2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816024522).pdf
第 1 页 共 13 页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若21cos222Abc.（1）求角 C；（2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求cos ABM.18在四棱锥PABCD中，ADBC，12ABBCCDAD，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD.（）求证：CD平面GAC；（）求二面角PAGC大小的正弦值.19设函数()sin,(0,),2f xaxx xa为常数(1)若函数fx在0,2上是单调函数，求a的取值范围；(2)当1a时，证明31()6f xx.第 2 页 共 13 页20某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型byax和指数函数模型dxyce分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.296.54xye，ln y与x的相关系数10.94r.参考数据（其中1iiux）：81iiiu yu2u821iiu81iiy821iiy0.616185.52e183.40.340.1151.5336022385.561.40.135（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为 10 千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100 元，则签订9 千件订单的概率为0.8，签订 10 千件订单的概率为0.2；若单价定为90 元，则签订10 千件订单的概率为0.3，签订 11 千件订第 3 页 共 13 页单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100 元还是 90 元，请说明理由.参考公式：对于一组数据11,u，22,u，,nnu，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221niiiniiunuunu，au，相关系数1222211niiinniiiiunurunun.21 已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆 C1过点31,2G，抛物线2C的顶点为原点(1)求椭圆 C1和抛物线C2的方程；(2)设点 P 为抛物线C2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中 A、B 为切点设直线 PA，PB 的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；若直线 AB 交椭圆 C1于 C，D 两点，SPAB，SPCD分别是 P AB，PCD 的面积，试问：PABPCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.第 4 页 共 13 页22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是222813(1)1kxkkyk（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()3 24（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围23已知,a b c为正数,且2abc,证明:(1)43abbcac；(2)2228abcbca.第 5 页 共 13 页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若21cos222Abc.（1）求角 C；（2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求cos ABM.【解】（1）由题1cos1cos222AbbAcccossinsinsin()sincoscossinACBACACACsincos0AC又(0,)sin0cos02AACC（2）记ABM，则MBC，在Rt MCB中，cosCB，在Rt ACB中，cosBCABCAB，即coscos26即2cos2cos163cos4或23（舍）3cos4ABM.18在四棱锥PABCD中，ADBC，12ABBCCDAD，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD.（）求证：CD平面GAC；（）求二面角PAGC大小的正弦值.【解】（）取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH.第 6 页 共 13 页ADBC，12ABBCCDAD四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形OBAC，OBCDCDACPAD为等边三角形，O为AD中点POAD平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD.PO平面PAD且POADPO平面ABCDCD平面ABCDPOCDH，G分别为OB，PB的中点 GHPOGHCD又 GHACHAC，GH平面GACCD平面GAC（）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，OD，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设4AD，则0,0,2 3P，0,2,0A，3,1,0C，0,2,0D，31,322G.0,2,2 3AP，3 3,322AG.设平面PAG的一法向量(,)nx y z.由00n APn AG22 30333022yzxyz3yzxz.令1z，则1,3,1n.由（）可知，平面AGC的一个法向量3,1,0CD.二面角PAGC的平面角的余弦值2 315cos52 5n CDn CD.第 7 页 共 13 页二面角PAGC大小的正弦值为105.19设函数()sin,(0,),2f xaxx xa为常数(1)若函数fx在0,2上是单调函数，求a的取值范围；(2)当1a时，证明31()6f xx.【解】（1）由sinfxaxx得导函数cosfxax，其中0cos1x.当1a时，0fx恒成立，故sinfxaxx在0,2上是单调递增函数，符合题意；当0a时，0fx恒成立，故sinfxaxx在0,2上是单调递减函数，符合题意；当01a时，由cos0fxax得cosxa，则存在00,2x，使得0cosxa.当00 xx时，00fx，当02xx时，00fx，所以fx在00,x上单调递减，在0,2x上单调递增，故fx在0,2上是不是单调函数，不符合题意.综上，a的取值范围是,01,.（2）由（1）知当1a时，sin00fxxxf，即sinxx，故22sin22xx.令3311sin,0,662g xfxxaxxxx，则22222111cos12sin12122222xxgxaxxaxaxa，第 8 页 共 13 页当1a时，10gxa，所以g x在0,2上是单调递减函数，从而00g xg，即316fxx.20某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型byax和指数函数模型dxyce分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.296.54xye，ln y与x的相关系数10.94r.参考数据（其中1iiux）：81iiiu yu2u821iiu81iiy821iiy0.616185.52e183.40.340.1151.5336022385.561.40.135（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为 10 千件时每件产品的非原料成本；第 9 页 共 13 页（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100 元，则签订9 千件订单的概率为0.8，签订 10 千件订单的概率为0.2；若单价定为90 元，则签订10 千件订单的概率为0.3，签订 11 千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100 元还是 90 元，请说明理由.参考公式：对于一组数据11,u，22,u，,nnu，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221niiiniiunuunu，au，相关系数1222211niiinniiiiunurunun.【解】（1）令1ux，则byax可转化为yabu，因为360458y，所以8182218183.480.3445611001.5380.1150.?618iiiiiu yuybuu，则45100 0.3411aybu，所以11 100yu，所以y关于x的回归方程为10011yx；（2）y与1x的相关系数为：8128822221161610.9961.40.616185.588iiiiiiiu ynuyruuyy，因为12rr，所以用反比例函数模型拟合效果更好，当10 x时，100112110y（元），所以当产量为10 千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）当产品单价为100元，设订单数为x千件：因为签订9 千件订单的概率为0.8，签订 10 千件订单的概率为0.2，所以90.8 10 0.29.2E x，第 10 页 共 13 页所以企业利润为1001009.29.221626.89.2（千元），当产品单价为90元，设订单数为y千件：因为签订10 千件订单的概率为0.3，签订 11 千件订单的概率为0.7，所以10 0.3 11 0.710.7E y，所以企业利润为10.10090710.710.721638.3（千元），故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.21 已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆 C1过点31,2G，抛物线2C的顶点为原点(1)求椭圆 C1和抛物线C2的方程；(2)设点 P 为抛物线C2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中 A、B 为切点设直线 PA，PB 的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；若直线 AB 交椭圆 C1于 C，D 两点，S PAB，S PCD分别是 P AB，PCD 的面积，试问：PABPCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.【解】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p,所以2p,所以抛物线2C的标准方程为24yx,设椭圆方程为22221xyab,则1c且222211914abab,解得224,3ab,第 11 页 共 13 页所以椭圆1C的方程为:22143xy.(2)证明:设(1,)Pt,过点P与抛物线24yx相切的直线为(1)ytk x,由2(1)4ytk xyx,消去x得24440tyykk,由=244()4(4)0tkk,得210ktk,则121k k.设1122(,),(,)A xyB xy由 得112,yk222yk,则12221211,xxkk,所以直线AB的方程为211121()yyyyxxxx,所以211222122(1)11kkyyxkk,即122(1)yxkk,即直线AB恒过定点(1,0),设点P到直线AB的距离为d,所以PABPCDSS1|21|2dABABCDdCD,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为(1)yk x,设3344(,),(,)C xyD xy,由24(1)yxyk x,消去y得2222(24)0k xkxk,0k时,0 恒成立,22222141616|(1)()(1)kABkxxkk224(1)kk,第 12 页 共 13 页由22143(1)xyyk x消去y得2222(34)84120kxk xk,0恒成立,则22223422144 144|(1)()(1)(34)kCDkxxkk2212(1)34kk.所以22224(1)12(1)34PABPCDkSkkSk22234144333kkk,当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为1x,此时|4AB,|3CD,PABPCDSS43,所以PABPCDSS的最小值为43.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是222813(1)1kxkkyk（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()3 24（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围【解】（1）222241:131xkkCykk，平方后得221169xy，又263(3,31yk，C的普通方程为221(3)169xyycos()3 24，即cossin6，将cos,sinxy代入即可得到:6lxy（2）将曲线C化成参数方程形式为4cos3sinxy（为参数），第 13 页 共 13 页则4cos3sin65cos()622d，其中3tan4，所以211 222d23已知,a b c为正数,且2abc,证明:(1)43abbcac；(2)2228abcbca.【解】(1)将 a+b+c2 平方得:2222224abcababac，由基本不等式知:2222222,2,2abab bcbc acac，三式相加得:222abcabbcac，则2224222333abcabbcacabbcac所以43abbcac，当且仅当abc23时等号成立(2)由22abcbcbbb，同理2222,bacaccbabacccaaa则2222228abcbcacbabcabca，即2228abcbca当且仅当23abc时等号成立
