2020届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 21 页2020 届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知集合2430Ax xx，24Bxx，则AB（）A1,3B1,4C2,3D2,4【答案】B【解析】求出集合A，利用并集的定义可求得集合AB.【详解】24301,3Ax xx，24Bxx，因此，1,4AB.故选：B.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2 已知,a bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则2i=ab（）A3+4iB5+4iC34iD54i【答案】A【解析】由 ai 与 2+bi 互为共轭复数，可求出a，b 的值，代入（a+bi）2进一步化简求值，则答案可求【详解】ai 与 2+bi 互为共轭复数，a=2，b=1则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i故选 A【点睛】利用复数相等求参数：,(,R)abicdiac bd a b c d3双曲线2214xy的渐近线方程是（）A12yxB2yxC14yxD4yx【答案】A 第 2 页 共 21 页【解析】分析：直接利用双曲线的渐近线方程公式求解.详解：由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为1.2byxxa故答案为A 点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa，双曲线22221(0,0)yxabab的渐近线方程为ayxb.4欧拉公式cossinixexix（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3ie表示的复数在复平面中位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】利用欧拉公式cossinixexix，化简3ie的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可【详解】因为欧拉公式cossin(ixexix i为虚数单位），所以3cos3sin3iei，因为3(2，)，cos30，sin30，所以3ie表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题5设函数21log(2),1(),1xxxf xex，则(2)(ln 6)ff（）A3 B 6 C9 D12【答案】C【解析】根据分段函数的解析式，结合指数幂与对数的运算性质，即可求解.【详解】第 3 页 共 21 页由题意，函数21log(2),1(),1xxxf xex，则ln 62(2)(ln 6)1log 2(2)1269ffe.故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，以及指数式与对数式的运算的综合应用，着重考查运算与求解能力.6 已知各项均为正数的数列na为等比数列，1516aa，3412aa，则7a（）A16 B 32 C64 D256【答案】C【解析】根据等比数列的性质可得34a，结合3412aa，可得48a，公比2q，从而可得结果.【详解】由1516aa，得2316a，又各项均为正数，所以34a，由3412aa，得48a，所以公比43824aqa，所以7 34734264aaq，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式，属于基础题.7已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）AsinxxyeeBsinxxyee CcosxxyeeDcosxxyee【答案】D【解析】根据0 x时的函数值，即可选择判断.【详解】第 4 页 共 21 页由图可知，当0 x时，0y当0 x时，sinxxyee20sin，故排除A；当0 x时，sinxxyee00sin，故排除B；当0 x时，cosxxyee010cos，故排除C；当0 x时，cosxxyee20cos，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.8已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，x23456y2.23.85.56.57.0由上表可得线性回归方程0.08ybx，若规定当维修费用y12 时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（）A7B8C9D10【答案】C【解析】试题分析：由已知表格得：1(23456)45x，1(2.23.85.56.57.0)55y，由于线性回归直线恒过样本中心点,x y，所以有：540.08b，解得：1.23b，所以线性回归方程1.230 8?.0yx，由12y得：1.230.0812x解得：9.69x，由于*xN，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.故选 C.【考点】线性回归第 5 页 共 21 页9已知点P在抛物线2:4Cyx上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点，若直线AB的斜率为1，则点P坐标为（）A1,2B1,2C2,2 2D2,2 2【答案】A【解析】设点00,P xy、11,A x y、22,B xy，求得直线AB的斜率为1241ABkyy，可得124yy，再由直线PA和PB的斜率互为相反数可求得0y的值，进而可求得0 x的值，由此可求得点P的坐标.【详解】设点00,P xy、11,A x y、22,B xy，则直线AB的斜率为12221212414AByykyyyy，可得124yy，同理可得直线PA的斜率为014PAkyy，直线PB的斜率为024PBkyy，PAPBkk，所以，01020yyyy，则12022yyy，20014yx，因此，点P的坐标为1,2.故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.10下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出/AB平面MNP的图形的序号是（）ABCD【答案】C 第 6 页 共 21 页【解析】用面面平行的性质判断的正确性.利用线面相交来判断的正确性，利用线线平行来判断的正确性.【详解】对于，连接AC如图所示，由于/,/MNAC NPBC，根据面面平行的性质定理可知平面/MNP平面 ACB，所以/AB平面MNP.对于，连接BC交MP于D，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与DN相交，所以直线AB与平面MNP相交.对于，连接CD，则/ABCD，而CD与PN相交，即CD与平面 PMN 相交，所以AB与平面MNP相交.对于，连接CD，则/ABCDNP，由线面平行的判定定理可知/AB平面MNP.综上所述，能得出/AB平面MNP的图形的序号是.第 7 页 共 21 页故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.11已知函数sin0,2fxx，其图象与直线1y相邻两个交点的距离为，若对,24 3x，不等式12fx恒成立，则的取值范围是（）A,12 6B,123C,63D,62【答案】A【解析】利用已知条件求出函数yfx的最小正周期，可求得2，由,243x可求得22123x，再由22求出12和23的取值范围，由题意可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】由于函数yfx的图象与直线1y相邻两个交点的距离为，则函数yfx的最小正周期为T，22T，sin 2fxx，当,243x时，22123x，22，57121212，27636，由于不等式12fx对,243x恒成立，所以1262536，解得126.因此，的取值范围是,126.故选：A.【点睛】第 8 页 共 21 页本题考查利用三角不等式恒成立求参数，同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数，解答的关键在于求得12和23的取值范围，考查计算能力，属于中等题.12已知三棱锥PABC，面PAB面ABC，4PAPB，4 3AB，120ACB，则三棱锥PABC外接球的表面积（）A20B32C64D80【答案】D【解析】过点 P 作PDAB，根据面PAB面ABC，则PD面ABC，再根据4PAPB，则PAB外接圆的圆心在PD 上，求得PAB外接圆的半径，再由PD=2，从而得到其外接圆的圆心到面ABC 的距离，再求得ABC外接圆的半径，然后由勾股定理求得球的半径即可.【详解】如图所示：设PAB的外接圆的圆心为1O，半径为1r，ABC的外接圆的圆心为2O，半径为2r，三棱锥PABC外接球球心为O，半径为R，过点 P 作PDAB，因为面PAB面ABC，所以PD面ABC，又因为4PAPB所以1O在 PD 上，因为4 3AB，所以2 3AD，2PD，所以2 33cos42ADPADPD，第 9 页 共 21 页0,PAD，6PAD，所以14281sin2PBrPAD，则114rOP，所以12O D，212OOO D所以24 328sin32ABrACB，则224rOA，所以22222 5ROOOA，所以三棱锥PABC外接球的表面积22442 580SR.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13设向量2,4a与向量,6bx共线，则实数x等于 _【答案】3【解析】利用向量共线的坐标公式,列式求解.【详解】因为向量2,4a与向量,6bx共线,所以2 6403xx,故答案为:3.【点睛】本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题.14已知5axx的展开式中含3x 的项的系数为30，则a的值为 _.【答案】6【解析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r项，整理成最简形式，令x的指数为3 求得r，再代入系数列方程求出结果.第 10 页 共 21 页【详解】解：因为5axx的展开式的通项公式为：55 2155()rrrrrrraCaxxTxC，令523r，则1r，5axx的展开式中含3x 的项的系数为：115()530aCa，6a.故答案为：6.【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，是基础题.15数列na满足1(1)nnnaan，则na的前 8 项和为 _.【答案】20【解析】利用递推数列分别列出1,2,8n的等式，利用等式的加减即可求得前8 项的和.【详解】数列na满足1(1)nnnaan，211aa，322aa，433aa，544aa，655aa，766aa，877aa，可得131aa，245aa，571aa，6813aa，1234567820aaaaaaaa.故答案为：20【点睛】本题考查数列的递推公式、数列求和，属于基础题.三、双空题16已知函数()ln2exf xx，则()(2)f xfx值为 _；若19119()10kkfab，则22ab的最小值为 _.【答案】2 12第 11 页 共 21 页【解析】空一：(2)()(2)lnln22(2)exexf xfxxx，化简计算即可；空二：由已知19()1011219010abfff，又191819()1010110abfff，两式相加，利用空一的结论计算可得a b的值，再利用基本不等式可得22ab的最小值.【详解】解：由已知2(2)(2)()(2)lnlnlnln222(2)2exexexexf xfxexxxx；又19()1011219010abfff，则191819()1010110abfff，11921810102101010101010，11921810102101010101010fff则可得19138()1919 2381010abff，1ab，222abab，222222ababab222122aabb，当且仅当12ab时等号成立.故答案为：2；12.【点睛】本题考查函数值的求法，考查对数的运算性质、基本不等式的性质等基础知识，考查运第 12 页 共 21 页算求解能力，是中档题.四、解答题17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222(2)2cosacabcabcC.（）求角B的大小；（）若1a，3b，求ABC的面积.【答案】（）3B（）32【解析】（）由条件结合余弦定理可得(2)coscosacBbC，然后可得(2sinsin)cossincosACBBC，然后得出1cos2B即可；（）利用正弦定理求出角A，然后可得出角C，然后利用in12sSabC算出即可.【详解】（）由余弦定理得：2222cosabcacB，又因为222(2)2cosacabcabcC，所以(2)coscosacBbC，所以(2sinsin)cossincosACBBC，所以2sincossin()sinABBCA，因为sin0A，所以1cos2B，因为0,B，所以3B.（）由正弦定理得：sinsinabAB，所以sin1sin2aBAb，因为ab，所以6A，所以2C所以113sin13sin90222SabC.【点睛】本题主要考查的是利用正余弦定理解三角形，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.第 13 页 共 21 页18如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，/CDAB，且24PACDAB.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB，连接PA、PB、BD.（）证明：平面PBD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（）见解析（）66【解析】（）通过证明PDBC，BDBC可得 BC 平面 PBD，进而可证明平面PBD平面PBC；（）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量为m以及AB，通过向量的夹角公式可得直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【详解】解：（）因为PDDC，ADDC，所以直二面角PDCB的平面角为90PDA，则PD平面ABCD，又BC平面ABCD，所以PDBC，又2222222 2,2422 2,4BDBCDC，则222BDBCDC即BDBC，而PDBDD，BD平面 PBD，PD平面 PBD，故 BC 平面 PBD，因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC；（）由（）知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则2,0,0A，2,2,0B，0,4,0C，0 0 2P,，2,2,0BC，2,2,2PB，设平面PBC的法向量为,mx y z，第 14 页 共 21 页则2202220BC mxyPB mxyz，令1x，得平面PBC的一个法向量1,1,2m，又0,2,0AB，则得26cos,626m ABm ABm AB，记直线AB与平面PBC所成角为，则知6sincos,6m AB，故所求角的正弦值为66.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，考查学生计算能力，是中档题.19 在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000 人的得分（满分：100 分）数据，统计结果如下表所示.组别30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100频数2515020025022510050（）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布2,14.5N，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求3679.5PZ；（）在（）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：第 15 页 共 21 页（i）得分不低于的可以获赠2 次随机话费，得分低于的可以获赠1 次随机话费；（ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.赠送的随机话费（单位：元）2040概率3414附：若2,XN，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX.【答案】（）0.8186（）见解析，752【解析】（）由题意求出65，进而50.579.50.6827PZ，36940.9545PZ，由此能求出3679.5PZ；（）由题可知12P ZP Z，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E X.【详解】（）由题意可得352545 15055200652507522585 1009550651000，又21014.5，366529652 14.52，79.56514.5，946529652 14.52，50.56514.5，50.579.50.6827PZ，36940.9545PZ，(3679.5)(2)PZPZ(2)()PZPZ(22)()2PXPX0.95450.68270.81862；第 16 页 共 21 页（）根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80 元，由题可知12P ZP Z，则133(20)248P X，1113313(40)2424432P X，1133(60)224416P X，1111(80)24432P X，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X20 40 60 80 P381332316132所以，随机变量X的数学期望为31331752040608083216322EX.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查正态分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20已知函数ln11fxxxaxa.（）讨论fx的单调性；（）若1x，不等式1fx恒成立，求整数a的最大值.【答案】（）单调递减区间为20,ae，单调递增区间为2,ae；（）3.【解析】（）求出函数yfx的定义域和导数，分析导数的符号变化，由此可求得函数yfx的单调递增区间和单调递减区间；（）当1x时，由1fx可得出ln1xxxax，设ln1xxxh xx，利用导数求出函数yh x在区间1,上的最小值，由此可求得整数a的最大值.【详解】（）因为函数yfx的定义域为0,，ln2fxxa，令0fx，解得20axe；令0fx，解得2axe.第 17 页 共 21 页所以，函数yfx的单调递减区间为20,ae，单调递增区间为2,ae；（）当1x时，由1fx可得ln10 xxxa x，即ln1xxxax，设ln1xxxh xx，2ln21xxhxx.设ln2g xxx，当1x时，1110 xgxxx，则函数yg x在1,单调递增.又31ln30g，42ln 40g，则函数yg x在3,4存在唯一零点0 x满足000ln20g xxx，则当01,xx时，0g x，即0hx，此时函数yh x单调递减；当0,xx时，0g x，即0hx，此时函数yh x单调递增，所以，000min01ln1xxh xh xx.又因为00ln20 xx，则0000011xxh xxx，因为03,4x，则0(3,4)ah x，则整数a的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21已知离心率为22e的椭圆Q：222210 xyabab的上下顶点分别为0,1A，0,1B，直线l：0 xtym m与椭圆Q相交于C，D两点，与y相交于点M.（）求椭圆Q的标准方程；（）若OCOD，求OCD面积的最大值；（）设直线AC，BD相交于点N，求OM ON的值.【答案】（）2212xy（）max22OCDS（）1 第 18 页 共 21 页【解析】（）根据题意解得,a b c得到椭圆方程.（）设11,C x y，22,D xy，联立方程得到根与系数关系，根据垂直得到223220mt，计算三角形面积表达式，换元利用二次函数性质得到答案.（）计算AC和BD的直线方程，相除整理得到2222121xyyx，计算Ntym，Mmyt，代入向量数量积公式得到答案.【详解】（）由题意可得：22ca，1b，222abc，联立解得2a，1bc.所以椭圆C的方程为：2212xy.（）设11,C x y，22,D xy，联立方程组2212xtymxy，化简得2222220tytmym；22222244224 2240t mtmmt，12222tmyyt，212222my yt；因为12121212x xy ytymtymy y22121210ty ytm yym，化简整理得到223220mt，故222432tm，212121211422OCDSm yymyyy y22221224222tmmmtt2222224 2324 22411322222mmmtmmmt2222232mmm，设232(2)mu u，所以22422(2)(4)333OCDuuuuSuu221192928388382u，所以当8u即2m时，max22OCDS.第 19 页 共 21 页（）设,NNN xy，0,MMy，直线AC：1111yyxx，直线BD：2211yyxx；得12121111NNyyxyxy，设2 cos,sinD，则22sin1sin1cos2co1s2cos2 o2c sBDADkk，即2222111002yyxx，所以2222121xyyx.所以121212121111211NNyyyyxtmyxyx xtm，所以Ntym，又因为Mmyt，1MNmtOMONy ytm.【点睛】本题考查了椭圆方程，面积最值，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin3 24，曲线C的参数方程为2cos3sinxy（为参数）.（）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（）求曲线C上的动点到直线l距离的最大值.【答案】（）60 xy，22143xy；（）146 22.【解析】（）化简直线l的极坐标方程为22sincos3 222，代入互化公式，即可求得直线l的直角坐标方程，由曲线C的参数方程，消去参数，即可求得得曲线C的普通方程；（）设点M的坐标为2cos,3sin，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】第 20 页 共 21 页（）由直线l的极坐标方程为sin3 24，可得22sincos3 222，将siny，cosx代入上式，可得直线l的直角坐标方程为60 xy，由曲线C的参数方程2cos3sinxy（为参数），可得cos2sin3xy（为参数），平方相加，可得曲线C的普通方程为22143xy.（）设点M的坐标为2cos,3sin，则点M到直线l：60 xy的距离为2cos3 sin67 sin622d（其中2 3tan3）.当sin1时，d取最大值，且d的最大值为146 22.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力.23已知函数2fxxaxb，,a bR.（）若1a，12b，求2fx的解集；（）若0ab，且fx的最小值为2，求21ab的最小值.【答案】（）0,2（）4【解析】（1）由不等式可得111x，由此可求出x的范围；（2）利用绝对值三角不等式，求出fx的最小值为2ab，进而得到22ab，根据0ab，并借助基本不等式，即可得解.【详解】（）由题意1121fxxxx，第 21 页 共 21 页2fx，即212x，即111x，解得02x，所以2fx解集为0,2.（）因为222fxxaxbxaxbab，当且仅当20 xaxb时，取到最小值2ab，即22ab，因为0ab，故22ab，2121abab，所以211211212222abababab14144424222babaabab，当且仅当4baab，且22ab，即1a，12b或1a，12b时，等号成立.所以21ab的最小值为4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式及基本不等式的应用，考查转化与化归的思想，合理运用绝对值三角不等式是本题的解题关键，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，注意创造“定”这个条件时，经常要对所给式子进行拆分、配凑等处理，使之可用基本不等式来解决；当已知条件中含有1时，要注意1 的代换.另外，解题中要时刻注意等号能否取到.