDab c12已知点P 在抛物线C：y2mx（m0）上，过点P 作抛物线x2 2y 的切线 l1，l2，切点分别为M，N，若 G（1，1），且，则 C 的准线方程为（）ABCD二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13曲线 yxlnx 在点（1，0）处的切线方程为14我国古代数学名著九章算术记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为 a2+b2c2（a，b，c N*），把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5 组勾股数的第二个数是15在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：P（K2 k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”16已知函数，下面四个结论：函数 f（x）在其定义域上为增函数；对于任意的a0，都有f（a）1；f（x）有且仅有两个零点；若 yex在点处的切线也是ylnx 的切线，则x0必是 f（x）的零点，其中所有正确的结论序号是三、解答题：本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 已 知 ABC的 三 个 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，且（1）求角 C；（2）若 a4，ABC 的面积为，求 c18已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，若数列 Sn+1 是公比为2 的等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2），求数列 bn的前 n 项和 Tn19在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD 平面 SBC，SBSC，M 是BC 的中点，AB1，BC2（1）求证：AM SD；（2）若，求二面角BSAD 的余弦值20已知椭圆的离心率为，点 A（0，2）在椭圆上，斜率为k的直线 1过点 E（0，1）且与椭圆交于C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）设 k1，k2分别为直线AC，AD 的斜率，当k 变动时，k1k2是否为定值？说明理由21某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N（，2），并把质量指标值在（，+）内的产品称为优等品，质量指标值在（+，+2）内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000 件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为 的近似值，用样本标准差s 作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分布N（，2），则 P（+）0.6827，P（2 +2）0.9545，P（3 +3）0.9973（3）假如企业包装时要求把3 件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3 件产品进行检验，记取出3 件产品中优等品的件数为X，求 X 的分布列以及数学期望22函数 f（x）xexax+b 的图象在x 0 处的切线方程为：y x+1（1）求 a 和 b 的值；（2）若 f（x）满足：当x0 时，f（x）lnxx+m，求实数m 的取值范围参考答案一、选择题（共12 小题）.1已知 a 是实数，是实数，则的值为（）ABC0D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0 求得 a 值，代入得答案解：是实数，即 a 1 cos（）故选：A2已知命题p：?x R，x2x+10，下列 p 形式正确的是（）A p：?x0 R，使得 x02x0+10B p：?x0 R，使得 x02x0+10C p：?x R，x2x+10D p：?x R，x2x+10【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果，并判断真假即可解：全称命题的否定是特称命题，命题 p：?x R，x2x+10，则 P：?x0 R，使得 x02 x0+10，故选：B3设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为0.85x85.71，0.850，可知 A，B，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定解：对于A，0.850，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确；对于 B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于 C，回归方程为0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 0.85kg，故正确；对于 D，x170cm 时，0.8517085.7158.79，但这是预测值，不可断定其体重为 58.79kg，故不正确故选：D4已知向量，且若 x，y 满足不等式，则 z的取值范围为（）A0，2B2，3C2，3D0，3【分析】根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的（x+z，3），（2，yz），且，构造出一个关于x，y，z的方程，即关于z的目标函数，画了约束条件对应的平面区域，结合图象即可求解结论解：，且（x+z）2+3（yz）2x+3y z0，即 z2x+3y满足不等式的平面区域如下图所示：由图可知当x 0，y1 时，z 取最大值3，当 x0，y0 时，z取最小值0，故 z 的取值范围为0，3故选：D5以双曲线的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）ABC2D3【分析】由双曲线的方程可得右焦点F 的坐标，及渐近线的方程，再由以右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，可得圆心到渐近线的距离等于半径，可得 ab，再由 a，b，c 之间的关系求出双曲线离心率解：由双曲线的方程可得右焦点F（c，0），渐近线的方程为：0，即bx ay0，由以双曲线的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：ba，所以双曲线的离心率e，故选：A6的展开式中常数项为（）A30B15C 15D30【分析】写出通项，然后令x 的指数为0，即可求出常数项解：展开式的通项为：令 k4，可得常数项为故选：B7已知 a0，b0，ab8，则 log2a?log2b 的最大值为（）ABC4D8【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可解：a0，b0，ab8，则 log2a?log2b（log28log2b）?log2b（3log2b）?log2b3log2b（log2b）2（log2b）2当且仅当b22时，函数取得最大值故选：B8 设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布N（1，2），若P（1）0.2，则 函 数没有极值点的概率是（）A0.2B0.3C0.7D0.8【分析】函数没有极值点，则f（x）x2+2x+20 无解，可得 的取值范围，再根据随机变量服从正态分布N（1，2），可得曲线关于直线x1 对称，从而可得结论解：函数没有极值点，f（x）x2+2x+20 无解，4420，1 或 1，随机变量服从正态分布N（1，2），P（1）0.2，P（1 或 1）0.2+0.50.7，故选：C9若，则（）A 1BCD【分析】设t，则t，积分后解方程即可解：依题意，设t，则t，所以 t，解得 t，即，故选：D10回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238 等设 n位回文数的个数为an（n 为正整数），如11 是 2 位回文数，则（）Aa210Ba310Ca490Da590【分析】由回文数的特点，故归纳猜想2n+2 位回文数与2n+1 位回文数个数相等，均为9 10n个，逐一判断即可解：由题意，1 位回文数有9 个，2 位回文数有9 个，3 位回文数有90910 个，4 位回文数有1001，1111，1221，1991，2002，9999，共 90 个，故归纳猜想2n+2 位回文数与2n+1 位回文数个数相等，均为910n个，即 a2n+2 a2n+1910n个，所以 a2n9 10n1个，所以 a2n+110a2n（n N+）所以 a2na2n1（n N+），故选：C11已知函数f（x）满足 f（x）f（x），当 x0 时，若 af（21.3），b f（40.6），则 a，b，c 的大小关系是（）AcabBcbaCbcaDab c【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合导数即可得到结论解：x0 时，令 g（x）lnx1，x0，则 g（x）单调递减且g（1）0，故当 0 x1 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增，当x1 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减，因为 21.340.621.22，f（2log）f（log23），所以 f（21.3）f（21.2）f（log23），故 ab c故选：D12已知点P 在抛物线C：y2mx（m0）上，过点P 作抛物线x2 2y 的切线 l1，l2，切点分别为M，N，若 G（1，1），且，则 C 的准线方程为（）ABCD【分析】设M，N，P 的坐标，由G（1，1），且，可得 M，N 的横坐标之和与 P 的横坐标的关系，求导，可得在M，N 处的切线方程，两个切线联立求出交点P 的坐标，进而可得m 的值，再求抛物线C 的准线方程解：由题意设M（x1，），N（x2，），P（x0，y0），因为，所以可得x1+x2 3x0，+3y0，由抛物线x22y 的方程可得y，所以 yx，所以在 M 点处的切线方程为y x1（xx1），即 yx1x，同理可得在M 点处的切线方程为yx2x由+可得可得 2y（3x0）x，及 可得 x，即 x0，可得 x01，由题意可得2y0（3x0）x0（3y0），所以 2y0（31）13+y0，解得：y01，而 y02 mx0，所以（1）2m 1，解得 m1，所以抛物线C 的方程为y2x，可得抛物线的准线方程为：x，故选：A二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13曲线 yxlnx 在点（1，0）处的切线方程为xy10【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x1 时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案解：由 f（x）xlnx，得，f（1）ln 1+11，即曲线 f（x）xlnx 在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线 f（x）xlnx 在点（1，0）处的切线方程为y01（x 1），整理得：xy1 0故答案为：xy1 014我国古代数学名著九章算术记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为 a2+b2c2（a，b，c N*），把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5 组勾股数的第二个数是60【分析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为 x，x+1，所以（x+1）2112+x2，即 x 60，得解解：由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为 x，x+1，所以（x+1）2112+x2，即 x60，所以第 5组勾股数的三个数依次是11，60，61故答案为：6015在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：P（K2 k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过5%（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”【分析】根据题目所给的数据填写22 列联表算K2，对照题目中的表格，得出答案解：由题意可得：4.762 3.841由参照表可知对应P（K2k）0.05，故在犯错误的概率最多不超过5%前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”故答案为：5%，16已知函数，下面四个结论：函数 f（x）在其定义域上为增函数；对于任意的a0，都有f（a）1；f（x）有且仅有两个零点；若 yex在点处的切线也是ylnx 的切线，则x0必是 f（x）的零点，其中所有正确的结论序号是【分析】根据f（0）和 f（）的大小即可否定，根据 ex和的大小即可判断，根据 f（x）的单调性和零点的存在性定理判断，设公切线与y lnx 的切点的横坐标为x1，列方程组得出x1和 x0的关系，计算f（x0）即可判断 解：（1）f（x）ex1（x1），显然f（x）在（，1）和（1，+）上均为增函数，而 f（0）2，f（）e5，（e）2 e325，e5，故 f（）0，f（x）在定义域上不是增函数，故 错误；（2）当 x0 时，ex0，0，ex0，ex1 1，即 f（x）1 在（，0）上恒成立，故 正确；（3）由（1）可知 f（x）在（，1）和（1，+）上均为增函数，又 f（2）0，f（0）2，f（）0，f（2）e23 0，f（x）在（，1）和（1，+）上各有1 个零点，故 正确；（4）y ex在（x0，e）处的切线方程为ye（x x0）+e，设直线 ye（xx0）+e与 y lnx 的切点为（x1，lnx1），则，（x1x0+1）x0，x1，故，f（x0）e0，故 x0是 f（x）的零点，故 正确；故答案为：三、解答题：本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 已 知 ABC的 三 个 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，且（1）求角 C；（2）若 a4，ABC 的面积为，求 c【分析】（1）由已知利用正弦定理化简可得，由余弦定理可求cosC的值，结合范围0C，可求 C 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得0C ，（2）a 4，ABC 面积为，即，由余弦定理得，18已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，若数列 Sn+1 是公比为2 的等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2），求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）由数列 Sn+1是公比为2 的等比数列求得Sn，再由 anSnSn1（n2）求数列的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式与前n 项和代入，然后裂项相消求数列bn的前 n 项和 Tn解：（1）a11，S1+1a1+12数列 Sn+1是公比为2 的等比数列，当 n 2 时，显然 a1 1适合上式，；（2）由（1）知，则 Tnb1+b2+bn19在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD 平面 SBC，SBSC，M 是BC 的中点，AB1，BC2（1）求证：AM SD；（2）若，求二面角BSAD 的余弦值【分析】（1）由面面垂直和线面垂直的性质定理可推出SMAM，在矩形中通过简单计算可证AM MD，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；（2）过点 M 作 MN AB，交 AD 于 N，以 M 为坐标原点，以，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系Oxyz，根据法向量的性质分别求得平面ABS 的法向量和平面 ADS 的法向量，根据空间向量数量积的坐标运算可得cos，故而得解【解答】（1）证明：SBSC，M 是 BC 的中点，SMBC平面 ABCD 平面 SBC，平面 ABCD 平面 SBC BC，SM平面 ABCD AM?平面 ABCD，SMAM ABCD 是矩形，M 是 BC 的中点，AB1，BC2，AM MD，又 SM、MD?面 SMD，且 SMMD M，AM 平面 SMDSD?平面 SMD，AM SD（2）解：由（1）知 SM平面 ABCD 过点 M 作 MN AB，交 AD 于 N，则 MN，MC，MS 两两垂直以 M 为坐标原点，以，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系 Oxyz，则 M（0，0，0），B（0，1，0），D（1，1，0），A（1，1，0），设平面 ABS 的法向量为，则，令 z11，则，x10，设平面 ADS 的法向量为（x2，y2，z2），则，令 z21，则，y20，二面角B SAD 为钝二面角，故二面角BSA D 的余弦值为20已知椭圆的离心率为，点 A（0，2）在椭圆上，斜率为k的直线 1过点 E（0，1）且与椭圆交于C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）设 k1，k2分别为直线AC，AD 的斜率，当k 变动时，k1k2是否为定值？说明理由【分析】（1）由椭圆的离心率及过的点的坐标和a，b，c 之间的关系求出a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线AC，AD 的斜率之积的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值解：（1）设椭圆的半焦距为c椭圆的离心率为e，点 A（0，2）在椭圆上，解得，b2，椭圆的方程为；（2）当 k 变动时，k1k2为定值 2，证明如下：设直线l 的方程为ykx+1由得（3k2+2）x2+6kx90，设 C（x1，y1），D（x2，y2），则，因为 A（0，2），所以，所以k2+k2+k2k2 2 2所以当 k 变动时，k1k2为定值 221某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N（，2），并把质量指标值在（，+）内的产品称为优等品，质量指标值在（+，+2）内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000 件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为 的近似值，用样本标准差s 作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分布N（，2），则 P（+）0.6827，P（2 +2）0.9545，P（3 +3）0.9973（3）假如企业包装时要求把3 件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3 件产品进行检验，记取出3 件产品中优等品的件数为X，求 X 的分布列以及数学期望【分析】（1）根据平均数的运算公式，代入数值计算即可；（2）由已知可得，质量指标值Y N（70，102），该厂生产的产品为正品的概率PP（7010 Y70+10）+P（70+80Y70+20）P（60Y80）+P（80Y90）；（3）根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定X 取不同值时的概率，列表对应，列出 X 的分布列，根据数学期望公式，代入数值求解即可解：（1）由频率分布直方图可知，（2）由题意可知，样本方差s2100，故，所以质量指标值YN（70，102），该厂生产的产品为正品的概率PP（60Y90）P（60 Y80）+P（80 Y90）（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则，所以 X 的分布列为X0123P数学期望22函数 f（x）xexax+b 的图象在x 0 处的切线方程为：y x+1（1）求 a 和 b 的值；（2）若 f（x）满足：当x0 时，f（x）lnxx+m，求实数m 的取值范围【分析】（1）求出 f（x）（x+1）ex a，由，能求出a，b（2）推导出 mxexx lnx+1，令 g（x）xexxlnx+1，x 0，由 m xexxlnx+1恒成立?mg（x）min，利用导数性质能求出实数m 的取值范围解：（1）f（x）xexax+b，f（x）（x+1）exa，由函数 f（x）的图象在x0 处的切线方程为：y x+1，知：，解得 a2，b 1（2）f（x）满足：当x0 时，f（x）lnx x+m，mxex xlnx+1，令 g（x）xexxlnx+1，x0，则，设 g（x0）0，x00，则，从而 lnx0 x0，g（）3（）0，g（1）2（e1）0，由 g（）g（1）0，知：，当 x（0，x0）时，g（x）0；当 x（x0，+）时，g（x）0，函数 g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增g（x）min g（x0）x0 lnx0+1 x0lnx0+1x0?x0+x0+12mxexxlnx+1 恒成立?mg（x）min2实数 m 的取值范围是：（，2