2020届江苏省南京十三中、中华中学高三下学期联合调研数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 21 页2020 届江苏省南京十三中、中华中学高三下学期联合调研数学试题一、填空题1已知集合02,1 MxxNx x，则MNI_.【答案】|12xx【解析】根据交集的定义，即得解.【详解】集合02,1MxxNx x根据交集定义，|12MNxxI【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2已知复数21izi，则复数 z 的虚部为 _.【答案】32【解析】根据复数的除法运算，化简得1322zi，进而求得复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数2121311122iiiziiii，所以复数z 的虚部为32.故答案为：32.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000 人、900 人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30 的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_.【答案】9【解析】先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数.第 2 页 共 21 页【详解】解：由题意可得：抽样比3011100 1000900100f，故高三年级应抽取的学生人数为：19009100，故答案为：9.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键.4如图是一个算法的程序框图，当输入的值x 为 8 时，则其输出的结果是_【答案】2【解析】试题分析：x=8 0，不满足条件x0，则执行循环体，依此类推，当x=-10，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y 值即可解：x=80，执行循环体，x=x-3=5-3=2 0，继续执行循环体，x=x-3=2-3=-1 0，满足条件，退出循环体，故输出 y=0.5-1=（12）-1=2故答案为2【考点】当型循环结构点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题5函数1xfxx的定义域是 _【答案】1,00,【解析】由根式内部的代数式大于等于0 且分式的分母不等于0 联立不等式组求解x的取值集合得答案第 3 页 共 21 页【详解】由1 00 xx，得1x且0 x函数1xfxx的定义域为：1,00,；故答案为1,00,【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型6小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是_【答案】710【解析】分析：先求出基本事件总数2510C，A、B,2 首歌曲至少有1 首被播放的对立事件是A、B 2 首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B,2 首歌曲至少有1 首被播放的概率详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数2510C，A、B 2 首歌曲都没有被播放的概率为：2325310CC，故 A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是 1-371010，故答案为710点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用7已知双曲线22214xyb的右焦点与抛物线212yx的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 _.【答案】52yx【解析】求出抛物线的焦点坐标，根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标，结合双曲线标准方程中,a b c之间的关系求出b的值，最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为抛物线212yx的焦点坐标为(3,0)，所以双曲线22214xyb的右焦点也是(3,0)，第 4 页 共 21 页即3c，而2222945cabbb，所以该双曲线的渐近线方程为52yx.故答案为：52yx【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了抛物线的焦点，考查了数学运算能力.8设()f x 是奇函数，且在(0,)内是增函数，又(3)0f，则()0 xf x的解集是 _【答案】|30 xx或03x【解析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式0fx和0fx的解，然后将不等式0 x fx转化为00 xfx或00 xfx进行求解.【详解】fxQ是奇函数，且在0,内是增函数，fx在,0内是增函数，330,30fffQ，则当30 x或3x时，0fx，当03x或3x时，0fx，则不等式0 xfx等价为：00 xfx，或00 xfx，由 得003,3xxx，解得03x，第 5 页 共 21 页由 得得030,3xxx，解得30 x，综上，03x或30 x，故答案为|30 xx或03x.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9若数列为等差数列，且18153120aaa，则9102aa的值等于_.【答案】【解析】【详解】因为1815113535120724aaaadad，所以91012724aaad，故答案为24.10如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AEABACu uu vuuu vuuu v，则的值为 _.【答案】12【解析】由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：1122AEACCEACABu uu vuu u vuuu vuu u vuuu v则的值为：12故答案为1211已知圆O：221xy，圆N：2221xaya.若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线.切点为,A B，使得60AQBo，则实数a的取值范围是_第 6 页 共 21 页【答案】14141,122【解析】由已知可得问题转化为圆N和圆224xy有公共点，从而根据几何法即可求出答案【详解】解：已知有2QO，即点Q的轨迹方程为圆T：224xy，问题转化为圆N和圆T有公共点，则22123aa，故14141122a，故答案为：14141,122【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，属于基础题12已知x，0y，29xyxy，则2xy的最小值为 _【答案】2 3【解析】设xm，xyn,由条件可得29mnmn，而2224xymnmnmn代换后用均值不等式求最小值.【详解】解：令xm，xyn，则已知得0m，0n，且29mn nm22229994412mn mnmnmnmnmnmnmnmn，当且仅当632m，632n时等号成立，此时22 3xymn故答案为：2 3【点睛】本题考查利用均值不等式求最小值，利用换元法化简变形是本题的难点，属于难题.13已知在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若2 coscosbCcB，则第 7 页 共 21 页111tantantanABC的最小值为_【答案】2 73【解析】先用正弦定理边化角，得 2tantanBC，再结合诱导公式和内角和代换tan A，进而求得最值【详解】由正弦定理2 coscosbCcB可转化为2sincossincosBCCB，两边同时除以cos cosBC可得 2tantanBC，tantantanABCABCABCBC，即2tantan3tantantan1tantan12tanBCBABCBCB则21112tan111272 7=tantantantan3tantan2tan36 tan3BBABCBBBB，当且仅当7tan2B时取到等号；故答案为2 73【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题14已知函数,248,25xexxefxxxx，（其中 e为自然对数的底数），若关于x 的方程22320fxa fxa恰有 5 个相异的实根，则实数a 的取值范围为_.【答案】2 41,52eU【解析】作出()f x 图象，求出方程的根，分类讨论()fx 的正负，数形结合即可.【详解】当2x,时，令()10 xefxe，解得1x，所以当1x,时，()0fx，则()f x 单调递增，当12x剟时，()0fx，则()f x 单调递减，第 8 页 共 21 页当2x时，4848()555xf xxx单调递减，且()0f x，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a时，方程整理得2()0fx，只有 2 个根，不满足条件；（2）若0a，则当()0fx时，方程整理得22()3()2()2()0fxaf xaf xaf xa，则()20f xa，()0f xa，此时各有1 解，故当()0f x时，方程整理得22()3()2()2()0fxafxaf xaf xa，()2f xa有 1 解同时()f xa有 2 解，即需21a，12a，因为f（2）22212eee，故此时满足题意；或()2f xa有 2 解同时()f xa有 1 解，则需0a，由（1）可知不成立；或()2f xa有 3 解同时()f xa有 0 解，根据图象不存在此种情况，或()2f xa有 0 解同时()f xa有 3 解，则21245aae,，解得245ae,，故2ae，4)5（3）若0a，显然当()0f x时，()2f xa和()f xa均无解，当()0f x时，()2f xa 和()f xa无解，不符合题意综上：a的范围是2e，4)512故答案为：2e，4)512【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考第 9 页 共 21 页查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题二、解答题15已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 asinB=bsin2A.（1）求角 A；（2）若 a=5，ABC 的面积为2 3，求 ABC 的周长.【答案】（1）3；（2）12.【解析】（1）由正弦定理可得：sinAsinB=2sinBsinAcosA，可得cosA的值，可得角A 的大小；（2）由ABC的面积为2 3及角A的值，可得bc的值，由余弦定理可得bc的值，可得ABC的周长.【详解】解：（1）由 asinB=bsin2A 及正弦定理，得sinAsinB=2sinBsinAcosA，因为 sinA0，sinB0，所以1cos2A，又0,A，所以3A.（2）由 ABC 的面积为2 3，得1sin2 32bcA，又3A，所以8bc.在 ABC 中，由余弦定理，得2222cosbcbcAa，因为 a=5，所以2233bc，所以249bc，所以12abc，即 ABC 的周长为12.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，注意灵活运用定理解题.16如图，在直三棱柱111ABCA B C中，ACBC，点 M 为棱11A B的中点.第 10 页 共 21 页（1）求证：AB平面111A B C；（2）求证：平面1C CM平面111A B C.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明11/ABA B，利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）证明111B AC CM平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论.【详解】（1）1111/=AABBAABB，四边形11AA B B是平行四边形，11/ABA B，又11ABA B C平面，1111A BA B C平面，111/ABA B C平面.（2）由（1）证明同理可知11ACAC，11BCB C，ABBC，1111A BB C，M 是11A B的中点，111C MA B，1111CCA B C平面，11111B AA B C平面，111CCB A，又111=CCC MC，111B AC CM平面，又11111B AA B C平面，1111C CMA B C平面平面.第 11 页 共 21 页【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直的判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，属于基础题.17某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，ABC=90，ABCD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点 P 处有一灯塔（如图），且点 P 到 BC，CD 的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD 分成两块，经过灯塔P 增加一道分隔网EF，在 AEF 内试验养殖一种新的水产品，当AEF 的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小设AE=d（1）若 P 是 EF 的中点，求d 的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d 的值，并求 AEF 面积的最小值【答案】（1）4805;（2）对原有水产品养殖的影响最小时，d=4805AEF 面积的最小值为192000 m2【解析】（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出 E 点坐标，从而可计算d；（2）根据基本不等式得出AE?AF 的最小值，进而求出AEF 的面积最小值【详解】解：（1）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）AC 所在直线方程为y=2x，AD 所在直线方程为y=-12x设 E（-2m，m），F（n，2n），m 0，0第 12 页 共 21 页 P 是 EF 的中点，28002800mnmn，解得480160mn，E（-960，480），d=|AE|=22960480=4805（2）EF 经过点 P，kPE=kPF，即4002400mm=2400400nn，化简得80m+240n=mn由基本不等式得：mn=80m+240n1603mn，即mn76800，当且仅当m=3n=480时等号成立 kAC?kAD=-1，ACAD，SAEF=12AE?AF=152m?5n=52mn5276800=192000，此时 E（-960，480），d=AE=4805故对原有水产品养殖的影响最小时，d=4805AEF 面积的最小值为192000 m2【点睛】本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题18如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)xyabab的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段AB的中点，且232OMABbuuuu r uuu r.（1）求椭圆的离心率；（2）已知2a，四边形ABCD内接于椭圆，/AB DC.记直线AD，BC的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.【答案】（1）32（2）见解析【解析】（1）由(,0),(0,)A aBb，由 M 为线段AB的中点得(,)2 2a bM，再根据向量的第 13 页 共 21 页数量积坐标运算得2ab，结合222+abc，可求得离心率；（2）根据/AB CD，故可设DC的方程为12yxm，设1122(,),(,)D x yC xy，直线AD，BC的斜率分别用坐标和m表示，再进行计算，即可得答案.【详解】（1）(,0),(0,)A aBb，由 M 为线段AB的中点得(,)2 2a bM.所以=(,)(,)2 2a bOMABa bu uuu ruu u r，.因为232OMABbu uuu r uuu r，所以2223(,)(,)2 2222a baba bb，整理得224ab，即2ab.因为222+abc，所以2234ac，即32ac.所以椭圆的离心率32cea.（2）由2a得1b，故椭圆方程为2214xy.从而(2,0),(0,1)AB，直线AB的斜率为1-2.因为/AB CD，故可设DC的方程为12yxm，设1122(,),(,)D xyC xy.联立221214yxmxy，消去 y，得222220 xmxm，所以122xxm，从而122xmx.直线AD的斜率111111222xmykxx，直线BC的斜率222221112xmykxx，所以121212121212111111(1)(1)224222(2)xmxmx xmxmxm mkkxxxx第 14 页 共 21 页12121122111()(1)4222x xm xxxm mx xx122122122122111112(2)(1)142242224x xmmmxm mx xxx xxx xx，即12kk为定值14.【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19已知函数2()(2)2f xxax，()ln,g xx aR.（1）若曲线()yg x在1x处的切线恰与曲线()yfx相切，求a 的值；（2）不等式()()f xxg x对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知2a，若函数()()ag(x)2ah xf x在(0,2)上有且只有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）32 3a（2）1ln 2a（3）2ln 2a或1a或02a.【解析】（1）求出切线方程后，再与二次函数联立，利用判别式为0，即可求得a的值；（2）将问题转化为22lnaxxx对任意的0 x恒成立，再利用参变分离和构造函数，即可得答案；（3）由题意得2()(2)ln22h xxaxaxa，(1)(2)()xxah xx，对a分0a和02a两种情况讨论，从而求得a的取值范围.【详解】（1）因为1()g xx，所以(1)1kg，又切点为1,0（），因此曲线()yg x在1x处的切线为1yx，将1yx与2(2)2yxax联立，消去y 得：2(3)30 xax，由题意知2(3)120a，解得32 3a.（2）因为()()f xxg x，所以2(2)2lnxaxxx，第 15 页 共 21 页即22lnaxxx，设2()ln,0 xxx xx，则2(1)(2)()xxxx，当(0,2)x时，()0 x，()x单调递减；当(2+)x，时，()0 x，()x单调递增；因此min()(2)3ln 2x，所以23ln 2a，即1ln 2a.（3）2()()g()2(2)ln22h xfxaxaxaxaxa，(1)(2)()xxah xx，当0a时，当(0,1)x时，()0h x，()h x单调递减；当(1+)x，时，()0h x，()h x单调递增；所以min()(1)1h xha，当10a，即1a时，因为242222()(2)2()2(1e)0h eeaeeea，又(1)10ha，所以()h x在(0,1)上存在唯一的零点，因此()h x在(1,2)上无零点，所以(2)0h即ln 220a，解得2ln 2a又1a，所以2ln 2a.当10a，即1a时，()h x有唯一的零点1x.当10a，即10a时，()0h x恒成立，所以()h x无零点.当02a时，当(0,)2ax时，()0h x，()h x单调递增；当(,1)2ax时，()0h x，()h x单调递减；当(1,+)x时，()0h x，()h x单调递增；第 16 页 共 21 页因为(1)10ha，所以当(,+)2ax，()h x无零点.设220aaxe，则001x，于是000()(2)0h xxxa，又()(1)02ahh，所以()h x在(0,)2a上存在唯一的零点，即()h x在(0,2)上有且只有一个零点，综上可知，2ln 2a或1a或02a.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20已知数列na的各项均为正数，记数列na的前 n 项和为nS，数列2na的前 n项和为nT，且232,nnnTSSnN.（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）若,k tN，且11,ktkS SS SS成等比数列，求k 和 t 的值.【答案】（1）1（2）12,nnanN.（3）2,3kt.【解析】（1）令1n代入递推关系，即可求得1a的值；（2）连续两次利用“临差法”，即多递推一项再相减，从而构造出12nnaa这一递推关系，再利用等比数列通项公式，即可得答案；（3）由（2）可知21nnS，由11,ktkS SS SS成等比数列，可得211()()ktkSSS SS，即2(2222)ktk，再根据等式两边奇、偶数的特点，推理得到 k 和 t 的值.【详解】（1）由211132TSS，得2211132aaa，即2110aa.因为10a，所以1=1a.（2）因为232nnnTSS，所以2+1+1+132nnnTSS，第 17 页 共 21 页，得2222+11+1+1+11+1323()2nnnnnnnnnaSSaaaSSa.因为+10na，所以11232nnnaSS，所以22132nnnaSS，得212133nnnnaaaa，即212nnaa，所以当2n时，12nnaa.又由222232TSS，得222223(1)(1)2(1)aaa，即22220aa.因为20a，所以2=2a，所以212aa，所以对nN，都有12nnaa成立，所以数列na的通项公式为12,nnanN.（3）由（2）可知21nnS.因为11,ktkS SS SS成等比数列，所以211()()ktkSSS SS，即2(2222)ktk，所以22(2)3 24tkk，即21222(2)3 21()tkk.由于10kSS，所以1k，即2k.当2k时，28t，得3t.当3k时，由()，得121(2)3 21kk为奇数，所以20t，即2t，代入()得2-2223 20kk，即23k，此时 k 无正整数解.综上，2,3kt.【点睛】本题考查数列递推关系的应用、等比数列中项性质、数列中的推理问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21已知矩阵00aMb的一个特征值=2，其对应的一个特征向量是11.求矩阵第 18 页 共 21 页M 的另一个特征值以及它的逆矩阵.【答案】2，102102.【解析】将特征值于特征向量代入，可得关于ba、方程，可得ba、的值，求出矩阵M,可求出其另一个特征值，可得其逆矩阵.【详解】解：由题意，2 是矩阵 M 的一个特征值，所以2M，所以0112011ab，所以2ab，由方程22()402f.所以2或2，所以 M 的另一个特征值2.又因为02240，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M.【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是解题的关键.22在极坐标系中，求曲线=2cos关于直线()4R对称的曲线的极坐标方程.【答案】=2sin【解析】将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.【详解】以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线=2cos的直角坐标方程为22(1)1xy，且圆心 C 为(1,0).直线=4的直角坐标方程为yx，第 19 页 共 21 页因为圆心C(1,0)关于yx的对称点为(0)1，所以圆心C 关于yx的对称曲线为22(1)1yx.所以曲线=2cos关于直线=()4R对称的曲线的极坐标方程为=2sin.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23某班图书角有文学名著类图书5 本，学科辅导书类图书3 本，其它类图书2 本，共10本不同的图书，该班从图书角的10本不同图书中随机挑选3本不同图书参加学校活动.（1）求选出的三本图书来自于两个不同类别的概率；（2）设随机变量X 表示选出的3 本图书中，文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）79120（2）见解析，23()20E X【解析】（1）选出的三本书共有31010 9 812032 1C种，再利用古典概型概率求解；（2）由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3，再通过概率计算可得：1(0)4P X，53(1)120P X，13(2)60P X，11(3)120P X，从而写出分布列和计算期望值.【详解】（1）选出的三本书共有31010 9 81203 2 1C种，记选出的三本书来自于两个不同类别为事件A则211221122112535352523232()()()79()120120C CC CC CC CC CC CP A.（2）由题意得X的所有可能取值为0,1,2,31(0)4P X，53(1)120P X，13(2)60P X，11(3)120P X，X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P 1453120136011120第 20 页 共 21 页23()20E X.【点睛】本题考查计数原理和离散型随机变量的分布列和期望，考查逻辑推理能力、数据处理能力.24已知n为给定的正整数，设201223nnnxaa xa xa xL，xR.（1）若4n，求01,aa的值；（2）若13x，求0()nkkknk a x的值.【答案】（1）01681a，13227a.（2）23n【解析】（1）利用二项式定理可求出0a和1a的值；（2）利用组合数公式得出11kknnkCnC，可得出00121213333n kkn kknnnkkkknnkkknk a xnCnC，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为4n，所以0404216C()381a，1314232C()327a；（2）当13x时，21C()()33kkn kkkna x，又因为11!(1)!CC!()!(1)!()!kknnnnkknnknkknk，当1n时，011022()C()33nkkknk a x；当2n时，0021()()C()()33nnkkn kkknkknk a xnk012121C()()C()()3333nnkn kkkn kknnkknk1112121()C()()3333nnknkknknn1111121C()()333nkn kknknn11212()3333nnnn，当1n时，也符合.所以0()nkkknk a x的值为23n.第 21 页 共 21 页【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.
