2020届高三上学期期中联考山东卷数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 22 页2020 届高三上学期期中联考山东卷数学试题一、单选题1已知集01 2 3A，51 2 3 4B，则AB的值等于（）A0312，B01 2，C12 3，D0124 53，【答案】C【解析】利用交集的定义求集合A，B的公共部分即可.【详解】0,1,2,3A，1,2,3,4,5B，所以1,2,3AB故选：C【点睛】本题主要考查集合交集的运算，属于简单题.2已知复数6813izi，则z（）A3 B 5 C5D10【答案】B【解析】将z转化为6813ii，再分别计算其模长即可.【详解】2222686868105213131(3)iizii故选：B【点睛】本题主要考查复数模长的计算，属于简单题.3若倾斜角为的直线l与直线320 xy平行，则sin2（）A35B35C45D45【答案】A【解析】首先根据直线斜率tan3k，解得10cos10，3 10sin10，再代入正弦二倍角公式计算即可.第 2 页 共 22 页【详解】因为tan3k，所以为锐角，2110cos1tan10，3 10sin10，所以3sin22sin cos5故选：A【点睛】本题主要考查直线的斜率，同时考查了正弦二倍角公式，属于简单题.4设fx为定义在R上的奇函数，当0 x时，22log43fxxxa(a为常数)，则2f（）A-5 B-7 C5 D7【答案】B【解析】首先根据()f x 在R上的奇函数，得到2a，再由奇函数的性质(2)(2)ff计算即可.【详解】因为()f x 在R上的奇函数，所以2(0)log 40fa，即2a，则2(2)(2)(log 862)7ff.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质，熟练掌握奇函数的性质为解题的关键，属于简单题.5某护卫舰发现远处有一目标海盗船，已知它靠近目标200 米、100 米、50 米的概率分别为 0.6、0.4、0.2又护卫舰在200 米、100 米、50 米时击中目标的概率分别为0.6、0.7、0.8那么目标被击中的概率为（）A0.6 B 0.7 C0.9 D0.8【答案】D【解析】分别计算海盗船在200 米、100 米、50 米击中的概率，再相加即可.【详解】0.6 0.60.4 0.70.2 0.80.8P.故选：D【点睛】第 3 页 共 22 页本题主要考查概率的加法公式，属于简单题.6在ABC中，内角ABC，所对的边分别为abc，且tan()3 cos3 coscABaBbA，则cosC（）A12B12C32D32【答案】B【解析】首先根据正弦定理的边角互化得到sintan()3(sincossincos)CABABBA，利用两角和公式得到tan3C，23C，再求cosC即可.【详解】由tan()3 cos3 coscABaBbA可得：sintan()3(sincossincos)CABABBA，sintan3sin()CCAB，sintan3 sinCCC.因为0C，sin0C，所以tan3C.23C，1cos2C.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化，同时考查了两角和公式，属于简单题.7已知1()2ln0f xaxx ax在1)，上为单调递增函数，则a的取值范围为（）A0)，B(0)，C(1)，D1)，【答案】D【解析】首先求导，将题意转化为在1,)x，220axxa恒成立，即221xax在1,)上恒成立.再利用基本不等式求出221xx的最大值即可.【详解】222()axxafxx，(0)a第 4 页 共 22 页因为()f x 在1,)上为单调递增，等价于220axxa恒成立.即221xax在1,)上恒成立.因为222211112xxxxxx，当1x时，取“”，所以1a，即a的范围为1,).故选：D【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.8函数21sin212xxexfxex，xaa，0a，若fx的最大值为M，最小值为N，则MN的值为（）A0 B 2 C4 D8【答案】C【解析】首先构造21sin()()212xxexg xf xex，并判断()g x为奇函数，再根据奇函数的性质即可得到MN的值.【详解】令21sin()()212xxexg xf xex，222111sin()sin1sin()()11()22121xxxxxxexxexegxg xexxexe所以()g x为奇函数，所以()g x在,a a上的图像关于原点对称，故maxmin()()0g xg x，即maxmin()2()20f xfx，所以maxmin()()4f xfxMN.故选：C【点睛】本题主要考查奇函数的性质，构造函数为奇函数为解决本题的关键，属于中档题.9“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经第 5 页 共 22 页中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1 到 2019 这 2019个数中，能被 3 除余 2 且被 5 整除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列所有项中，中间项的值为（）A992 B 1022 C1007 D1037【答案】C【解析】首先将题目转化为2na即是 3 的倍数，也是5 的倍数，也即是15 的倍数.再写出na的通项公式，算其中间项即可.【详解】将题目转化为2na即是 3 的倍数，也是5 的倍数，也即是15 的倍数.即215(1)nan，1513nan当135n，13515 1351320122019a，当136n，13615 1361320272019a，故1,2,n，135数列共有135项因此数列中间项为第68项，681568131007a.故答案为：C【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.10已知点P在双曲线22221xyab(0a，0b)的右支上，1F，2F分别是双曲线的左右焦点，且满足120PF PF，且1PF是2PF与12F F的等差中项，则该双曲线离心率为（）A5 B 4 C3 D2【答案】A【解析】首先根据已知得到12PFPF，设1PFx，2PFy，122F Fc，根据等差中项的性质和勾股定理得到22xyc，2224xyc，即可解得85xc，第 6 页 共 22 页65yc，再根据双曲线的性质即可得到离心率的值.【详解】如图所示：由120PF PF，可知12PFPF，设1PFx，2PFy，122F Fc，由条件得：2224xyc，22xyc，得222(22)4xxcc，解得85xc，将85xc代入22xyc得到：65yc.因为8622555xyccca，所以5cea.故答案为：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意列出等式找到,a b c的关系为解题的关键，属于中档题.二、多选题11已知向量sin,cosaa，1)2(b，则下列命题正确的是（）A若ab，则1tan2B若 ab，则1tan2C若fa b（）取得最大值时，则1tan2第 7 页 共 22 页Dab的最大值为51【答案】ACD【解析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A 正确，B 不正确.对于 C，根据()5sin()f，tan2，即可得到1tan2，所以 C 正确，对于D，根据2()ab的最大值为62 5，即可判断D 正确.【详解】A 选项，若ab，则2sincos0，即1tan2，故 A 正确B 选项，若 ab，则sin2cos0，则tan2，故 B 不正确C 选项，()sin2cos5sin()fa b，其中tan2.当()f取得最大值时，sin()1，即22k，11tantan(2)tan()22tan2k，故 C 正确.D 选项，222()2152(sin2cos)62 5 sin()ababa b，当sin()1时，2()ab取得最大值为62 5，所以ab的最大值为51，故 D 正确.故答案为：ACD【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，同时考查了三角函数的最值问题，属于中档题.12已知函数sincosfxxx，则下面结论正确的是（）Afx为偶函数Bfx的最小正周期为2Cfx的最大值为2 Dfx在324，上单调递增【答案】ABD【解析】首先将()f x 化简为()1sin2f xx，选项 A，()f x 的定义域为R，()()fxf x，故 A 正确。根据()f x 的周期和最值可判断B 正确，C 不正确。根据sin2yx可判定 D 正确。第 8 页 共 22 页【详解】22()sincos2 sincos1sin 2f xxxxxx，选项 A，()f x 的定义域为R，()1sin(2)1sin2()fxxxf x，故 A 正确。B 选项，()f x 的最小正周期为2，故 B 正确。C 选项，max()1 122fx，故 C 不正确。D 选项，由sin2yx的图像，由图可知：()1sin2f xx在243，上单调递增，故D 正确。故选 ABD【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。13下列命题中不正确的是（）A设m为直线，,为平面，且m；则“/m”是“”的充要条件B设随机变量1)0(N，若3Pp，则1302PpC若不等式922xmx(0 x)恒成立，则m的取值范围是(,2)D已知直线2axby经过点(1)3，则28ab的取值范围是4)，【答案】AC【解析】A 选项，画出图形即可判定A 错误.B 选项，根据正态分布的对称性即可判断B正确.C 选项，首先利用基本不等式得到96xx，再解不等式622m即可判断C不正确.选项 D，首先根据题意得到32ab，再利用基本不等式即可判断D 正确.第 9 页 共 22 页【详解】A 选项，如图所示：，m，m，不一定/m，因此不是充要条件，故A错误.B 选项，对称轴为0 x，由对称性可知：121(30)22pPp.故 B 正确.C 选项，由9926xxxx，可得622m，所以m的范围为(2，故 C 不正确.选项 D，由直线2axby经过点(1,3)，可得32ab，则3282 2 82 24ababab，当且仅当31ab等号成立，所以取值范围是4,)，故 D 正确故答案为：AC【点睛】本题主要考查了充要条件，同时考查了正态分布和基本不等式求最值问题，属于中档题.三、填空题14用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中各数位中有两个奇数的四位数有_个【答案】378【解析】分类讨论含0 和不含 0 的情况，再相加即可.【详解】第一类：含0 的四位数：12133333162C C C A，第 10 页 共 22 页第二类：不含0的四位数：224334216C C A，所以共有162216378个故答案为：378【点睛】本题主要考查排列组合，分类讨论是解题的关键，属于中档题.15已知圆心在直线30 xy上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦长为4 2，则圆C的方程为 _，则点6,5P到圆C上动点Q的距离最大值为_.【答案】22319xy8【解析】设圆的方程为222()()xaybr，根据相切与垂径定理列出方程组，求解即可；设圆外一点P 距圆心距离为d，则点 P 距圆上动点的距离最大值为dr，最小值为dr.【详解】设圆的方程为222()()xaybr(0,0)ab由题意可得22308abarbr，解得313abr，所以圆的方程为22319xy；设点6,5P到圆心(3,1)C的距离为22(63)(5 1)5d，则点6,5P到圆C上动点Q的距离最大值为538dr.故答案为：22319xy；8【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，垂径定理，圆外点到圆上动点的距离的最值，属于基础题.16已知三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，3BC，12AA，1AC，30ABC，则球的表面积为_.【答案】8【解析】利用正弦定理求出ABC所在圆面的半径，构造直角三角形求出球的半径，代入球的面积公式即可得解.【详解】第 11 页 共 22 页设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，在ABC中，122sinsin30ACrB，则1r，球心与ABC所在面的圆心的连线OD 垂直于ABC所在面，易知1211AOAD,在RtOCD中，2212Rr，球的面积为248SR.故答案为：8【点睛】本题考查直三棱柱的外接球问题，难点在于找到球心，构造直角三角形求出球的半径，考查空间想象能力，涉及正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题.17 已知2201()5log12xxf xxx当210 xx时，有12()()f xf x，则12()xf x的取值范围为_【答案】534，【解析】首先分别求出1x和01x的值域，根据12()()f xf x，且210 xx，得到21x，1112x，再根据二次函数的单调性求12()xfx的范围即可.【详解】由题意可知：当1x时，25()log2f xx，值域为5,)2.当01x时，()2f xx，值域为2,3).因为12()()f xfx，且210 xx，所以21x，1112x.21211111)(2)(1)1(x f xx f xx xx，第 12 页 共 22 页因为1112x，所以125),3)4(xf x【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，同时考查了二次函数的单调性和值域，属于中档题.四、解答题18在ABC中，内角ABC，所对的边分别为abc，函数3()cos(sin3cos)2f xxxx，将()f x 的图像向左平移12个单位得到函数yg x的图像，且122Cg，3c（1）求C；（2）若223(sinsin)3sin8sin sinBCABC，求cos()AC【答案】（1）3C；（2）2 61cos()6AC【解析】（1）首先化简()f x 得到()sin(2)3f xx，根据题意得到()sin(2)6g xx，再根据1(22)Cg，即可得到3C.（1）首先根据223(sinsin)3sin8sin sinBCABC得到22223bcbca，即1cos3A，再根据两角差公式计算cos()AC即可.【详解】（1）由题意得，3()cos(sin3cos)2f xxxx2313cos sin3cossin2cos2sin(2)2223xxxxxx()sin2()sin(2)1236g xxx因为1(22)Cg，可得)in(1s62C，即66C或56，第 13 页 共 22 页3C或C（舍去），所以3C.（2）又由223(sinsin)3sin8sin sinBCABC，可得2223(sinsinsin)2sin sinBCABC，由正弦定理得22223bcbca，即2221cos23bcaAbc，22 2sin1cos3AA，cos()cos cossinsinACACAC112 232 6132326.【点睛】本题第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查了特殊角的三角函数值，第二问考查了余弦定理，属于中档题.19已知na的前n项和为nS，且211a，7161S（1）求数列na的通项公式；（2）若6512nnSan，求n的取值范围；（3）若11nnnba a，求数列nb的前n项和nT【答案】（1）61nan；（2）9n且*nN；（3）5(65)nnTn【解析】（1）首先根据题意列出方程217111721161aadSad，解方程组再求na即可.（2）首先计算nS，再解不等式6512nnSan即可.（3）首先得到1116 6(1)65nbnn，再利用裂项法即可得到前n项和nT的值.【详解】（1）由题意得217111721161aadSad，解得156ad所以61nan（2）由（1）得2(1)56322nn nSnnn，第 14 页 共 22 页因为6512nnSan，即2329180nn.解得23n或9n，因为1n且*nN，所以n的取值范围为9n且*nN.（3）因为11111611()()6(615)566nnnba annnn，所以1111111()()()651111176165nTnn1 116 565(5)65)(nnn【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n项和nS的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.20 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，/ABCD，33ABCD，ABAD，ABPA，且2ADPA，2 2PD，13PEPB（1）证明：/CE平面PAD；（2）求点B到平面ECD的距离；（3）求二面角BPCD 的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）4 1313；（3）5 3434【解析】（1）首先取PA的三等分点F，连结DF，EF，根据题意得到1/3EFAB，1/3CDAB，即四边形CDFE是平行四边形，所以/CEDF.再根据线面平行的判定即可证明/CE平面PAD.（2）首先证明PA平面ABCD，再分别以AD，AB，AP为x轴y轴 z 轴，建立第 15 页 共 22 页空间坐标系，求出4(0,2,)3BE，平面CDE法向量1(2,0,3)n，代入点到面的距离公式即可.（3）分别求出平面PBC和平面PCD的法向量，代入二面角公式即可.【详解】（1）取PA的三等分点F，连结DF，EF，则13PFPA又因为13PEPB，所以1/3EFAB.因为1/3CDAB，所以/EFCD，四边形CDFE是平行四边形.所以/CEDF，又平面DF平面PAD，CE平面 PAD，所以/CE平面PAD.（2）设点B到平面ECD的距离为h因为2PAAD，2 2PD，所以222PAADPD，所以PAAD，因为PAAB，ABADA，所以PA平面ABCD.分别以AD，AB，AP为x轴y轴 z轴，建立空间坐标系，第 16 页 共 22 页(0,0,0)A，(0,3,0)B，(2,1,0)C，(2,0,0)D，4(0,1,)3E，(0,0,2)P.4(0,2,)3BE，(0,1,0)DC，4(2,0,)3CE.设平面CDE法向量1111(,)nxy z，因为1111104203n DCyn CExz，所以1(2,0,3)n，点B到平面ECD的距离1144 131313BE nhn，点B到平面ECD的距离为4 1313（3）(0,3,2)PB，(2,2,0)BC，设平面PBC的法向量为2222(,)nxyz，则222222320220PB nyzBC nxy，即23(1,1,)2n，(0,1,0)CD，(2,0,2)PD，设平面PCD的法向量为3333(,)nx yz，333330220CD nyPD nxz，即3(1,0,1)n，第 17 页 共 22 页所以23315 342cos=3491 1114nn，二面角 BPCD 的余弦值为5 3434.【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查点到面的距离，第三问考查二面角的求法，属于中档题.21为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200 请客，其中游戏水平分为高级和非高级两种（1）根据题意完善下列22列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？性别高级非高级合计女40男140合计（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10 人，从这10 人中抽取3 人作为游戏参赛选手；()i 若甲入选了10 人名单，求甲成为参赛选手的概率；()ii设抽取的3 名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望附表：22()()()()abbcKabcdnacbd，其中nabcd20P Kk0.0100.050.0010k6.6357.87910.828第 18 页 共 22 页【答案】（1）列联表见解析，没有99以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关，（2）()i310P，()ii分布列见解析，3(X)2E【解析】（1）根据题意完善22列联表，再计算2K，对照临界值得出结论即可.（2）()i 从10人中抽取3人共有310C个基本事件，甲为参赛选手共有39C个基本事件，再利代入古典概型公式即可.()ii首先用分层抽样得到抽取的男、女生人数，得到女生的人数X的所有取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，再列出分布列，计算数学期望即可.【详解】（1）性别高级非高级合计女40 160 200 男60 140 200 合计100 300 400 22400 40 140 160 6053336 635200 200 100 300K，所以没有99以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关（2）()i 甲入选 3 人名单的概率为29310310CPC；()ii根据分层抽样的特征10 人中男女各5 人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3；353101012CP XC，12553105112C CP XC，21553105212C CP XC，353101312CP XC；所以X的分布列为X0 1 2 3 P112512512112第 19 页 共 22 页期望15513()0123121212122E X.【点睛】本题第一问考查独立性检验，第二问考查古典概型和离散型随机变量的分布列及数学期望，属于中档题.22在平面直角坐标系xOy中，已知圆Q过定点0(2)D，且在y轴上截得的弦长4MN，设动圆圆心Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点(4 0)，作直线交曲线C于AB，两点，问在曲线C上是否存在一点P，使得点P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）24yx；（2）存在点0(0)P，满足题设.【解析】（1）首先设圆心()C xy，作CBMN于点B，由题知得到2222CDCMMBCB，化简即可得到点C的轨迹方程.（2）首先设出直线方程4xmy，联立抛物线方程得到124yym，1216y y.假设存在2()4yPy,，满足题设，得到0PA PB，计算即可得到P点坐标.【详解】（1）由题知：设圆心()C xy，作CBMN于点B.由题知2222CDCMMBCB222222xyx第 20 页 共 22 页所以24yx，即点C的轨迹抛物线24yx.（2）设直线方程为4xmy，11(,)A x y，22(,)B xy，联立244xmyyx，得，24160ymy，216640m，124yym，1216y y.21212848xxm yym，2212121616y yx x.假设存在一点2()4yPy，满足题设，则PAPB，0PA PB.211()4yPAxyy,，222()4yPBxyy,.221212()()()()44yyPA PBxxyyyy24212121212416yyx xxxy yy yyy42214016ymymy.解得0y，代入2()4yPy,，得到点(0,0)P满足题意.综上：存在(0,0)P，使得点P在以AB为直径的圆上.【点睛】本题第一问考查抛物线的轨迹方程，第二问考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.23设函数212ln222afxaxxx，aR.（1）当2a时，求函数fx在点1,1f处的切线方程；（2）2x是函数fx的极值点，求函数fx的单调区间；（3）在（2）的条件下，217ln422g xxxx，若11,x，20,x，使不等式1122mfxg xxx恒成立，求m的取值范围.第 21 页 共 22 页【答案】（1）30 xy；（2）在0,2上单调递增，在2,上单调递减；（3）4m【解析】(1)求出函数的导数，再求出1f，1f，由导数得几何意义知切线的斜率为1f且过点(1,3)，即可写出直线的点斜式方程；(2)由2x是函数的极值点可知20f，求出a，令0fx结合定义域即可求出函数的单调区间；(3)令h xfxg x，则题意等价于2min21mh xxxx，利用 hx 分析h x的单调性从而求出最小值为4，所以20,x使得函数4mxx，由240 xxm在0,有解即可求出m的取值范围.【详解】（1）fx的定义域为0,，2a时，2ln2fxxx，12fxxx，13f，13f，所以切线方程为331yx，即 30 xy.（2）22221222axa xafxaxxx，2x是函数的极值点，8422204aaf，可得1a，所以2232(0)2xxfxxx，令0fx，即22320 xx，解得1,22x，结合定义域可知fx在0,2上单调递增，在2,上单调递减.（3）令2lnln26h xfxg xxxxx，11,x，20,x，使得1122mfxg xxx恒成立，等价于2min21mh xxxx，12 ln2h xxxxx，因为1x，所以2 ln0 xx，12xx，即0hx，所以h x在1,上单调递增，14h xh，即20,x使得函数4mxx，即转化为240 xxm在0,有解，22424xxmxm，所以40m，4m.【点睛】第 22 页 共 22 页本题考查函数切线的求法，利用导数分析函数的单调性及求函数的最值，根据函数的极值点求参数，涉及二次函数的图像与性质，属于较难题.
