【精编】2020版高中数学第2章圆锥曲线与方程2_5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2_1.pdf

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.2.5 圆锥曲线的统一定义 学习目标 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题知识点一圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹0e1 时，它表示双曲线；e1 时，它表示抛物线知识点二准线方程对于椭圆x2a2y2b21(ab0)和双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：xa2c，与F(c，0)对应的准线方程是l：xa2c；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为ya2c.思考1椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案1e.2动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答案当F?l时，动点M轨迹是圆锥曲线当Fl时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线题型一统一定义的简单应用例 1 椭圆x225y291 上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为_答案8 解析如图所示，PF1PF22a10，eca45，而PF12.5e45，PF12，PF210PF11028.反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.跟踪训练1 已知椭圆x24b2y2b21 上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线的距离解方法一由x24b2y2b21，得a2b，c3b，e32.由椭圆第一定义，PF1PF22a4b，得PF14bPF24bb3b.由椭圆第二定义，PF1d1e，d1为P到左准线的距离，d1PF1e23b，即P到左准线的距离为23b.方法二PF2d2e，d2为P到右准线的距离eca32，d2PF2e233b.又椭圆的两准线的距离为2a2c833b，P到左准线的距离为833b233b23b.题型二应用统一定义转化求最值例 2 已知椭圆x28y261 内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP2MF之值为最小解设d为M到右准线的距离eca12，MFd12，MF12d，即d 2MF(如图)故MP2MFMPdPM.显然，当P、M、M三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(2315，1)反思与感悟本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决跟踪训练2 已知双曲线x29y2161 的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MA35MF的值最小，并求这个最小值文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.3文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MNMFe(如图)又a3，b4，c5，e53，MN35MF，MA35MFMAMN，显然当M、N、A三点共线时MAMNAN为最小，即MA35MF取得最小值，此时AN9a2c995365，MA35MF的最小值为365，此时点M(352，2)题型三圆锥曲线统一定义的综合应用例 3 已知A、B是椭圆x2a2y2925a21 上的点，F2是右焦点，且AF2BF285a，AB的中点N到左准线的距离等于32，求此椭圆方程解设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1BF12aAF22aBF24a(AF2BF2)4a85a125a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1d22d33，而已知b2925a2，c21625a2，离心率e45，由统一定义AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1e(d1d2)125，又AF1BF1125a，a1，椭圆方程为x2y29251.反思与感悟在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法跟踪训练3 设P(x0，y0)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，F1为其左焦点(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在椭圆x225y251 上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.4文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.解(1)对应于F1的准线方程为xa2c，根据统一定义：PF1x0a2ce，PF1aex0.又ax0a，当x0a时，(PF1)minaca(a)ac；当x0a时，(PF1)maxacaaac.(2)a225，b2 5，c220，e245.PF21PF22F1F22，(aex0)2(aex0)24c2.将数据代入得2545x2040.x0532.代入椭圆方程得P点的坐标为532，52，532，52，532，52，532，52.1已知方程(1 k)x2(1 k)y2 1 表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为_答案1k0，1k0，解得k1，k1，即 1kc恒成立，由椭圆性质知OPb，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，(ca)212，eca22.又0e1，0e22.4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y2n21(m0，n0)，有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是 2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是_答案12解析由题意，得由可得m2n22n22m2，即n23m2，代入得4m2c2?c2m，代入得4m2am?a4m.所以椭圆的离心率eca12.5已知抛物线y24x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为 _答案4 解析由抛物线定义知点M到准线x 1 的距离为 5，所以点M到y轴的距离为4.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数2利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化