2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12 小题）.1直线 ax+y+70 与 4x+ay 30 平行，则a 为（）A2B2 或 2C 2D-122 ABC 内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且?=?=?，则 ABC 是（）A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形3如果 A（1，3）关于直线l 的对称点为B（5，1），则直线l 的方程是（）Ax3y+80B3x+y+40Cx+3y40D3x y+804已知 xyz，且 x+y+z0，下列不等式中成立的是（）AxyyzBxzyzCxy xzDx|y|z|y|5若 x，y 满足约束条件?-?+?+?-?+?-?，则 z3xy 的最小值为（）A 2B1C 1D06 等比数列 an的前 n 项和为 Sn，a1a2+2a3，S2是 S1与 mS3的等比中项，则 m 的值为（）A1B97C67D127古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）A?3B2?3CD4?38已知数列 an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，则下列命题中正确的是（）A若 a5a3，则 a80B若 a5a3，则 S80C若 S5S3，则 S80D若 S5S3，则 a8 09在正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点 P 是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC 的三视图的面积之和最大值为（）A6B7C8D910 若不等式（a2）x2+2（a2）x40 对一切 x R 恒成立，则实数 a 取值的集合（）Aa|a2Ba|2a 2Ca|2a2Da|a 211已知 x0，y0，lg4x+lg2y lg8，则12?+1+4?的最小值是（）A3B94C4615D912如图为一个正方体ABCD A1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形 A1B1C1D1的中心重合将此组合体重新置于一个球O 中（球O 未画出），使该正方体的下底面ABCD 的顶点均落在球 O 的表面上，半球O1与球 O 内切，设切点为P，若正四棱锥PABCD 的表面积为?+?，则球 O 的表面积为（）A121?6B121?9C12D9二、填空题（本大题共4 小题，共20 分）13数列 an的通项公式为an3n228n，则使 an取最小值的n 值为14在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c若?=?，?=?，?=?时，则 ABC 的面积为15五一期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的高为?，母线长为3，如图所示，为了美观需要，在底面圆周上找一点M 拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸长度的最小值为16在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 a 2ccosBc，则角 C 的取值范围是三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17已知公差不为零的等差数列an中，a11，且 a1，a3，a9成等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn=?+n，求数列 bn的前 n 项和 Sn18已知 ABC 的顶点 C 在直线 3xy0 上，顶点 A、B 的坐标分别为（4，2），（0，5）（）求过点A 且在 x，y 轴上的截距相等的直线方程；（）若 ABC 的面积为10，求顶点C 的坐标19某单位决定投资3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价 40 元，两侧墙砌砖，每1m 长造价 45 元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶顶部每1m2造价 20 元，求仓库面积S 的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？20在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，CAD=?4，AC7，cosADB=210（1）求 sinC 的值；（2）若 BD 5，求 AB 的长21已知在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且?+?=2 3?3?（1）求 b 的值；（2）若 cosB+?sinB2，求 a+c 的取值范围22若数列 an是公差为2 的等差数列，数列bn满足 b1 1，b22，且 anbn+bnnbn+1（）求数列an、bn的通项公式；（）设数列 cn满足 cn=?+1?+1，数列 cn的前 n 项和为 Tn，若不等式（1）n Tn+?2?-1对一切 n N*，求实数的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12 小题，共 60 分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1直线 ax+y+70 与 4x+ay 30 平行，则a 为（）A2B2 或 2C 2D-12【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解解：直线ax+y+7 0与 4x+ay3 0 平行，?4=1?7-3，解得 a 2故选：B2 ABC 内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且?=?=?，则 ABC 是（）A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形【分析】由正弦定理结合条件可得sinBcosB，sinC cosC，故有BC45且A90，由此即可判断三角形的形状解：在 ABC 中，?=?=?，则由正弦定理可得sinBcosB，sinCcosC，BC45，A90，故 ABC 为等腰直角三角形，故选：C3如果 A（1，3）关于直线l 的对称点为B（5，1），则直线l 的方程是（）Ax3y+80B3x+y+40Cx+3y40D3x y+80【分析】由题意可得直线l 为线段 AB 的中垂线，求得AB 的中点为（2，2），求出AB 的斜率可得直线l 的斜率，由点斜式求得直线l 的方程，化简可得结果解：已知点A（1，3）关于直线l 的对称点为B（5，1），故直线l 为线段 AB 的中垂线求得 AB 的中点为（2，2），AB 的斜率为1-3-5-1=13，故直线l 的斜率为 3，故直线 l 的方程为y2 3（x+2），化简可得3x+y+40故选：B4已知 xyz，且 x+y+z0，下列不等式中成立的是（）AxyyzBxzyzCxy xzDx|y|z|y|【分析】根据xyz 和 x+y+z0，有 3xx+y+z0，3zx+y+z0，从而得到x 0，z0再不等式的基本性质，可得到结论解：xy z3xx+y+z0，3zx+y+z0，x0，z0由?得：xy xz故选：C5若 x，y 满足约束条件?-?+?+?-?+?-?，则 z3xy 的最小值为（）A 2B1C 1D0【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z3xy 可得 y3xz，则 z 表示直线3xy z0 在 y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求解：作出约束条件?-?+?+?-?+?-?，表示的平面区域，如图所示由 z3xy 可得 y3x z，则 z 表示直线3xyz0 在 y 轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z3x y 过点 C 时 z最小由?+?-?=?-?+?=?可得 C（0，1），此时 z 1故选：C6 等比数列 an的前 n 项和为 Sn，a1a2+2a3，S2是 S1与 mS3的等比中项，则 m 的值为（）A1B97C67D12【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可求解解：设数列 an的公比为q，则由 a1a2+2a3，得?=?+?，易知 a1 0，所以 2q2+q10，解得 q 1 或?=12，当 q 1 时，S20，这与 S2与 S1与 mS3的等比中项矛盾当?=12时，?=?，?=32?，?=74?，由 S2与 S1与 mS3的等比中项，得?=?，即94?=?74?，所以?=97，故选：B7古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）A?3B2?3CD4?3【分析】设球的半径为r，利用球的表面积，求出r 1，然后转化求解即可解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为?=23?，所以 r1，所以圆柱的底面半径为1，高为 2，所以最多可以注入的水的体积为?-43?=2?3故选：B8已知数列 an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，则下列命题中正确的是（）A若 a5a3，则 a80B若 a5a3，则 S80C若 S5S3，则 S80D若 S5S3，则 a8 0【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可分别检验，可判断解：由 a5 a3可得 d0，但是 a8 0，S80 无法判断，故A，B 错误；由 S5 S3可得，a4+a50，由等差数列的性质可知，S84（a1+a8）4（a4+a5）0，故 C 正确，D 错误故选：C9在正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点 P 是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC 的三视图的面积之和最大值为（）A6B7C8D9【分析】首先利用正方体的直观图求出三视图的面积的最大值的位置，进一步求出结果解：当点P 与 D1重合时，三棱锥体PABC 的三视图的面积最大则俯视图为正方形ABCD，正视图为D1DC，侧视图为C1BC，故三棱锥P ABC 的三视图的面积之和的最大值为?+12?+12?=?故选：C10 若不等式（a2）x2+2（a2）x40 对一切 x R 恒成立，则实数 a 取值的集合（）Aa|a2Ba|2a 2Ca|2a2Da|a 2【分析】先对二次项的系数a 2分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可解：a2 时，不等式化为40 对一切 x R 恒成立，因此a2 满足题意；a2 时，要使不等式（a 2）x2+2（a2）x40 对一切x R 恒成立，则必有?-?(?-?)?+?(?-?)?解得 2a 2综上 可知：实数a 取值的集合是a|2a 2故选：C11已知 x0，y0，lg4x+lg2y lg8，则12?+1+4?的最小值是（）A3B94C4615D9【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得，2x+y3，从而12?+1+4?=14（12?+1+4?）（2x+1+y）=14(?+?2?+1+4(2?+1)?)，展开后利用基本不等式可求解：x0，y0，lg4x+lg2y lg8，4x?2y8，即 2x+y3，则12?+1+4?=14（12?+1+4?）（2x+1+y）=14(?+?2?+1+4(2?+1)?)5+44=94，当且仅当?2?+1=4(2?+1)?且 2x+1+y4 即 x=16，y=83时取等号，则12?+1+4?的最小值是94故选：B12如图为一个正方体ABCD A1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形 A1B1C1D1的中心重合将此组合体重新置于一个球O 中（球O 未画出），使该正方体的下底面ABCD 的顶点均落在球 O 的表面上，半球O1与球 O 内切，设切点为P，若正四棱锥PABCD 的表面积为?+?，则球 O 的表面积为（）A121?6B121?9C12D9【分析】设球O，半球O1的半径分别为R，r，由题意知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2r，四棱锥 P ABCD 为正四棱锥 设该正方体的底面ABCD 的中心为G，连接 AC，PG，则四棱锥PABCD 的高 PG3r，其各侧面的高为(?)?+?=?求出 r1球 O 的球心在线段O1G 上，连接 OC，由勾股定理，得?=?，?=?-?，?=12?=12?=?，求出?=116，由此能求出球O 的表面积解：如图，设球O，半球 O1的半径分别为R，r，由题意知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2r，四棱锥PABCD 为正四棱锥设该正方体的底面ABCD 的中心为G，连接 AC，PG，则四棱锥P ABCD 的高 PG3r，其各侧面的高为(?)?+?=?由题意得(?)?+?12?=?+?，解得 r 1由题意知球O 的球心在线段O1G 上，连接OC，则在 Rt OGC 中，由勾股定理，得?=?，?=?-?，?=12?=12?=?，解得?=116，所以球 O 的表面积?=?=121?9，故选：B二、填空题（本大题共4 小题，共20 分）13数列 an的通项公式为an3n228n，则使 an取最小值的n 值为5【分析】直接根据二次函数的性质即可求解解：因为数列an的通项公式为an3n228n，对称轴为286=143，离其最近的正整数为：5；故使 an取最小值的n 值为 5；故答案为：514在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c若?=?，?=?，?=?时，则 ABC 的面积为3 72【分析】因为tan C=?0，所以C 为锐角，由同角三角函数的平方关系和商数关系，可解得?=144，?=24，由正弦定理知，?=?，结合 c2a，可得 sinA=148，?=528，所以 sinBsin（A+C）=378，再由正弦定理知，?=?，可求得a2，最后利用?=12?即可得解解：?=?=?，且 sin2C+cos2C1，C 为锐角，?=144，?=24，由正弦定理知，?=?，c 2a，A 也为锐角，?=12?=148，?=528，sinBsin （A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC=14824+528144=378，由正弦定理知，?=?，?148=3 23 78，解得 a2，?=12?=12?144=372故答案为：3 7215五一期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的高为?，母线长为3，如图所示，为了美观需要，在底面圆周上找一点M 拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸长度的最小值为?【分析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案【解答】答案：把圆锥沿过点M 的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示，这样把空间问题转化为平面问题，易知动点M 所经过的最短距离即为线段MM1的长度，由已知条件得底面圆半径?=?-(?)?=?，扇形圆心角?=2?3=2?3，所以?=?12=?，即彩绸最少要?故答案为：3?16在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 a 2ccosBc，则角 C 的取值范围是（?6，?4）【分 析】由 余 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得b2 c2+ac，根 据 余 弦 定 理 可 得(?+?)+?-?+?-(?+?)?(?+?)+?-?，解得?，由余弦定理得cosC=12?+?，可得 22?32，结合范围?2，即可求解C 的取值范围解：a2ccosBc，由余弦定理可化为?-?2+?2-?22?=?，即 b2c2+ac根据 ABC 是锐角三角形，得?，根据余弦定理，得?+?-?+?-?+?-?，即(?+?)+?-?+?-(?+?)?(?+?)+?-?，解得?，由 余 弦 定 理 得：?=?2+?2-?22?=?2+?2?=?+?2?=12(?+?)2?2=12(?+?)2?2+?=12?+?=12?+?，22?32，?2，?6?4，即角 C 的取值范围是（?6，?4）故答案为：（?6，?4）三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17已知公差不为零的等差数列an中，a11，且 a1，a3，a9成等比数列（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn=?+n，求数列 bn的前 n 项和 Sn【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出解：（1）设数列 an公差为 d，a1，a3，a9成等比数列，?=?，（1+2d）21（1+8d）d0（舍）或d 1，ann（2）令?=?+?=?+?；Snb1+b2+b3+bn（21+1）+（22+2）+（23+3）+（2n+n）（21+22+2n）+（1+2+3+n）=2(1-2?)1-2+?(?+1)2=?+?-?+?(?+1)2，?=?+?-?+?(?+1)218已知 ABC 的顶点 C 在直线 3xy0 上，顶点 A、B 的坐标分别为（4，2），（0，5）（）求过点A 且在 x，y 轴上的截距相等的直线方程；（）若 ABC 的面积为10，求顶点C 的坐标【分析】（）分点A 且在 x，y 轴上的截距等于零和不等于零两种情况，分别用点斜式求得所求直线的直线方程（）设C（x0，3x0），先求出AB 所在的直线方程，再顶点C 到直线 AB 的距离 d，由 SABC=12|AB|?d10，求得 x0的值，可得顶点C 的坐标解：（）当所求直线过原点时，k=12，y=12x，即 x2y0；当截距不为0 时，k 1，y2（x4），即 x+y60所求直线方程为x2y0 或 x+y60（）由顶点C 在直线 3xy0 上，可设 C（x0，3x0），可求直线AB 的方程为3x+4y200，则顶点 C到直线 AB 的距离 d=|3?0+4 3?0-20|32+42=|3x0 4|，且|AB|=?+(?-?)?=5，SABC=12|AB|?d10，即|3x04|4，x00 或 x0=83，故顶点 C 的坐标为（0，0）或（83，8）19某单位决定投资3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价 40 元，两侧墙砌砖，每1m 长造价 45 元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶顶部每1m2造价 20 元，求仓库面积S 的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据基本不等式求出xy 的范围，得出结论解：（1）设铁栅长为x（x0）米，一侧砖墙长为y（y0）米，则仓库面积Sxy，由题意可得：40 x+245y 3200，4x+9y320，4x+9y2?=12?，当且仅当4x9y 时取等号，32012?，xy64009，即仓库的面积S的最大值为64009（2）由题意得：40 x+2 45y+20 xy3200，由基本不等式得?+?=?+?=?+?，当且仅当40 x 90y时取等号，则?+?-?，解得：?，0S 100，所以 S的最大值是100此时 4x9y 且?=10，即 x15，即铁栅的长是15 米20在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，CAD=?4，AC7，cosADB=210（1）求 sinC 的值；（2）若 BD 5，求 AB 的长【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinADB的值，由于?=?-?4，利用两角差的正弦函数公式即可计算求解sinC 的值（2）在 ACD 中，由正弦定理可求AD 的值，进而利用余弦定理可求AB 的值解：（1）因为?=210，所以?=?-(-210)?=7210，因为?=?4，所以?=?-?4，所以?=?(?-?4)=?4-?4=721022-21022=35（2）在 ACD 中，由?=?，得：?=?=7357210=?，可得：?=?+?-?=?+?-?210=?，解得：?=?21已知在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且?+?=2 3?3?（1）求 b 的值；（2）若 cosB+?sinB2，求 a+c 的取值范围【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简?+?=2 3?3?，即可求出b的值；（2）根据 cosB+?sinB2 与平方关系sin2B+cos2B1，求得 sinB、cosB，从而求得B的值，再由正弦定理求得asinA，csinC；利用 A+B+C求得 C=2?3-A，且 0A2?3；再利用三角恒等变换求a+csinA+sinC 的取值范围解：（1）ABC 中，?+?=2 3?3?，?2+?2-?22?+?2+?2-?22?=2 3?3?，2?22?=2 3?3?，解得 b=32；（2）cosB+?sinB2，cosB2-?sinB，sin2B+cos2Bsin2B+(?-?)?=4sin2B4?sinB+41，4sin2B4?sinB+30，解得 sinB=32；从而求得cosB=12，B=?3；由正弦定理得?=?=?=32?3=1，asinA，c sinC；由 A+B+C得 A+C=2?3，C=2?3-A，且 0A2?3；a+csinA+sin CsinA+sin（2?3-A）sinA+sin2?3cosAcos2?3sinA=32sinA+32cosA=?sin（A+?6），0A2?3，?6A+?65?6，12sin（A+?6）1，32?sin（A+?6）?，a+c 的取值范围是（32，?22若数列 an是公差为2 的等差数列，数列bn满足 b1 1，b22，且 anbn+bnnbn+1（）求数列an、bn的通项公式；（）设数列 cn满足 cn=?+1?+1，数列 cn的前 n 项和为 Tn，若不等式（1）n Tn+?2?-1对一切 n 一、选择题*，求实数的取值范围【分析】（I）数列 bn满足 b1 1，b22，且 anbn+bnnbn+1可得 a1+12，解得 a1利用等差数列的通项公式可得an可得 2nbnnbn+1，化为 2bn bn+1，利用等比数列的通项公式可得bn（）设数列cn满足 cn=?+1?+1=2?2?=?2?-1，利用“错位相减法”可得数列cn的前 n项和为 Tn，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出解：（I）数列 bn满足 b11，b22，且 anbn+bnnbn+1a1+12，解得 a11又数列 an是公差为2 的等差数列，an1+2（n1）2n12nbnnbn+1，化为 2bnbn+1，数列 bn是等比数列，公比为2bn2n1（）设数列cn满足 cn=?+1?+1=2?2?=?2?-1，数列 cn的前 n 项和为 Tn1+22+322+?+?2?-1，12?=12+222+?+?-12?-1+?2?，12?=1+12+122+?+12?-1-?2?=1-12?1-12-?2?=2-?+22?，Tn4-?+22?-1不等式（1）n Tn+?2?-1，化为：（1）n 4-22?-1，n 2k（k N*）时，4-22?-1，3n 2k1（k N*）时，4-22?-1，2综上可得：实数的取值范围是（2，3）