2020年广东省广州市高考(文科)数学二模试卷(解析版).pdf

2020 年广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1若集合Ax|2x0，Bx|0 x1，则 AB（）A0，2B0，1C1，2D1，22已知 i 为虚数单位，若z?（1+i）2i，则|z|（）A2B?C1D 223已知角的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点P（2，1）在角的终边上，则tan （）A2B12C-12D 24若实数x，y满足?+?+?-?，则 z2xy 的最小值是（）A2B52C4D65已知函数f（x）1+x3，若 a R，则 f（a）+f（a）（）A0B2+2a3C2D22a36若函数f（x）Asin（2x+）（A0，0?2）的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A（-?12，0）是函数f（x）图象的一个对称中心B函数 f（x）的图象关于直线x=?3对称C函数 f（x）在区间-?3，?3上单调递增D函数 f（x）的图象可由yAsin 2x 的图象向左平移?6个单位得到7周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0ar），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为（）A?2(1-?)?2B?2(1+?)?2C?(1-?)?D?(1+?)?8在三棱柱ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点F 是侧面 ACC1A1（包括边界）上一点，若EF平面 BCC1B1，则动点F 的轨迹是（）A线段B圆弧C椭圆的一部分D抛物线的一部分9已知函数?(?)=?，?-?，?，则 f（x）f（x+1）的解集为（）A（1，+）B（1，1）C(-12，+)D(-12，?)10 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c 3，B2C，则 cosC 的值为（）A 35B 34C 33D 3211若关于x 的不等式2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立，则a 的最小整数值是（）A0B1C2D312过双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 P，与双曲线交于点A，若?=3?，则双曲线C 的渐近线方程为（）Ay 2xBy xCy12xDy25x二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知向量?=（k，1），?=（4，2），若?与?共线，则实数k 的值为14已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310，则 S415斜率为33的直线1 过抛物线y22px（p0）的焦点，若直线1 与圆（x2）2+y24相切，则p16正四棱锥PABCD 的底面边长为2，侧棱长为2?，过点 A 作一个与侧棱PC 垂直的平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为，平面 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n+2）（n N*）（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn=?4?，求数列 bn的前 n 项和 Tn18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1O（1）求证：B1CAB；（2）若 CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为1，且点 A 在侧面 BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥ABB1C 的表面积19全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30 名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1 名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x 表示），已知这30 名职工的健康指数的平均数为76.2（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30 名职工中随机抽取5 人，再从抽取的5 人中随机抽取2 人，求抽取的2 人都是男职工的概率；（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）20已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）过点 A（2，0），且离心率为12（1）求椭圆 C 的方程；（2）若斜率为k（k0）的直线1 与椭圆 C 交于不同的两点M，N，且线段 MN 的垂直平分线过点（18，0），求 k 的取值范围21已知函数f（x）lnx sinx，记 f（x）的导函数为f（x）（1）若 h（x）ax+1?-f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 x（0，2），试判断函数f（x）的极值点个数，并说明理由（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为?=?=?+?（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2=41+3?2?（1）写出曲线C1和 C2的直角坐标方程；（2）已知 P 为曲线 C2上的动点，过点 P 作曲线 C1的切线，切点为 A，求|PA|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|2x2|的最大值为M，正实数a，b 满足 a+bM（1）求 2a2+b2的最小值；（2）求证：aabbab参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合Ax|2x0，Bx|0 x1，则 AB（）A0，2B0，1C1，2D1，2【分析】求出集合A，利用交集定义能求出AB解：集合Ax|2x 0 x|x2，Bx|0 x 1，ABx|0 x 10，1故选：B2已知 i 为虚数单位，若z?（1+i）2i，则|z|（）A2B?C1D 22【分析】由已知条件，结合复数的运算可得z1+i，由模长公式可得答案解：z?（1+i）2i，z=2?1+?=2?(1-?)(1+?)(1-?)=2+2?2=1+i，故|z|=?+?=?故选：B3已知角的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点P（2，1）在角的终边上，则tan （）A2B12C-12D 2【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可解：点P（2，1）在角 的终边上，tan =-12=-12，故选：C4若实数x，y满足?+?+?-?，则 z2xy 的最小值是（）A2B52C4D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z2xy 的最小值解：实数x，y 满足?+?+?-?，边表示的可行域如图：化简 z2xy 为 y2x z，z 是直线的截距，故当 z2xy 过点 A 时，截距取得最大值，此时z 有最小值，由?+?=?+?-?=?解得 A（32，12）故目标函数z2xy 的最小值为232-12=52；故选：B5已知函数f（x）1+x3，若 a R，则 f（a）+f（a）（）A0B2+2a3C2D22a3【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（a）与 f（a）的表达式，进而计算可得答案解：根据题意，函数f（x）1+x3，则 f（a）1+a3，f（a）1+（a）31a3，则有 f（a）+f（a）2；故选：C6若函数f（x）Asin（2x+）（A0，0?2）的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A（-?12，0）是函数f（x）图象的一个对称中心B函数 f（x）的图象关于直线x=?3对称C函数 f（x）在区间-?3，?3上单调递增D函数 f（x）的图象可由yAsin 2x 的图象向左平移?6个单位得到【分析】先由图象可知A 2，再把点（5?12，?）代入函数解析式，结合0?2，可求得?=?6，从而确定函数的解析式为f（x）=?(?+?6)然后根据正弦函数的中心对称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可解：由图可知，A2，函数 f（x）经过点（5?12，?），?=?(?5?12+?)，5?6+?=?，?，即?=?-5?6，?，0?2，k 1，?=?6函数 f（x）=?(?+?6)令?+?6=?，?，则?=-?12+?2，?，当 k0 时，对称中心为(-?12，?)，即 A 正确；令?+?6=?2+?，?，则?=?6+?2，?，不存在k 使其对称轴为x=?3，即 B错误；令?+?6-?2+?，?2+?，?，则?-?3+?，?6+?，?，当 k0 时，单调递增区间为-?3，?6?-?3，?3，即 C 错误；y2sin2x 的图象向左平移?6个单位得到y2sin2（x+?6）=?(?+?3)f（x），即 D错误故选：A7周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0ar），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为（）A?2(1-?)?2B?2(1+?)?2C?(1-?)?D?(1+?)?【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p，则 可求解：圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆?r2；正方形边长为acm，面积为S正方形a2在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p=?圆-?正方形?圆=1-?2?2，则=?2(1-?)?2故选：A8在三棱柱ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点F 是侧面 ACC1A1（包括边界）上一点，若EF平面 BCC1B1，则动点F 的轨迹是（）A线段B圆弧C椭圆的一部分D抛物线的一部分【分析】分别取AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF，可得 N，E，M，F 共面，且可得使EF 平面 BCC1B1，所以 F 在线段 FN 上解：分别取AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF，因为 E 为 AB 的中点，可得NE BC 且 NE=12?，FMB1C1，MF=12B1C1，所以 N，E，M，F 共面，所以可得ME BB1，BE BC，而 NE ME E，BCBB1B，所以面NEMF 面 BC1，而 EF?面 MN，所以 EF面BC1，所以要使EF平面 BCC1B1，则动点F 的轨迹为线段FN 故选：A9已知函数?(?)=?，?-?，?，则 f（x）f（x+1）的解集为（）A（1，+）B（1，1）C(-12，+)D(-12，?)【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围解：函数?(?)=?，?-?，?，则 f（x）f（x+1），当 x1 时，不等式f（x）f（x+1），即 x2 1（x+1）21，求得-12x1当 x1 时，不等式f（x）f（x+1），即log2xlog2（x+1），求得x1综上可得，不等式的解集为（-12，+），故选：C10 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c 3，B2C，则 cosC 的值为（）A 35B 34C 33D 32【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得b6cosC，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得a2c6，进而根据余弦定理即可求解cosC的值解：c3，B 2C，sinBsin2C2sinCcosC，由正弦定理?=?，可得?2?=?，可得 b6cosC，bcosC+ccosB62c，由正弦定理可得sinBcoC+sinCcosB2sinC，可得sin（B+C）sinA2sinC，可得 a2c6，cosC=?2+?2-?22?=36+36?2?-92 6 6?，可得 cos2C=34，c a，C 为锐角，解得 cosC=32故选：D11若关于x 的不等式2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立，则a 的最小整数值是（）A0B1C2D3【分析】问题等价于a?+?-1212?2+?在（0，+）恒成立，令 g（x）=?+?-1212?2+?，求出 g（x）的最大值，求出a 的范围即可解：若关于x 的不等式2lnx ax2+（2a2）x+1 恒成立，问题等价于a?+?-1212?2+?在（0，+）恒成立，令 g（x）=?+?-1212?2+?，则 g（x）=(?+1)(32-12?-?)(12?2+?)2，令 h（x）=32-12x lnx，（x0），则 h（x）=-12-1?0，故 h（x）在（0，+）递减，不妨设 h（x）0 的根是 x0，则 lnx0=32-12x0，则 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）递增，x（x0，+）时，g（x）0，g（x）递减，g（x）maxg（x0）=?0+?0-1212?02+?0=1+12?0?0(1+12?0)=1?0，h（1）10，h（2）=12-ln20，1x02，121?01，a1，a 的最小整数值是1，故选：B12过双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 P，与双曲线交于点A，若?=3?，则双曲线C 的渐近线方程为（）Ay 2xBy xCy12xDy25x【分析】由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为?=?，求得直线F2P：y=-?(?-?)与已知渐近线方程联立求得P 的坐标，再由向量等式求得A 的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C 的渐近线方程解：如图，不妨设一条渐近线方程为?=?，则 F2P 所在直线的斜率为-?，直线 F2P：y=-?(?-?)联立?=?=-?(?-?)，解得 P（?2?，?）设 A（x0，y0），由?=3?，得（?2?-?，?）3（x0c，y0），解得 A（?2+2?23?，?3?）代入?2?2-?2?2=1，得(?2+2?2)29?2?2-?2?29?2?2=?，整理得：?=12双曲线C 的渐近线方程为y12?故选：C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知向量?=（k，1），?=（4，2），若?与?共线，则实数k 的值为2【分析】根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得2k（1）（4）4，解可得 k 的值，即可得答案解：根据题意，向量?=（k，1），?=（4，2），若?与?共线，则有2k（1）（4）4，解可得k2；故答案为：214已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310，则 S430【分析】设等比数列an的公比为q，由 a2 4，a1+a310，可得：4?+4q10，及其等比数列 an是单调递增数列，解得q再利用求和公式即可得出解：设等比数列an的公比为q，a2 4，a1+a310，4?+4q10，化为：2q2 5q+20，解得 q2 或12等比数列 an是单调递增数列，q2a1=42=2则 S4=2(1-24)1-2=30故答案为：3015斜率为 33的直线1 过抛物线y22px（p0）的焦点，若直线1 与圆（x2）2+y24相切，则p12【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可解：斜率为 33的直线 l 过抛物线C：y22px（p0）的焦点F（?2，0），直线 l 的方程：?yx-?2，若 l 与圆 M：（x2）2+y24 相切，可得：|2-?2|3+1=2，解得 p12，故答案为：1216正四棱锥PABCD 的底面边长为2，侧棱长为2?，过点 A 作一个与侧棱PC 垂直的平面 ，则平面被此正四棱锥所截的截面面积为4 33，平面 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为12（或 2）【分析】由已知得PAC 为正三角形，取PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG=?然后证明AGEF，且求得AG 与 EF 的长度，可得截面四边形的面积；再求出四棱锥PAEGF 的体积与原正四棱锥的体积，则平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求解：如图，在正四棱锥PABCD 中，由底面边长为2，侧棱长为?，可得 PAC 为正三角形，取PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG=?设过 AG 与 PC 垂直的平面交PB 于 E，交 PD 于 F，连接 EF，则 EGPC，FGPC，可得 RtPGERt PGF，得 GEGF，PE PF，在 PAE 与 PAF 中，由 PAPA，PEPF，APE APF，得 AEAFAGEF在等腰三角形PBC 中，由 PBPC2?，BC2，得 cosBPC=8+8-422222=34，则在 Rt PGE 中，得 PE=?=234=423同理 PF=423，则 EFDB，得到 EF=423?四边形?=12?=12?423=433；则?-?=13433?=469又?-?=13?=463，平面 将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为4 69463-469=12故答案为：4 33；12（或 2）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n+2）（n N*）（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn=?4?，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）由 n 1 时求得a1，当 n2 时，由 Sn n（n+2）（n N*），可得 Sn1（n1）（n+1），由 得an2n+1，再检验当n1 时是否适合，求得an；（2）由（1）求得 bn=?4?=2?+14?，再利用错位相减法求其前n 项和 Tn即可解：（1）由题知：当 n 1 时，有 S1133a1；当 n2 时，由 Snn（n+2）（n N*），可得 Sn1（n1）（n+1），由 得 an2n+1，又 n1 时也适合，故 an2n+1；（2）由（1）知 bn=?4?=2?+14?，Tn314+5(14)?+7（14）3+（2n+1）?（14）n，14?=3(14)?+5（14）3+（2n+1）?(14)?+?，由 可得：34?=34+?(14)?+(14)?+?+(14)?-(?+?)?(14)?+?=34+?(14)21-(14)?-11-14-(?+?)?(14)?+?=1112-6?+113?(14)?+?，所以 Tn=119-6?+119?(14)?18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1O（1）求证：B1CAB；（2）若 CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为1，且点 A 在侧面 BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥ABB1C 的表面积【分析】（1）由侧面 BB1C1C 为菱形，得 B1C BO，再由 ACAB1，O 为 B1C 的中点，得 B1CAO，利用直线与平面垂直的判定可得B1C平面 ABO，从而得到B1C AB；（2）点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点O，即 AO平面 BB1C1C，设 BC2a，由三棱锥 ABB1C 的体积为1 求解 a，再求解三角形可得三棱锥ABB1C 的表面积【解答】（1）证明：侧面BB1C1C 为菱形，B1CBO，又 ACAB1，O 为 B1C 的中点，B1C AO，而 AOBOO，B1C平面 ABO，得 B1C AB；（2）解：点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点O，即 AO平面 BB1C1C，在菱形 BB1C1C 中，CBB160，B1BC 为等边三角形，又 ACBC，设 BC2a，则?=12?=?，AO=?，则?-?=13?=?=?，即 a1在平面 BB1O 中，过 O 作 OEBB1，连接 AE，可得 OE=312=32，则 AE=(?)?+(32)?=152?=12?152=152，同理可得?=152则三棱锥A BB1C 的表面积为?=?152+?12?=?+?19全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30 名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1 名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x 表示），已知这30 名职工的健康指数的平均数为76.2（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30 名职工中随机抽取5 人，再从抽取的5 人中随机抽取2 人，求抽取的2 人都是男职工的概率；（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）【分析】（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（3）根据题意求出x 的值，再计算健康指数的平均数和方差解：（1）根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是12（80+82）81；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30 名职工中随机抽取5 人，男职工抽51830=3（人），记为a、b、c，女职工2 人，记为D、E，从这 5 人中随机抽取2 人，所有的基本事件是ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种，抽取的 2人都是男职工的事件为ab、ac、bc，故所求的概率为P=310；（3）由题意知，8118+1169+x3076.2，解得 x69；所以样本中所有女职工的健康指数平均数为?=（1169+69）1269，方差为 s2=112 11 190+（6969）2174.220已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）过点 A（2，0），且离心率为12（1）求椭圆 C 的方程；（2）若斜率为k（k0）的直线1 与椭圆 C 交于不同的两点M，N，且线段 MN 的垂直平分线过点（18，0），求 k 的取值范围【分析】（1）根据题意得4?2=?=12?=?-?解得 a，b，c，进而写出椭圆的方程（2）设直线l 的方程：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）联立直线l 与椭圆 C 的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1+y2，0，即 m24k2+3，得到线段 MN 中点（-4?3+4?2，3?3+4?2），写出线段 MN 的垂直平分线的方程为y-3?3+4?2=-1?（x+4?3+4?2），将点（18，0）代入，得m=-18?(?+?)，代入 式得 k 的取值范围为解：（1）因为椭圆C 过点 A（2，0），且离心率为12所以4?2=?=12?=?-?解得 a2，b=?，c1，所以椭圆C 的方程为：?24+?23=?（2）设直线 l 的方程：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）联立直线l 与椭圆 C 的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2 120，x1+x2=-8?3+4?2，x1x2=4?2-123+4?2，y1+y2k（x1+x2）+2mk（-8?3+4?2）+2m=6?3+4?2，（8km）24（3+4k2）（4m212）48m2+144+192 k20，即 m24k2+3，所以线段MN 中点（-4?3+4?2，3?3+4?2），所以线段MN 的垂直平分线的方程为y-3?3+4?2=-1?（x+4?3+4?2），又因为线段MN 的垂直平分线过点（18，0），所以-3?3+4?2=-1?（18+4?3+4?2），即 4k2+8km+30，所以 m=-18?(?+?)，代入 式得，(4?2+3)264?2?+?，解得 k510或 k-510，所以 k 的取值范围为（，-510）（510，+）21已知函数f（x）lnx sinx，记 f（x）的导函数为f（x）（1）若 h（x）ax+1?-f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 x（0，2），试判断函数f（x）的极值点个数，并说明理由【分析】（1）只需h（x）0 在（0，+）恒成立，借助于三角函数的有界性，问题可解决（2）分 x（0，1），?(?，?2，?(?2，3?2)，?3?2，?)四种情形分别研究f（x）的单调性，进而得出结论解：（1）?(?)=1?-?，?(?)=?+1?-1?+?=ax+cosx，因为 h（x）是（0，+）上的单调递增函数，h（x）a sinx 0（x0）恒成立，因为sinx 1，1，故 a1 时，h（x）0 恒成立，且导数为0 时不连续故 a1 即为所求（2）由（1）知，?(?)=1?-?，当 x（0，1时，f（x）1cosx 0，此时函数f（x）单调递增，无极值点；当?(?，?2时，则1?2?，?=?(?2-?)，而由三角函数的性质可知，?(?2-?)?2-?2?1?，?(?)=1?-?，此时函数f（x）单调递增，无极值点；当?(?2，3?2)时，cosx0，则?(?)=1?-?，此时函数f（x）单调递增，无极值点；当?3?2，?)时，令?(?)=?(?)=1?-?，则?(?)=-1?2+?，函数 g（x）单调递减，又?(3?2)=23?，?(?)=12?-?，存在唯一的?(3?2，?)，使得 g（x0）0，且当?(3?2，?)时，g（x）f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x0，2）时，g（x）f（x）0，f（x）单调递减，故 x0是函数 f（x）的极大值点，综上所述，函数f（x）在（0，2）上有且仅有唯一的极大值点，无极小值点一、选择题22在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为?=?=?+?（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2=41+3?2?（1）写出曲线C1和 C2的直角坐标方程；（2）已知 P 为曲线 C2上的动点，过点 P 作曲线 C1的切线，切点为 A，求|PA|的最大值【分析】（1）由?=?=?+?（为参数），消去参数，可得曲线C1的直角坐标方程由2=41+3?2?，得 2+32sin2 4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由P 为曲线C2上的动点，设P（2cos，sin），则P 与圆的圆心的距离d=?+(?-?)?=-?-?+?利用二次函数求最值，再由勾股定理求|PA|的最大值解：（1）由?=?=?+?（为参数），消去参数，可得 x2+（y2）21曲线 C1的直角坐标方程为x2+（y2）21；由 2=41+3?2?，得 2+32sin2 4，即 x2+y2+3y24，即?24+?=?曲线 C2的直角坐标方程为?24+?=?；（2）P 为曲线 C2上的动点，设P（2cos，sin），则 P 与圆的圆心的距离d=?+(?-?)?=-?-?+?要使|PA|的最大值，则d 最大，当sin=-13时，d 有最大值为4 33|PA|的最大值为?-?=163-?=393选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|2x2|的最大值为M，正实数a，b 满足 a+bM（1）求 2a2+b2的最小值；（2）求证：aabbab【分析】（1）由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得f（x）的最大值，即有M 的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证解：（1）函数 f（x）|x+1|2x2|x+1|x1|x1|x+1x+1|11|2，当 x1 时，f（x）取得最大值2，即 M2，正实数 a，b 满足 a+b 2，由柯西不等式可得（2a2+b2）（12+1）（?a?22+b）2，化为 2a2+b2(?+?)232=83，当 b2a=43时，2a2+b2取得最小值83；（2）证明：因为a+b 2，a，b0，要证 aabbab，即证 alna+blnblna+lnb，即证（a1）lna（1b）lnb，即证（1a）ln（2?-1）0，当 0a 1 时，2?-1 1，所以 ln（2?-1）0，由 1a 0，可得（1 a）ln（2?-1）0；当 a1 时，（1a）ln（2?-1）0；当 1a 2 时，02?-11，所以 ln（2?-1）0，因为 1a0，所以（1a）ln（2?-1）0，综上所述，（1a）ln（2?-1）0 成立，即aabbab