2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页2020 届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5 月第二次检测数学试题一、填空题1设集合2,0,Mx，集合0,1N，若NM，则x【答案】1【解析】试题分析：由题意1M，所以1x【考点】集合间的关系2某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556.故答案为60.3已知复数z满足341(i zi为虚数单位)，则z的模为 .【答案】15【解析】试题分析：13451341|3425255ii zzzi【考点】复数及模的概念与复数的运算4根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 _.第 2 页 共 15 页【答案】55【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(1 10)1001210552S,应填55.【考点】伪代码语言的理解和运用5现有 5 道试题，其中甲类试题2 道，乙类试题3 道，现从中随机取2 道试题，则至少有 1 道试题是乙类试题的概率为【答案】910【解析】试题分析：从5 道试题中随机取2 道试题，共有10 种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1 中基本事件，因此至少有1 道试题是乙类试题的概率为1911010【考点】古典概型概率6在ABC中，若1AB，2BC，5CA，则AB BCBC CACA AB的值是 _.【答案】5【解析】利用勾股定理可得知ABBC，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BCBC CACA AB的值.【详解】在ABC中，1AB，2BC，5CA，由勾股定理可得222ABBCAC，ABBC，则0AB BC，因此，25AB BCBC CACA ABCAABBCCA ACAC.故答案为：5.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.第 3 页 共 15 页7若实数,x y满足约束条件22,1,1,xyxyxy则目标函数2zxy的最小值为【答案】1【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),ABC直线2zxy过点(0,1)C时取最小值1【考点】线性规划求最值8已知1sin 153，则cos 302的值为 _.【答案】79【解析】由题易得3022(15)，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可.【详解】227cos 302cos 2 1512sin15199.故答案为：79.【点睛】本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9已知等比数列的前项和为，若，则的值是【答案】-2【解析】试题分析：，第 4 页 共 15 页【考点】等比数列性质及求和公式10已知双曲线221yxa的一条渐近线与直线230 xy平行，则离心率e_.【答案】52【解析】由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a，然后离心率【详解】由已知双曲线的渐近线方程为10 xya和10 xya，显然直线10 xya与直线230 xy平行，所以12a，14a，即双曲线方程为22114yx，实半轴长为1a，虚半轴长为12b，半焦距为15142c，所以离心率为52cea故答案为：52【点睛】本题考查双曲线的离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键11一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_倍.【答案】2 3【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r，高为h，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rlrlr，3hr，所以圆柱的侧面积222 3Srlr，其底面积为2r，所以圆柱的侧面积是底面积的2 3倍.【考点】旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重第 5 页 共 15 页考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12已知函数,01,0 xexfxxx，则不等式22fxfx的解集为 _.【答案】2,1【解析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1xyeyx都为单调递增函数，且001efx在R上单调递增，22fxfx，22xx，即220210 xxxx，21x故答案为：2,1【点睛】本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13已知函数(0)xyab b的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为 .【答案】92【解析】试题分析：由图可知，a1，点(1，3)在函数(0)xyab b的图象上，所以 a b31a3，0b24114114114192()(1)()(5)12121212baababababab第 6 页 共 15 页当且仅当72,33ab时取等号【考点】指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14已知直线30 xy与圆222:O xyr0r相交于,M N两点，若3OM ON，圆的半径r_.【答案】6【解析】求出圆心到弦的距离3 2=2d，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)dOMONrr可得【详解】圆心(0,0)到直线30 xy的距离2200+333 2=221+1d.22222coscos2cos1(21)dOMONOMONMONr rMONrMOErr2222292293662drrrrr.故答案为：6【点睛】本题考查直线与圆相交问题解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式二、解答题15设函数sincos464fxxx.（1）求fx的单调增区间；（2）若0,4x，求yfx的值域.第 7 页 共 15 页【答案】（1）单调增区间为：2108,833kkkZ；（2）3,32.【解析】（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间；（2）求出43x的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域【详解】解：（1）33sincossincos3sin464242443fxxxxxx222432kxk，2108833kxk，kZfx的单调增区间为：2108,833kkkZ（2）0,4x，23433x3sin1243xfx的值域为：3,32.【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键16如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,AC BD相交于点O，/EF AB，2ABEF，平面 BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点.（1）求证：直线/OG平面EFCD；（2）求证：直线AC平面ODE.第 8 页 共 15 页【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明OGCD，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC平面ODE内的两条相交直线EO、DO；【详解】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ACBDO，点O是BD的中点，点G为BC的中点，OGCD，又OG平面EFCD，CD平面EFCD，直线OG平面EFCD.（2）BFCF，点G为BC的中点，FGBC.平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC，FG平面ABCD，AC平面ABCD，FGAC，OGAB，12OGAB，EFAB，12BFAB，OGEF，OGEF，四边形EFGO为平行四边形，FGEO，FGAC，FGEO，ACEO，四边形ABCD是菱形，ACDO，ACEO，ACDO，EODOO，EO、DO在平面ODE内，AC平面ODE.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17如图，已知椭圆2222:10 xyCabab，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B两点（,A B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且ADAB.第 9 页 共 15 页（1）若椭圆C的右准线方程为：4x，求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为1k、2k，求12kk的值.【答案】（1）22143xy；（2）1234kk.【解析】（1）根据右准线以及离心率列方程组解得21ac，即得23b，可得椭圆C的方程；（2）利用点差法得22110ADBDkkab，结合ADAB转化为1222111()0kabk再根据离心率可得12kk的值.【详解】（1）2124ceaac，解得：21ac，23b，椭圆方程为：22143xy.（2）设11,A x y，22,D xy，则11,Bxy，,A D在椭圆上22112222222211xyabxyab，1212121222110 xxxxyyyyab22110ADBDkkab，12cea，2234ba，134ADkkADAB，21ADkk，1234314ADADkkkk【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18如图，某小区有一块矩形地块OABC，其中2OC，3OA，单位：百米.已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N.现以点O为坐标原点，以线段OC所第 10 页 共 15 页在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数22 02yxx的图象，若点M到y轴距离记为t.（1）当23t时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【答案】（1）42239yx；（2）63t；面积的最大值为8 669.【解析】（1）把23t代入函数22yx，得M的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444ONDSttt，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案；【详解】解：（1）把23t代入函数22yx，得2 14,39M，2yx，43k，直线方程为42239yx；（2）由（1）知，直线的方程为222ytxt，令0y，122xtt，令0 x，22yt，1222tt，223t.221t，第 11 页 共 15 页231121424224ONDStttttt，令31444g tttt，2222324ttg tt当63t时，0gt，当622,3t时，0gt，当6,13t时，0gt，68 639g tg，所以所求面积的最大值为8 669.【点睛】本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19 若函数yfx在0 xx处取得极大值或极小值，则称x为函数yfx的极值点.已知函数3 ln1fxaxxxaR.（1）当0a时，求fx的极值；（2）若fx在区间1ee,上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值31e；（2）22,0e.【解析】(1)求出3 ln1fxx，令0fx求出方程的解，从而探究,fxfx随x的变化情况，即可求出极值.(2)求出23ln1fxaxx，令2ln1g xaxx，分0a，0a，0a三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a的取值范围.【详解】解：（1）当0a时，3 ln1fxxx的定义域为0,，第 12 页 共 15 页3ln33 ln1fxxx，令0fx，解得1xe，则,fxfx随x的变化如下表，x10,e1e1,efx0fx故fx在10,e上是减函数，在1,e上是增函数；故fx在1xe时取得极小值131fee；（2）函数33 ln1fxaxxx的定义域为0,，23ln1fxaxx，令2ln1g xaxx，则21212axgxaxxx，当0a时，0gx在0,恒成立，故fx在0,上是增函数，而2211113ln130faaeeee，故当1,xee时，0fx恒成立，故fx在区间1ee,上单调递增，故fx在区间1ee,上没有极值点；当0a时，由（1）知，fx在区间1ee,上没有极值点；当0a时，令2210axx，解得12xa或12a（舍去）；故2ln1g xaxx在10,2a上是增函数，在1,2a上是减函数，当10g ege，即220ae时，g x在1ee,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，第 13 页 共 15 页令10ge得20ae，不符合题意；令0g e得22ae，所以11,2eae，而11ln02222eegga，又10ge，所以g x在1ee,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a的取值范围是22,0e.【点睛】本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20已知数列na的前n项和为nS，且对一切正整数n都有212nnSna.（1）求证：*142nnaannN；（2）求数列na的通项公式；（3）是否存在实数a，使不等式2121112311.1221naaaaan，对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）*2nan nN；（3）存在；a的取值范围是3,03,2.【解析】（1）由题得2*12nnSnanN，211112nnSnanN，即得142nnaan；（2）由题得24nnaa.*nN，再对n分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列na的通项公式；（3）令1211111.121nfnnaaa*nN，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式3322aa即得解.第 14 页 共 15 页【详解】（1）证明：2*12nnSnanN，211112nnSnanN由得22*11111111212222nnnnnnSSnananaanN，*142nnaannN.（2）*142nnaannN2146nnaannN，得24nnaa.*nN从而数列na的奇数项依次成等差数列，且首项为12a，公差为4；数列na的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a，公差为4.在中令1n得211112Sa，又11Sa，1111122aaa.在中令1n得2242a，24a.当*21nkkN时，12nk，21141422nkaaakkn；当2nk*kN时，2nk，224142nkaaakkn；综上所述，*2nan nN.（3）令1211111.121nfnnaaa*nN，则0fn且2211212312348311484212221nf nnnnnnfnannnnn1fnfn，fn单调递减，max312fnf.第 15 页 共 15 页不等式2121112311.1221naaaaan对一切正整数n都成立等价于32fnaa对一切正整数n都成立，等价于max32fnaa，即3322aa.223302aaa，即3230aaa，解之得3a，或302a.综上所述，存在实数a的适合题意，a的取值范围是3,03,2.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.