2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷(解析版).pdf

2020 年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1 已知集合 Ax|x2 3x+20，B x|x+1a，若 AB R，则实数 a的取值范围是（）A2，+）B（，2C1，+）D（，12若复数z 满足 z（1 2i）?i，则复平面内?对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知 ab1，c0，则（）A?BcacbCacbcDloga（bc）logb（a c）4已知 sin cos=?，（0，），则 tan 的值是（）A 1B-22C 22D15宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 3，1，则输出的n 等于（）A5B4C3D26已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1a38，且 S313，则 a2（）A 3B3C-353D3 或-3537平面向量?，?共线的充要条件是（）A?=|?|?|B?，?两向量中至少有一个为零向量C?R，?=?D存在不全为零的实数1，2，1?+2?=?8根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A16B14C13D129把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移?12个单位后，得到函数y g（x）的图象 则 g（x）的解析式是（）A?(?)=?(?+?12)B?(?)=-12?(?-?12)C?(?)=-12?(?-?6)+12D?(?)=12?(?-?6)+1210已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a 满足 f（log2a）+f（?12?）2f（1），则 a 的取值范围是（）A12，?B1，2C(?，12)D（0，211已知抛物线C：x28y，过点 M（x0，y0）作直线 MA、MB 与抛物线C 分别切于点A、B，且以 AB 为直径的圆过点M，则 y0的值为（）A 1B 2C 4D不能确定12 点 M 在曲线 G：y3lnx 上，过 M 作 x 轴垂线 l，设 l 与曲线 y=1?交于点 N，若?=?+?3，且 P 点的纵坐标始终为0，则称 M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（）A0B1C2D3二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知函数f（x）=?12?(?)，?-?(?)，则?(?(18)=14 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c若 ABC 的面积为3(?2-?2-?2)4，则 A15设 F1，F2分别是双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使 F1PF260，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为16正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，F 是侧面 CDD1C1上的动点，且 B1F平面 A1BE，记 B1与 F 的轨迹构成的平面为?F，使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 24，12 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为2?正方体 ABCD A1B1C1D1的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个其中正确命题的序号是（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知 an是公差为1 的等差数列，数列bn满足 b11，b2=12，anbn+1+bn+1nbn（1）求数列 bn的通项公式；（2）设 cn=12?，求数列 cn的前 n 项和 Sn18垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间25，85上的 50 人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）75，85）频数510101555了解4581221（1）填写下面2x2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65 岁的人数年龄不低于65 岁的人数合计了解ac不了解bd合计（2）若对年龄在 45，55），25，35）的被调研人中各随机选取2 人进行深入调研，记选中的 4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望参考公式和数据K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中 na+b+c+dP（K2k0）0.100.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知四边形AA1C1C 为矩形，AA16，ABAC4，BAC BAA160，A1AC 的角平分线AD 交 CC1于 D（）求证：平面BAD 平面 AA1C1C；（）求二面角AB1C1A1的余弦值20已知椭圆C：?2?+?2?=?（ab0）的焦距为2，且过点(?，32)（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点O 为 BMN 的重心，求点O 到直线 MN 距离的最小值21已知函数f（x）xlnx ax2（a R）（1）讨论函数的极值点个数；（2）若 g（x）f（x）x 有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与 x1?x2的大小关系并证明（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知曲线C 的极坐标方程是 6cos 0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点 M（0，2），倾斜角为34?（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求1|?|+1|?|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x2a|（1）若 a1，解不等式f（x）4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m22m+4f（x），求实数a 的取值范围参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知集合 Ax|x2 3x+20，B x|x+1a，若 AB R，则实数 a的取值范围是（）A2，+）B（，2C1，+）D（，1【分析】求出集合A，B，由 ABR，能求出实数a 的取值范围解：集合Ax|x23x+20 x|x1 或 x2，B x|x+1ax|xa1，ABR，a11，解得 a2，实数 a的取值范围是（，2故选：B2若复数z 满足 z（1 2i）?i，则复平面内?对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出解：z（1 2i）?i2+i，?=2i 在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限故选：D3已知 ab1，c0，则（）A?BcacbCacbcDloga（bc）logb（a c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果解：由于 ab 1，所以 01?1?，c0，故?，选项 A 错误 当 c 2，a3，b2 时，ca cb，故选项B 错误 由于 ab1，c 0，故 acbc，选项 C 正确 由于 ab1，c 0，所以 acbc，故 loga（bc）logb（ac），故错误故选：C4已知 sin cos=?，（0，），则 tan 的值是（）A 1B-22C 22D1【分析】由条件可得12sin cos 2，求得 sin2 1，可得 2的值，从而求得tan 的值解：已知?-?=?，?(?，?)，12sin cos 2，即 sin2 1，故 2=3?2，=3?4，tan 1故选：A5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 3，1，则输出的n 等于（）A5B4C3D2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b 的值并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得a 3，b1n 1a=92，b2不满足条件a b，执行循环体，n2，a=274，b 4不满足条件a b，执行循环体，n3，a=818，b 8不满足条件a b，执行循环体，n4，a=24316，b16此时，满足条件ab，退出循环，输出n 的值为 4故选：B6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1a38，且 S313，则 a2（）A 3B3C-353D3 或-353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解解：设公比为q，易知 q1由?=?-?=?得?=?-?1(1-?3)1-?=?，解得?=?=?或?=253?=-75，当?=?=?时，a2a1q3；当?=253?=-75时，?=?=-353所以 a2 3或?=-353，故选：D7平面向量?，?共线的充要条件是（）A?=|?|?|B?，?两向量中至少有一个为零向量C?R，?=?D存在不全为零的实数1，2，1?+2?=?【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论解：由共线向量基本定理可知，若平面向量?，?共线，则存在不为零的实数，使?=?（?），即?-?=?，其等价命题为存在不全为零的实数1，2，1?+2?=?故选：D8根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A16B14C13D12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=?=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=?=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=?=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=?=6，甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=?=636=16故选：A9把函数 f（x）sin2x 的图象向右平移?12个单位后，得到函数y g（x）的图象 则 g（x）的解析式是（）A?(?)=?(?+?12)B?(?)=-12?(?-?12)C?(?)=-12?(?-?6)+12D?(?)=12?(?-?6)+12【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论解：把函数f（x）sin2x=12-12cos2x 的图象向右平移?12个单位后，得到函数yg（x）=12-12cos（2x-?6）的图象，故选：C10已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a 满足 f（log2a）+f（?12?）2f（1），则 a 的取值范围是（）A12，?B1，2C(?，12)D（0，2【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（?12?）2f（1）化为：f（log2a）f（1），再由 f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围解：因为函数f（x）是定义在R 上的偶函数，所以 f（?12?）f（log2a）f（log2a），则 f（log2a）+f（?12?）2f（1）为：f（log2a）f（1），因为函数f（x）在区间 0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得12a2，则 a 的取值范围是12，2，故选：A11已知抛物线C：x28y，过点 M（x0，y0）作直线 MA、MB 与抛物线C 分别切于点A、B，且以 AB 为直径的圆过点M，则 y0的值为（）A 1B 2C 4D不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M，转化求解y0的值解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2，由 x28y，可得 y=?4，所以 kMA=?14，kMB=?24，因为过点M（x0，y0）作直线MA、MB 与抛物线C 分别切于点A、B，且以 AB 为直径的圆过点M，所以，kMA?kMB=?24?14=-1，可得x1x2 16，直线MA 的方程为：yy1=?14（xx1），x1x4（y+y1），同理直线MB 的方程为：yy2=?24（xx2），x2x4（y+y2），x2 x1，可得 y=?1?28=-2，即y0 2，故选：B12 点 M 在曲线 G：y3lnx 上，过 M 作 x 轴垂线 l，设 l 与曲线 y=1?交于点 N，若?=?+?3，且 P 点的纵坐标始终为0，则称 M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（）A0B1C2D3【分析】设M（x1，3lnx1），可得直线l 的方程，联立曲线y=1?，可得 N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数解：设 M（x1，3lnx1），则直线l：x x1，由?=?=1?可得 y=1?1，即 N（x1，1?1），?=?+?3=13（2x1，3lnx1+1?1）（2?13，lnx1+13?1），又 P 的纵坐标始终为0，即 lnx1+13?1=0，可令 f（x）lnx+13?（x 0），导数为f（x）=1?-13?2=3?-13?2，由 f（x）0，可得 x=13，则当 0 x13时，f（x）0，f（x）递减；x13时，f（x）0，f（x）递增可得 f（x）在 x=13处取得极小值，且为最小值f（13）ln13+1 1ln3，由 1ln30，则 f（x）在（0，+）有两个零点，即方程lnx1+13?1=0 有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2，故选：C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知函数f（x）=?12?(?)，?-?(?)，则?(?(18)=8【分析】依题意得f（18）3，从而 f（f（18）f（3），由此能求出结果解：函数f（x）=?12?(?)，?-?(?)，则 f（18）log1218=3；?(?(18)=f（3）3218故答案为：814 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c若 ABC 的面积为 3(?2-?2-?2)4，则 A2?3【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解解：由余弦定理可得a2b2 c2 2bccosA，ABC 的面积为 3(?2-?2-?2)4=-32?，又因为 SABC=12?=-32?，所以 tan A=-?，由 A（0，）可得 A=2?3故答案为：2?315设 F1，F2分别是双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使 F1PF260，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为?【分析】根据点P 为双曲线上一点，F1PF260，且|PF1|2|PF2|，推出 P 的位置，然后求解双曲线的离心率解：F1，F2分别是双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使 F1PF260，且|PF1|2|PF2|，可知：PF2F1F2，|PF2|=?2?，tanF1PF2=2?2?=?，即 2ac=?（c2a2），可得?e2 2e-?=0，e 1，e=?故答案为：?16正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，F 是侧面 CDD1C1上的动点，且 B1F平面 A1BE，记 B1与 F 的轨迹构成的平面为?F，使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 24，12 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为2?正方体 ABCD A1B1C1D1的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个其中正确命题的序号是（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC1和 C1D1的中点为M，N，连接MN、MB1、NB1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB1平面 A1BE，从而确定平面MNB1就是平面 当 F 为线段 MN 的中点时，可证明；利用平移的思想，将直线B1F 与直线 BC 所成角转化为B1F 与 B1C1所成的角，由于B1C1平面 MNC1，所以 tanFB1C1即为所求，进而求解即可；平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tanB1QC1即可；由正方体的对称性和二面角的含义即可判断解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC1和 C1D1的中点为M，N，连接MN、MB1、NB1，则MN A1B，MB1EA1，MN、MB1?平面 MNB1，A1B、EA1?平面 A1BE，且 MN MB1M，A1BEA1A1，平面 MNB1平面 A1BE，当 F 在 MN 上运动时，始终有B1F平面 A1BE，即平面MNB1就是平面 对于 ，当 F 为线段 MN 的中点时，MB1NB1，B1FMN，MN CD1，B1FCD1，即 正确；对于 ，BCB1C1，直线B1F 与直线 B1C1所成的角即为所求，B1C1平面 MNC1，C1F?平面 MNC1，B1C1C1F，直线 B1F 与直线 B1C1所成的角为FB1C1，且 tanFB1C1=?1?1?1，而 FC1的取值范围为22，?，B1C12，所以 tan FB1C1 24，12，即 正确；对于 ，平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所求，取 MN 的中点 Q，因为 B1C1平面 MNC1，所以 B1QC1就是所求角，而 tan B1QC1=?1?1?1=222=?，即 正确；对于 ，由对称性可知，与所成的锐二面角相等的面有平面BCC1B1，平面 ADD1A1，平面 A1B1C1D1，平面 ABCD，即 正确故答案为：三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知 an是公差为1 的等差数列，数列bn满足 b11，b2=12，anbn+1+bn+1nbn（1）求数列 bn的通项公式；（2）设 cn=12?，求数列 cn的前 n 项和 Sn【分析】（1）先由题设条件求得a1，再求an，进而论证数列nbn是常数列，最后求得bn；（2）先由（1）求得 cn，再由错位相减法求Sn解：（1）由已知得：a1b2+b2b1，a1 1又 an是公差为1 的等差数列，annanbn+1+bn+1nbn，（n+1）bn+1nbn，所以数列 nbn是常数列，nbnb11，bn=1?；（2）由（1）得：cn=12?=n?（12）n，Sn112+2（12）2+3（12）3+n?（12）n，又12Sn1（12）2+2（12）3+3（12）4+n?（12）n+1，由 可得：12Sn=12+（12）2+（12）3+（12）nn?（12）n+1=121-(12)?1-12-n?（12）n+11（n+2）?（12）n+1，Sn2（n+2）?（12）n18垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间25，85上的 50 人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）75，85）频数510101555了解4581221（1）填写下面2x2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解ac不了解bd合计（2）若对年龄在 45，55），25，35）的被调研人中各随机选取2 人进行深入调研，记选中的 4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望参考公式和数据K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中 na+b+c+dP（K2k0）0.100.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值解：（1）根据题意填写2x2 列联表，年龄低于65 岁的人数年龄不低于65 岁的人数合计了解a 29c332不了解b 11d 718合计401050计算 K2=50(29 7-11 3)240 10 32 186.2726.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为以65 岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；计算 P（X0）=?82?42?102?52=84225，P（X 1）=?82?41+?81?21?42?102?52=104225，P（X 2）=?81?21?41+?22?42?102?52=35225，P（X 3）=?22?41?102?52=2225；所以随机变量X 的分布列为：X0123P84225104225352252225所以 X 的数学期望为E（X）084225+1104225+235225+32225=4519如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知四边形AA1C1C 为矩形，AA16，ABAC4，BAC BAA160，A1AC 的角平分线AD 交 CC1于 D（）求证：平面BAD 平面 AA1C1C；（）求二面角AB1C1A1的余弦值【分析】（）过点D作DEAC交AA1于E，连接CE，BE，设ADCEO，连接BO，推导出DE AE，四边形AEDC 为正方形，CEAD，推导出 BAC BAE，从而 BCBE，CEBO，从而 CE平面 BAD，由此能证明平面BAD 平面 AA1C1C（）推导出BOAD，BOCE，从而 BO平面 AA1C1C，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角AB1C1A1的余弦值解：（）如图，过点D 作 DE AC 交 AA1于 E，连接 CE，BE，设 AD CEO，连接 BO，ACAA1，DE AE，又 AD 为 A1AC 的角平分线，四边形AEDC 为正方形，CEAD，又 ACAE，BAC BAE，BABA，BAC BAE，BCBE，又 O 为 CE 的中点，CEBO，又 AD，BO?平面 BAD，AD BOO，CE平面 BAD 又 CE?平面 AA1C1C，平面BAD 平面 AA1C1C（）在 ABC 中，ABAC4，BAC 60，BC 4，在 Rt BOC 中，?=12?=?，?=?，又 AB4，?=12?=?，BO2+AO2AB2，BOAD，又 BOCE，ADCEO，AD，CE?平面 AA1C1C，BO平面 AA1C1C，故建立如图空间直角坐标系Oxyz，则 A（2，2，0），A1（2，4，0），C1（2，4，0），?(?，?，?)，?=(?，?，?)，?=(-?，?，?)，?=(?，?，?)，设平面 AB1C1的一个法向量为?=(?，?，?)，则?，-?+?=?+?+?=?，令 x16，得?=(?，?，-?)，设平面 A1B1C1的一个法向量为?=(?，?，?)，则?，?=?+?+?=?，令?=?，得?=(?，?，-?)，?，?=?|?|?|?|=92102?3=31717，故二面角 AB1C1A1的余弦值为3171720已知椭圆C：?2?+?2?=?（ab0）的焦距为2，且过点(?，32)（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点O 为 BMN 的重心，求点O 到直线 MN 距离的最小值【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分 B 的纵坐标为0 和不为 0 两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得 MN 的中点的坐标，设M，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出 O 到直线 MN 的距离的表达式，再由 B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值解：（1）由题意可得：?=?1?2+94?2=?=?-?，解得：a24，b2 3，所以椭圆的方程为：?24+?23=1；（2）设 B（m，n），记线段MN 中点 D，因为 O 为 BMN 的重心，所以?=2?，则点 D 的坐标为：（-?2，-?2），若 n 0，则|m|2，此时直线MN 与 x 轴垂直，故原点 O 到直线 MN 的距离为|?|2，即为 1，若 n 0，此时直线MN 的斜率存在，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2 m，y1+y2 n，又?124+?123=1，?224+?223=1，两式相减(?1+?2)(?1-?2)4+(?1+?2)(?1-?2)3=0，可得：kMN=?1-?2?1-?2-3?4?，故直线 MN 的方程为：y=-3?4?（x+?2）-?2，即 6mx+8ny+3m2+4n20，则点 O 到直线 MN 的距离 d=|3?2+4?2|36?2+64?2，将?24+?23=1，代入得d=3?2+9，因为 0n23，所以 dmin=32，又 321，故原点 O 到直线 MN 的距离的最小值为 3221已知函数f（x）xlnx ax2（a 一、选择题）（1）讨论函数的极值点个数；（2）若 g（x）f（x）x 有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与 x1?x2的大小关系并证明【分析】（1）先求出f（x）lnx+x?1?-2ax lnx2ax+1（x0），令 f（x）0，得2a=1+?，记 Q（x）=1+?，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与 y2a 的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，且Q（x）maxQ（1）1，对 a 分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）xlnx ax2x，g（x）lnx2ax（x0），令 g（x）0，则 lnx2ax0，所以 2a=?，记 h（x）=?，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，h（x）max h（e）=1?，当 x e时，f（x）0，所以当 0 2a1?即 1a12?时 g（x）有 2 个极值点x1，x2，从而得到?=?(?1?2)?1+?2，所以 ln（x1+x2）ln（x1x2），即 x1+x2x1x2解：（1）f（x）lnx+x?1?-2ax lnx2ax+1（x0），令 f（x）0，得 2a=1+?，记 Q（x）=1+?，则 Q（x）=-?2，令 Q（x）0，得 0 x1；令 Q（x）0，得 x1，Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，且Q（x）maxQ（1）1，当 2a 1，即 a12时，f（x）0 无解，f（x）无极值点，当 2a 1，即 a=12时，f（x）0 有一解，2a1+?，即 lnx2ax+10，f（x）0 恒成立，f（x）无极值点，当 02a1，即 0a12时，f（x）0 有两解，f（x）有 2 个极值点，当 2a 0，即 a0 时，f（x）0 有一解，f（x）有一个极值点，综上所述：当a12时，f（x）无极值点；0a12时，f（x）有 2 个极值点；当 a 0时，f（x）有 1个极点；（2）g（x）xlnx ax2x，g（x）lnx2ax（x0），令 g（x）0，则 lnx 2ax0，2a=?，记 h（x）=?，则 h（x）=1-?2，由 h（x）0 得 0 xe，由 h（x）0，得 xe，h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，h（x）maxh（e）=1?，当 xe时，f（x）0，当 02a1?即 1a12?时 g（x）有 2 个极值点x1，x2，由?=?=?得，ln（x1x2）lnx1+lnx22a（x1+x2），?=?(?1?2)?1+?2，不妨设 x1 x2，则 1x1ex2，x1+x2 x2e，又 h（x）在（e，+）上是减函数，?(?1+?2)?1+?2?2?2=2a=?(?1?2)?1+?2，ln（x1+x2）ln（x1x2），x1+x2 x1x2（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知曲线C 的极坐标方程是 6cos 0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点 M（0，2），倾斜角为34?（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求1|?|+1|?|的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）曲线 C 的极坐标方程是 6cos 0，转换为直角坐标方程为（x3）2+y29直线 l 过点 M（0，2），倾斜角为34?整理得参数方程为?=-22?=?+22?（t 为参数）（2）将直线 l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(-22?-?)?+(?+22?)?=?，整理得?+?+?=?，所以：?+?=-?，t1t24，所以求1|?|+1|?|=|?1+?2|?1?2|=5 24选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x2a|（1）若 a1，解不等式f（x）4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m22m+4f（x），求实数a 的取值范围【分析】（1）将 a1 代入 f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）4 即可；（2）根据条件可知，m22m+4 的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和 m22m+4 的取值范围，再求出a 的范围解：（1）当 a1 时，f（x）|x+1|+|x2|=?-?，?，-?-?+?，?-?f（x）4，?-?或-?或?-?-?+?，?52或 1x2 或-32?-?，-32?52，不等式的解集为x|-32?52（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 m22m+4f（x），m22m+4 的取值范围是f（x）值域的子集f（x）|x+1|+|x2a|2a+1|，f（x）的值域为|2a+1|，+），又 m2 2m+4（m1）2+33，|2a+1|3，2a 1，实数 a的取值范围为2，1