2019-2020学年贵州省铜仁市思南中学高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版).pdf

2019-2020 学年贵州省铜仁市思南中学高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1设集合Ax|2x4，集合 Bx|ylg（x1），则 AB（）A1，2）B（1，2C2，+）D1，+）2已知 i 是虚数单位，且z，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在等差数列an中，若 a3+a11 18，公差 d2，那么 a5等于（）A4B5C9D184如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）AB2CD45设 l，m 是两条不同的直线，是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出lm的是（）Al，m，Bl，m ，Cl，m，Dl，m ，6已知（cos15，sin15），（cos75，sin75），则|（）A2BCD17函数 yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD8函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x）Acosx 的图象，只需将函数yf（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度9在区间 1，1上随机取一个数k，使直线与圆 x2+y21 相交的概率为（）ABCD10奇函数f（x）的定义域为R，若 f（x+2）为偶函数，且f（1）1，则 f（8）+f（9）（）A 2B 1C0D111设函数f（x）lnx+ax2x，若 x 1 是函数 f（x）的极大值点，则函数f（x）的极小值为（）Aln 22Bln 21Cln32Dln3112已知 F1、F2为双曲线C：1（a 0，b0）的左、右焦点，点P 为双曲线C右支上一点，|PF2|F1F2|，PF1F230，则双曲线C 的离心率为（）AB+1CD+1二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）13计算：cos215 sin21514多项式：（12x）5（2+x）含 x3项的系数是15若 x，y 满足约束条件，则 z x+2y 的最小值为16函数 f（x）ax2+（b 2a）x2b 为偶函数，且在（0，+）单调递增，则f（x）0的解集为三、解答题（共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn（n+2）an1（n N*）（1）求 a1的值，并用an1表示 an；（2）求数列 an的通项公式；（3）设 Tn+，求证：Tn18从某工厂的一个车间抽取某种产品50 件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如表：数据分组12.5，15.5）15.5，18.5）18.5，21.5）21.5，24.5）24.5，27.5）27.5，30.5）30.5，33.5）频数389121053（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在27.5，33.5）的概率；（2）求这50 件产品尺寸的样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z服从正态分布N（，2），其中 近似为样本平均值，2近似为样本方差s2，经过计算得s222.41，利用该正态分布，求P（z27.43）附：若随机变量z服从正态分布N（，2），则 P（z+）0.6826，P（2 z+2）0.9544；19已知 ABC 中，角A、B、C 的对边为a，b，c，向量，且（1）求角 C；（2）若，试求 sin（AB）的值20如图所示，在直三棱柱ABC A1B1B1中，BAC 90，ABACAA11，P 是 AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面 BDA1（1）求证：CDC1D（2）求二面角AA1D B 的平面角的余弦值21已知椭圆+1（ab0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|OF|，且 A0B 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线 y 2 上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点 M 的坐标，若不存在，说明理由22已知函数f（x）x3+x2+b，g（x）alnx（）若f（x）在 x，1）上的最大值为，求实数b 的值；（）若对任意x 1，e，都有 g（x）x2+（a+2）x 恒成立，求实数a 的取值范围参考答案一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合Ax|2x4，集合 Bx|ylg（x1），则 AB（）A1，2）B（1，2C2，+）D1，+）【分析】先分别求出集合A 和集合 B，由此利用交集定义能求出AB解：集合Ax|2x4x|x2，集合 Bx|ylg（x1）x 1，ABx|x22，+）故选：C2已知 i 是虚数单位，且z，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应的点的坐标得答案解：则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限故选：A3在等差数列an中，若 a3+a11 18，公差 d2，那么 a5等于（）A4B5C9D18【分析】等差数列an中，若 a3+a11 18，公差 d2，可得 2a1+12218，解得 a1即可得出解：等差数列an中，若 a3+a1118，公差 d2，2a1+12218，解得 a1 3那么 a5 3+4 25故选：B4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）AB2CD4【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，然后由三棱锥的体积公式求解即可解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，PABC这个几何体的体积是故选：A5设 l，m 是两条不同的直线，是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出lm的是（）Al，m，Bl，m ，Cl，m，Dl，m ，【分析】在A、C、D 中均可得到l 与 m 平行、相交或异面，在B 中，由线面垂直、面面平行的性质定理得lm解：由 l，m 是两条不同的直线，是两个不同平面，知：在 A 中，l，m，l 与 m 平行、相交或异面，故A 错误；在 B 中，l，m，由线面垂直、面面平行的性质定理得lm，故 B 正确；在 C 中，l，m，l 与 m 平行、相交或异面，故C 错误；在 D 中，l，m，l 与 m 平行、相交或异面，故D 错误故选：B6已知（cos15，sin15），（cos75，sin75），则|（）A2BCD1【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，代入向量模的计算公式求解解：（cos15，sin15），（cos75，sin75），（cos75 cos15，sin75 sin15），则故选：D7函数 yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断解：f（x）x2+ln|x|f（x），y f（x）为偶函数，y f（x）的图象关于y 轴对称，故排除B，C，当 x0 时，y，故排除D，或者根据，当x0 时，y x2+lnx 为增函数，故排除D，故选：A8函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x）Acosx 的图象，只需将函数yf（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由在函数图象上，结合 的范围求出 的值，可得函数的解析式再根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论解：A2，T，解得：2，可得：f（x）2sin（2x+），将代入得：，0，f（x）2sin（2x），f（x+）2sin2（x+）2sin（2x+）2cos2x，可将函数y f（x）的图象向左平移个单位长度得到g（x）的图象故选：B9在区间 1，1上随机取一个数k，使直线与圆 x2+y21 相交的概率为（）ABCD【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，求出满足条件的 k，根据几何概型的概率公式计算即可解：要使直线与圆 x2+y21 相交，应满足 1，解得k，所以在区间 1，1上随机取一个数k，使直线与圆 x2+y21 相交的概率为P故选：C10奇函数f（x）的定义域为R，若 f（x+2）为偶函数，且f（1）1，则 f（8）+f（9）（）A 2B 1C0D1【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）f（x），即可得到结论解：f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设 g（x）f（x+2），则 g（x）g（x），即 f（x+2）f（x+2），f（x）是奇函数，f（x+2）f（x+2）f（x2），即 f（x+4）f（x），f（x+8）f（x+4+4）f（x+4）f（x），则 f（8）f（0）0，f（9）f（1）1，f（8）+f（9）0+11，故选：D11设函数f（x）lnx+ax2x，若 x 1 是函数 f（x）的极大值点，则函数f（x）的极小值为（）Aln 22Bln 21Cln32Dln31【分析】先求导，再根据x1 是函数 f（x）的极大值点，求出a 的值，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出极小值解：f（x）lnx+ax2x，x0f（x）+2ax，x1是函数 f（x）的极大值点，f（1）1+2a0，解得 a，f（x）+x，再令 f（x）0，解得 x1 或 x2，当 f（x）0，解得 0 x 1，或 x2，函数 f（x）单调递增，当 f（x）0，解得 1x 2，函数 f（x）单调递减，当 x2 时，函数取的极小值，则极小值为f（2）ln2+42ln21，故选：B12已知 F1、F2为双曲线C：1（a 0，b0）的左、右焦点，点P 为双曲线C右支上一点，|PF2|F1F2|，PF1F230，则双曲线C 的离心率为（）AB+1CD+1【分析】根据双曲线的定义求出|PF1|2a+2c，结合余弦定理建立方程关系进行求解即可解：|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a+2c，由余弦定理得：（2c）2（2c）2+（2a+2c）22?2c?（2a+2c）cos30，即 4c24c2+（2a+2c）24c?（2a+2c），即 2a+2c2c，则（1）ca，则，即双曲线的离心率为，故选：C二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）13计算：cos215 sin215【分析】由二倍角的余弦公式可得cos215 sin215 cos30，从而得到结果解：由二倍角的余弦公式可得，cos215 sin215 cos30故答案为：14多项式：（12x）5（2+x）含 x3项的系数是120【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出含x3项的系数解：（12x）5（2+x）含 x3项为 2?（8x3）+?4x2?x 120 x3，故含 x3项的系数是120，故答案为：12015若 x，y 满足约束条件，则 z x+2y 的最小值为2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2故答案为：216函数 f（x）ax2+（b 2a）x2b 为偶函数，且在（0，+）单调递增，则f（x）0的解集为（，2）（2，+）【分析】由题可知，于是 f（x）a（x24），若 f（x）0，则 x24 0，解之即可解：由题可知，所以 f（x）ax2+（b2a）x2ba（x24），因为 f（x）0，所以 x240，解之 x2 或 x 2，所以不等式的解集为（，2）（2，+）故答案为：（，2）（2，+）三、解答题（共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn（n+2）an1（n N*）（1）求 a1的值，并用an1表示 an；（2）求数列 an的通项公式；（3）设 Tn+，求证：Tn【分析】（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列an1和 an间的联系；（2）利用叠乘法求出数列的通项公式（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果解：（1）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn（n+2）an1（n N*）令 n 1 时，2S13a11，解得：a11由于：2Sn（n+2）an1所以：2Sn+1（n+3）an+11 得：2an+1（n+3）an+1（n+2）an，整理得：，则：，即：（2）由于：，则：，利用叠乘法把上面的（n1）个式子相乘得：，即：当 n 1 时，a11 符合上式，所以数列的通项公式是：（3）证明：由于：，所以：，则：2（），所以：+）2（）18从某工厂的一个车间抽取某种产品50 件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如表：数据分组12.5，15.5）15.5，18.5）18.5，21.5）21.5，24.5）24.5，27.5）27.5，30.5）30.5，33.5）频数389121053（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在27.5，33.5）的概率；（2）求这50 件产品尺寸的样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z服从正态分布N（，2），其中 近似为样本平均值，2近似为样本方差s2，经过计算得s222.41，利用该正态分布，求P（z27.43）附：若随机变量z服从正态分布N（，2），则 P（z+）0.6826，P（2 z+2）0.9544；【分析】（1）直接根据频数分布表求尺寸落在27.5，33.5）内的概率；（2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数；（3）依题意 zN（，2），求得 与，再由正态分布曲线的对称性求P（z 27.43）0.1587解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在27.5，33.5）内的概率；（2）样本平均数22.7；（3）依题意 zN（，2），而，取 4.73，P（22.74.73z22.7+4.73）0.6826，P（z27.43）0.1587，即为所求19已知 ABC 中，角A、B、C 的对边为a，b，c，向量，且（1）求角 C；（2）若，试求 sin（AB）的值【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，求得cosC 的值，可得C 的值（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果解：（1）由题意知，0，即，1+cosC2（1 cos2C）0，2cos2C+cosC10，即 cosC 1，或，因为 0C，所以 C60（2）20如图所示，在直三棱柱ABC A1B1B1中，BAC 90，ABACAA11，P 是 AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面 BDA1（1）求证：CDC1D（2）求二面角AA1D B 的平面角的余弦值【分析】（I）连接 B1A 交 BA1于 O，由已知条件推导出ACD PC1D，由此能够证明 CDC1D；（II）以 A1为坐标原点，以A1B1，A1C1，A1A 所在直线建立空间直角坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小【解答】（）证明：连接B1A 交 BA1于 O，PB1平面 BDA1，B1P?面 AB1P，面 AB1P面 BA1DOD，B1POD，又 O 为 B1A 的中点，D 为 AP 中点，C1为 A1P 中点，ACD PC1D，CDC1D（）解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC，ABAC1，AB AC，以 A1为坐标原点，以A1B1，A1C1，A1A 所在直线建立空间直角坐标系如图所示由（）知C1为 A1P 中点，A1（0，0，0），B（1，0，1），D（0，1，），P（0，2，0），（1，0，1），（0，1，），设平面 BA1D 的一个法向量为（a，b，c），则，（1，1）又（1，0，0）为平面AA1D 的一个法向量，cos，故二面角A A1DB 的平面角的余弦值为21已知椭圆+1（ab0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|OF|，且 A0B 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线 y 2 上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点 M 的坐标，若不存在，说明理由【分析】（1）通过椭圆+1（ab0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|OF|，且 A0B 的面积为，建立关于a，b，c 的方程，解出a，b，即求出椭圆的标准方程（2）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y k（xm）+2，与椭圆联立，利用 0，得出关于斜率k 的方程，利用两根之积公式k1k2 1，求出 Q 点坐标解：（1）椭圆+1（ab0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|OF|，且 A0B 的面积为，c，a2，b，椭圆方程为1（2）假设直线y2 上存在点Q 满足题意，设 Q（m，2），当 m 2 时，从 Q 点所引的两条切线不垂直当 m 2 时，设过点Q 向椭圆所引的切线的斜率为k，则 l 的方程为y k（xm）+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x24k（mk 2）x+2（mk2）240，16k2（mk2）24（1+2k2）2（mk2）240，（m2 4）k24mk+20，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则 k1，k2是方程（m2 4）k24mk+20 的两个根，k1k2 1，解得 m，点 Q 坐标为（，2），或（，2）直线 y2 上两点（，2），（，2）满足题意22已知函数f（x）x3+x2+b，g（x）alnx（）若f（x）在 x，1）上的最大值为，求实数b 的值；（）若对任意x 1，e，都有 g（x）x2+（a+2）x 恒成立，求实数a 的取值范围【分析】（1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出b 的值（2）g（x）x2+（a+2）x 转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法解：（1）函数 f（x）x3+x2+b，函数 f（x）3x2+2x，f（x）0 得 x 0，x，f（x）0，0；f（x）0，x 0 或可知：f（x）在 x，1）有，0），（，1）是减区间，（0，）是增区间f（）+b，f（）+b，可以判断）+b，b0所以实数b 的值为 0（2）任意 x 1，e，都有 g（x）x2+（a+2）x，g（x）alnx a，设 T（x），x 1，eT（X），x 1，e，x 10，lnx 1，x+2 lnx0，从而 t（x）0，t（x）在 1，e上为增函数所以 t（x）mint（1）1，所以 a 1