2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 23 页2019-2020 学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1设集合2|log(2)Ax yx，2|320Bx xx，则AB（）A(,1B(,1)C(2,)D2,)【答案】A【解析】求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合,A B，再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，则20 x，解得2x；由2320 xx，解得1,2x；故AB(,1.故选：A.【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.2设nS为等差数列na的前n项和，若5940,126SS，则7SA66B68C77D84【答案】C【解析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将7S化简即可求解【详解】根据等差数列的求和公式5395540,9126SaSa化简得35814aa，根据等差数列通项公式得1128414adad解方程组得123ad74177(3)Saad第 2 页 共 23 页723 377所以选 C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题3已知13313711log,(),log245abc，则,a b c的大小关系为A abcBbacCcbaDcab【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：3337392logloglog，即12a，103111044，即01b，133317552logloglog，即ca，综上可得：cab.本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确4执行如图所示的程序框图，输出的结果为()第 3 页 共 23 页A201921B201922C202022D202021【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S的值，由于201923201920202 1222222212S故选：C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5函数2sin1xyxx的部分图像大致为（）第 4 页 共 23 页ABCD【答案】B【解析】结合函数的性质，特值及选项进行排除.【详解】当1x时，2sin12y，可以排除A,C 选项；由于2sin xyxx是奇函数，所以2sin1xyxx关于点(0,1)对称，所以B 对，D错.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.6将自然数按如下规律排数对：(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，则第60 个数对是（）A(6,4)B(5,5)C(4,6)D(3,7)【答案】B【解析】分析：先由所给数对总结规律，再确定第60 个数对.详解：通过观察可以发现：第 5 页 共 23 页两数和为1 的数对有 2 个，两数和为2 的数对有 3 个，两数和为3 的数对有 4 个，以此类推，两数和为n的数对有1n个，因为231054，则第 55 个到 65 个数对的两数之和为10，第 55 个到 60 个数对依次为：(0,10),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)，即第 60 个数对为(5,5).点睛：本题考查归纳推理、等差数列等知识，意在考查学生的数学归纳猜想能力和基本运算能力，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.7已知某8 个数据的平均数为5，方差为 3，现又加入一个新数据5，此时这9 个数的平均数为x，方差为2s，则（）A5x，23sB5x，23sC5x，23sD5x，23s【答案】B【解析】分析：利用平均数与方差的定义直接计算即可求解.详解：因为某8个数据的平均数为5，方差为3，现有加入一个现数据5，此时这 9 个数的平均数为x，方差为2s，则228558 3(55)85,3993xs，故选 B.点睛：本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中熟记数据的平均数与方差的计算公式和合理应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算求解能力.8 已知函数2sin0fxx在区间2,33上是增函数，其在区间0,上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（）A1 3,2 4B1 5,2 2C3 5,4 2D5,32第 6 页 共 23 页【答案】A【解析】结合三角函数单调性，最值与周期T 的关系，建立不等式进行求解即可.【详解】解：令22,22kxkkZ，得22,22kkxkZ，因为函数2sin0fxx在区间2,33上是增函数，所以23232，得304，又函数2sin0fxx在区间0,上恰好取得一次最大值2，则222，解得1522，综合的：1324.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键.9已知圆C的方程为22(1)(1)2xy，点P在直线3yx上，线段AB为圆C的直径，则PA PB的最小值为（）A2B52C3D72【答案】B【解析】将PA PB转化为2|2PC，利用圆心到直线的距离求得|PC的取值范围求得PA PB的最小值.【详解】()()()()PA PBPCCAPCCBPCCAPCCA22223|222PCCAPC52.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想第 7 页 共 23 页方法，属于中档题.10 在棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D中，E为线段1B C的中点，F是棱11C D上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PEPF的最小值为（）A5 26B122C62D3 22【答案】A【解析】连接1BC,得出点,P E F在平面11BC D中，问题转化为在平面内直线1BD上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线1BD到直线11C D的距离，从而可得结果.【详解】图 1 连接1BC,则11BCB CE，点,P E F在平面11BC D中，且111111,1,2BCC D C DBC，如图 1 所示，在11Rt BC D中，以11C D为x轴，1C B为y轴，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，第 8 页 共 23 页图 2 121,0,0,2,0,2DBE,设点E关于直线1BD的对称点为E，1BD的方程为12yx，1222EEk，直线EE的方程为2222yx，由组成方程组，解得132 23xy，直线EE与1BD的交点1 22,33M，对称点2 5 2,36E，PEPFPEPF，最小值为E到直线11C D的距离为5 26，故选 A.【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.第 9 页 共 23 页11小赵和小王约定在早上7:00 至 7:15 之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A13B49C59D23【答案】C【解析】设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，则 0 x15，0y15，两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形将 2 班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足 （x，y）|0505xy，或515515xy，即（x，y）必须落在图形中的2 个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5 5+10 10=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515=59，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键12如图，12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过2F的直线与双曲线C交于,A B两点若11:3:4:5ABBFAF，则双曲线的渐近线方程为（）第 10 页 共 23 页A23yxB2 2yxC3yxD2yx【答案】A【解析】设1123,4,5,ABBFAFAFx，利用双曲线的定义求出3x和a的值，再利用勾股定理求c，由byxa得到双曲线的渐近线方程.【详解】设1123,4,5,ABBFAFAFx，由双曲线的定义得：345xx，解得：3x，所以2212|464 13F F13c，因为2521axa，所以2 3b，所以双曲线的渐近线方程为2 3byxxa.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.二、填空题13已知向量a与b的夹角是3，1a，12b，则向量 2ab与a的夹角为_【答案】3【解析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.【详解】1,|1,|32a bab，2122cos12 132aa bbaa1122，222111(2)4cos4141413224ababa b，21ab，第 11 页 共 23 页(2)1cos2,22abaab aab a，向量2ab与a的夹角为3故答案为3【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.14设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaS S，则nS_【答案】1n【解析】原式为1111nnnnnnnaS SSSS S，整理为：1111nnSS，即1111nnSS，即数列1nS是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以1111nnnS，即1nSn.【点睛】这类型题使用的公式是11nnnSaSS12nn，一般条件是nnSfa，若是消nS，就需当2n时构造11nnSfa，两式相减1nnnSSa，再变形求解；若是消na，就需在原式将na变形为：1nnnaSS，再利用递推求解通项公式.15已知边长为2 3的菱形ABCD中，60BAD，BD中点为O，将其沿对角线BD 折叠使其变为120AOC的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为_【答案】28【解析】若设外接球的球心为E，则由球的对称性可知60EOC，再利用等边三角形的性质和勾股定理，即可求出球的半径，进而求出球的表面积【详解】解：如图，设外接球的球心为E，连接,AE OE CE,过E作EF平面BCD，垂足为F，因为四边形ABCD为菱形，60BAD，所以BCD为等边三角形，F为等边三角形BCD的中心，即F在OC上，第 12 页 共 23 页因为120AOC，,AECE OEOE AOCO,所以AOECOE，所以60COEAOE,因为2 3AB，所以3OC，则123=13233OFFC，所以3EF,所以球的半径347EC所以四面体的外接球的表面积为24728故答案为：28【点睛】此题考查了四面体外接球的表面积只的求法，考查推理能力，运算能力，空间想象能力，数形结合的思想，属于中档题.16已知函数3xx1fx=x2x+e-e，其中 e 是自然数对数的底数，若2f a-1+f2a0，则实数a 的取值范围是_【答案】1 1,2【解析】因为31()2e()exxfxxxf x，所以函数()f x是奇函数，因为22()32ee322 ee0 xxxxf xxx，所以数()f x在R上单调递增，又2(1)(2)0f afa，即2(2)(1)fafa，所以221aa，即2210aa，解得112a，故实数a的取值范围为1 1,2点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为()()f g xf h x的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x与()h x的取值应在函数()f x 的定义域内第 13 页 共 23 页三、解答题17 2022 年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10 人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5 名数学系的学生，其中3 名对冰球有兴趣，现在从这5 名学生中随机抽取3 人，求至少有2 人对冰球有兴趣的概率附表：20()P Kk0.1500.1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bcKab cd ac bd【答案】（1）有（2）710p【解析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K，与临界值表中的数据对照后可得结论。（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求。【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男45 10 55 第 14 页 共 23 页女30 15 45 合计75 25 100 由列联表中的数据可得因为，所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”(2)记 5人中对冰球有兴趣的3 人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的2 人为 m、n，则从这 5 人中随机抽取3 人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共 10 种情况，其中 3 人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共 1 种，2 人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6种，所以至少2 人对冰球有兴趣的情况有7 种，因此，所求概率为710P。【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题18如图，四边形AOCB中，0OA OC，2AC，1BC.（1）若2 33AB，求ABCS.（2）若5AB，求OB长度的取值范围.第 15 页 共 23 页【答案】（1）2312；（2）1,21.【解析】（1）利用余弦定理求出cosACB，进而求得sinACB，然后利用三角形的面积公式可求出ABCS的值；（2）设ACO，可知0,2，以及2cosOC，然后在OBC中利用余弦定理将2OB表示为的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简，利用正弦函数的基本性质可求出OB的取值范围.【详解】（1）在ABC中，2 33AB，2AC，1BC，由余弦定理得22211cos212ACBCABACBAC BC，223sin1cos12ACBACB，因此，112323sin2 1221212ABCSAC BCACB；（2）2AC，1BC，5AB，222ACBCAB，2ACB.设ACO，可知0,2，且cos2cosOCAC，在OBC中，22222cos4cos14cossin2OBOCBCOC BC2sin 22cos 232 2 sin234，0,2，52444，则2sin 2124，2132 2OB，则121OB.因此，OB的取值范围是1,21.【点睛】第 16 页 共 23 页本题考查三角形面积的计算，同时也考查了三边形边长取值范围的计算，解题的关键就是找出一个合适的角，将所求边长表示以此角为自变量的三角函数，转化为三角函数的值域问题来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19如图，四棱锥SABCD 中，SD底面ABCD，/ABCD，ADDC，1ABAD，2DC，2SD，E为棱SB的中点（1）求证：SC平面ADE；（2）求点B到平面 AEC 的距离，【答案】(1)见证明；(2)2211h【解析】（1）取BC的中点F，则/EFSC，通过勾股证得AEEF即得AESC结合ADSC即可得证.（2）先求AECS再求ABCS根据体积公式BAECEABCVV计算即可【详解】解：（1）取BC的中点F，连结EF，AF.如图：因为SD底面ABCD所以SDAD,又因为ADDC且SDDCD,所以AD平面SDC，得ADSC.又因为CD面ASD且/ABCD所以AB面ASD，在RtSAD 中2,1,3SDADSA,第 17 页 共 23 页在RtSAB中1,2ABSB,F为BC的中点，故112AESB，在tRSCD中2,2,6SDCDSC,所以1622EFSC，在ABD中，1,2ABADBD,故45ABD,在CBD中，2BDBC,故90DBC,在ABF中，21,1352ABBFABF,由余弦定理知102AF，在AEF中，1AE,62EF,102AF满足勾股定理所以AEEF，从而AESC.所以SC平面ADE.（2）连接 BD 并取中点 O,连接 EO，OC,过 O 作OMCD交 CD 于 M 点，过 O 作ONAD交 AD 于 N 点，如图：在tROMC中，1122OMNDAD,1122DMNOAB,13222MCCDDM22221310222OCOMMCSD底面ABCD且E为棱SB的中点EO底面ABCD即EOC为直角三角形即2222210322ECOEOC在AEC中1AE，5AC，3EC由余弦定理知1cos2 3E即11sin2 3E111111sin132242 3AECSAEECE.1121sin135=12=2222ABCSABBC，且BAECEABCVV，第 18 页 共 23 页11111234322h，解得2211h.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题20椭圆22:14xCy，,A B是椭圆C的左右顶点，点P 是椭圆上的任意一点.（1）证明：直线PA，与直线PB，斜率之积为定值.（2）设经过(1,0)D且斜率不为0 的直线l交椭圆于,M N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：OA OQ为定值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设点00(,)P xy，结合直线的斜率公式和椭圆的方程，代入求得直线PA与直线PB的斜率之积为定值.（2）设直线l的方程为:1lxky，联立方程组，得到12122223,44kyyy ykk，进而求得1212332yyky y，再联立直线,AM BN的方程组，求得点Q的横坐标，结合向量的数量积的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，设点00(,),(2,0),(2,0)P xyAB,则直线PA的斜率为002PAykx，直线PB的斜率为002PBykx，所以20002000224PAPByyykkxxx，又由点00(,)P xy在椭圆上，可得220014xy，即2220004144xxy，所以2020144PAPBykkx，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.（2）由直线l过点(1,0)D，所以直线l的方程为:1lxky，第 19 页 共 23 页联立方程组22114xkyxy，整理得22(4)230kyky，设1122(,),(,)M xyN xy，则12122223,44kyyy ykk，则121223yyky y，即1212332yyky y，又由直线11:(2)2yAMyxx，直线22:(2)2yBMyxx，联立方程组，可得1212(2)(2)22yyxxxx，整理得21211221212121211211212332323221yxykyky yyky yky yyxxxykyyky yyky yy，解得4x，即点0(4,)Qy又由向量0(2,0),(4,)OAOQy，所以02408yOA OQ（定值），即OA OQ为定值.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中直线方程与椭圆方程联立，合理利用根与系数的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.21已知函数ln1afxxxa aRx.（1）求函数fx的单调区间；（2）若存在1x，使1xfxxx成立，求整数a的最小值.【答案】（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110 044aaa、时三种情况的单调性(2)分离含参量ln211xxxax，构造新函数，ln211xxxg xx，求导算出零点的范围，从而求出结果第 20 页 共 23 页解析：（1）由题意可知，0 x，22211axxafxxxx，方程20 xxa对应的14a，当1 40a，即14a时，当0,x时，0fx，fx在0,上单调递减；当104a时，方程20 xxa的两根为1142a，且11402a1142a，此时，fx在1141+1422aa（，）上0fx，函数fx单调递增，在1141140,22aa（，），上0fx，函数fx单调递减；当0a时，11402a，11402a，此时当1140,02axfx，fx单调递增，当114,2ax时，0fx，fx单调递减；综上：当0a时，1140,2ax，fx单调递增，当114,2ax时，fx单调递减；当104a时，fx在1141+1422aa（，）上单调递增，在1141140,22aa（，），上单调递减；当14a时，fx在0,上单调递减；（2）原式等价于1ln21xax xx，即存在1x，使ln211xxxax成立第 21 页 共 23 页设ln211x xxg xx，1x，则2ln21xxgxx，设ln2h xxx，则1110 xhxxx，h x在1,上单调递增又33ln321ln3 0,44ln4222ln2 0hh，根据零点存在性定理，可知h x在1,上有唯一零点，设该零点为0 x，则03,4x，且000ln20h xxx，即002lnxx，0000min0ln2111xxxg xxx由题意可知01ax，又03,4x，aZ，a的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是222813(1)1kxkkyk（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()3 24（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围【答案】（1）C：2213169xyy，:6lxy；（2）2 11 2,22【解析】（1）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即2222tan1tansin2,cos 21tan1tana，结合22sin 2cos1，所以将参数方程化为222241131xkkykk，即可化为普通方程；第 22 页 共 23 页cos3 24展开，cosx，cosy代入，即可化为直角坐标方程；（2）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（1）222241:131xkkCykk，平方相加可得221169xy，又2633,31yk，C的普通方程为2213169xyy.cos3 24，即cossin6，将cosx，cosy代入即可得到:6lxy.（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos3sinxy（为参数），则5cos64cos3sin622d，其中3tan4所以211 222d.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23已知 a0，b0，c0，且 a+b+c=3.证明:（1）a2+b2+c23；（2）1113abc【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）等式两边平方，利用均值不等式计算得到证明.（2）变换11113abcabcabcabcabc，展开利用均值不等式得到证明.【详解】（1）3abc，则第 23 页 共 23 页2222222222229222abcabacbcabcabacbc，故2223abc，当1abc时等号成立.（2）11111333abcabcabcbacacbabcabcabacbc1222333a bc bacb ab cca，当1abc时等号成立.【点睛】本题考查了利用均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的综合应用.