2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(一)数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 23 页2020 届百校高考百日冲刺金卷全国卷数学（理）试题一、单选题1 已知集合21,5,100ABx xmx，若5AB，则AB（）A1,3,5B1,2,5C1,2,5D1,3,5【答案】B【解析】由题意，5是方程2100 xmx的解，可得3m，求出集合B，即得AB.【详解】5AB，5是方程2100 xmx的解，255100m，3m.解方程23100 xx，得5x或2x，5,2B.故1,2,5AB.故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2若m为实数，且复数325zmii为纯虚数，则m（）A65B65C152D152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0 的复数是纯虚数，可得m的值.【详解】依题意3252561521556zmiimmiimmi为纯虚数，故2150560mm，则152m.故选：C.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100 人，900 人，2000 人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随第 2 页 共 23 页机抽取了60 人进行调查，则被抽取的高级教师有（）A2 人B 18 人C40 人D36 人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案；【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20，则随机抽取60 人，高级教师有9601830人.故选：B.【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4已知圆C过点4,6,2,2,5,5，点,M N在圆C上，则CMN面积的最大值为（）A100B 25C50D252【答案】D【解析】设圆C的方程为220 xyDxEyF，将4,6,2,2,5,5代入，求出圆C的方程，即可求出CMN面积的最大值.【详解】设圆C的方程为220 xyDxEyF，将4,6,2,2,5,5代入可得，52460822050550DEFDEFDEF，解得2,4,20DEF.故圆C的一般方程为2224200 xyxy，即221225xy，故CMN的面积11125sin5 5sin55 12222SCMCNMCNMCN.CMN 面积的最大值为252.故选：D.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5执行如图所示的程序框图，若输入x的值为 256，则输出x的值为（）第 3 页 共 23 页A8B 3C2log 3D22loglog 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案；【详解】运行该程序，第一次，8y，2n，8x；第二次，3y，3n，3x；第三次，2log 3y，4n，2log 3x；第四次，22loglog 3y，5n，22loglog 3x；第五次，22loglog 322log 3y，6n，2log 3x；第六次，22loglog 3y，7n，22loglog 3x；第七次22loglog 322log 3y，8n，2log 3x，此时输出x的值为2log 3.故选：C.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6 九章算术（卷第五）商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，长 7 丈；下底宽8 尺，长 4 丈，深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（）（注：1 丈10尺.）第 4 页 共 23 页A45000 立方尺B 52000 立方尺C63000 立方尺D72000 立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到112AA MNEAMNDPQDPQFDBCGHADFEVVVVV，再利用体积公式计算，即可得到答案.【详解】进行分割如图所示，面AEFD面1111A B C D，ANEF，DQEF，11AMA D，11DPA D，连结,PQ MN，面/AEFD面BCGH，故112A A MNEAMNDPQD PQFDBCGHADFEVVVVV11(820)652156 65265 1584032252000立方尺.故选：B.【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7已知等差数列na的前n项和为nS.若954S，45a，则数列1nSn前 2019项的和为（）A20182019B10091010C40362019D20191010【答案】D【解析】求出数列1nSn的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954Sa，解得56a；第 5 页 共 23 页而45a，故1d，则1432aad，故2(1)3222nn nnnSn，2121121nSnnnnn，设1nSn的前n项和为nT，则1111111122 1223341112 1nnTnnnn，故2019220192019201911010T.故选：D.【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.85211232xxx的展开式中2x的系数为（）A296B296C1864D1376【答案】C【解析】写出二项式532x展开式的通项，即可求出2x的系数.【详解】二项式532x展开式的通项为51532rrrrTCx，所以2x的系数为3523252355532221327206410801864CCC.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）第 6 页 共 23 页A1208 28 6B1208 5C1208 24 6D12016 2【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积.【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABDBCDEFGH，如图所示则14416,484242EFGHADEHSS,1146420,6842822DEFCBCFGSS,18432,44 28 22ABGHABDSS，12 24 34 62BCDS,故所求表面积16242028328 24 6S1208 24 6.故选：C.【点睛】第 7 页 共 23 页本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10已知双曲线222210,0 xyabab的右顶点为M，以M为圆心作圆，圆M与直线0bxay交于,A B两点，若60,23AMBOBAB，则双曲线C的离心率为（）A52B72C32D62【答案】B【解析】由60,AMBAMBM，得AMB为正三角形.设圆M的半径为r，由23OBAB，得2rOA.由勾股定理得2223+2rra，解得27ar.再根据点,0M a到直线0bxay的距离为2232abrab，整理可求双曲线C的离心率.【详解】因为60,AMBAMBM，故AMB为正三角形.设圆M的半径为r，则圆心M到直线AB的距离32dr.由23OBAB，得3OBOA，故2rOA.因为OMa，由勾股定理得2223+2rra，解得27ar，又点,0M a到直线0bxay的距离为22332227abarab，化简可得2243ba，故22712cbeaa.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题.11定义在R上函数()f x 的导函数为()fx，且()2()2fxf x，若01f，则不等式22xefx的解集为（）第 8 页 共 23 页A,0B0,C,1D1,【答案】A【解析】令2()2(),xfxg xxRe，可求函数()g x在R上单调递减.由2()2xefx，可得()1g x，从而可求不等式22xefx的解集.【详解】令2()2(),xf xg xxRe，则2()2()4()xfxf xg xe，由()2()2fxf x，得()42()0fxf x，()0g x，函数()g x在R上单调递减.由2()2xef x，可得2()2xf xe，2()21xf xe，即(0)(01,1,)g xgg xg，又函数()g x在R上单调递减，0 x.故不等式2()2xef x的解集为,0.故选：A.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.12 已知数列nan的前n项和为nS，且211(1)niiiiaan，20181S，则1a（）A32B12C52D2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21nnnaannn，对n分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n项和公式可得关于1a的方程，解方程即可得到答案.【详解】依题意，221(1)(1)21nnnaannn，第 9 页 共 23 页故当n为奇数时，12121,21,nnnnaanaan22nnaa，当n为偶数时，12121,21,nnnnaanaan24nnaan，2018122018(122018)1Saaa，即1220182018(12018)11009201912aaa，又122018aaa13520172462018aaaaaaaa12504(1620164)2504)2aa112504)1252(16 20164)aa11210082021a，所以，11009201911210082021a，110092019100820212a10082019201910082021322.故选：A.【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)niiiiaan的灵活运用.二、填空题13已知向量2,3,24,7mmn，则,m n夹角的余弦值为_.【答案】8 6565【解析】求出,n mn，根据cos,m nm nm n即得.【详解】2,3,24,7,13mmnm，第 10 页 共 23 页21,2,52mnmnn，2 1328 65cos,65135m nm nm n.故答案为：8 6565.【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14已知实数,x y满足1121xyxyxy，则3zxy的最小值为 _.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3zxy，可得3yxz，则 z 为直线在y轴上的截距.平移直线3yxz，当直线过可行域内的点0,1A时，3zxy最小，最小值为 1.故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15当120 xxm时，不等式2112xxxx恒成立，则实数m的最大值为 _.【答案】e【解析】设ln()xf xx，由2112lnlnxxxx，得1212lnlnxxxx，得函数ln()xfxx在0,m上为增函数，即求m的最大值.第 11 页 共 23 页【详解】设ln()xf xx，由2112lnlnxxxx，得1212lnlnxxxx，即当120 xxm时，都有12fxfx，函数ln()xf xx在0,m上为增函数，21ln()0 xfxx，0 xe.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16已知函数()sin()f xAx（0A，0）的部分图象如图所示，其中,33M是图象的一个最高点，4,03N是图象与x轴的交点，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为_.【答案】5,93183kk（kZ）【解析】根据图像得到()f x 的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A，4433T，即4T，故12，1()3sin2f xx；第 12 页 共 23 页将,33代入()f x 中，可知12232k，kZ，故23k，kZ；不妨设0k，故函数1()3sin23f xx；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，得到3sin63yx，再向右平移4个单位长度，得到()3sin643g xx33sin63cos 6233xx；令26223kxk（kZ），解得593183kkx（kZ），故函数()g x的单调递增区间为5,93183kk（kZ）.故答案为：5,93183kk（kZ）.【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17在ABC中，4BAC，2AB，172BC，M是线段AC上的一点，且tan2 2AMB.（1）求AM的长度；（2）求BCM的面积.【答案】（1）122AM（2）2【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sinAMB，cos AMB的值，再利用正弦定理求得AM的长度；（2）根据AMBCMB可得sinCMB，再利用正弦定理求得BM，进一步第 13 页 共 23 页利用余弦定理求得CM，最后代入三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）因为sintan2 2cosAMBAMBAMB，且22sincos1AMBAMB，联立两式，解得2 2sin3AMB，1cos3AMB，故sinsin()ABMAMBA2 22124232326，由正弦定理sinsinAMABABMAMB，所以sin12sin2ABABMAMAMB.（2）因为AMBCMB，故1coscos()cos3CMBAMBAMB，所以2 2sin3CMB，在ABM 中，由正弦定理sinsinBMABAAMB，故sin3sin2ABABMAMB，在BCM中，由余弦定理2222cosBCBMCMBMCMCMB，得21793124423CMCM，解得2CM或1CM（舍去）.所以BCM的面积1132 2sin222223SBM CMCMB.【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18如图所示，在三棱锥SBCD中，平面SBD平面BCD，A是线段SD上的点，SBD为等边三角形，30BCD，24CDDB.第 14 页 共 23 页（1）若SAAD，求证：SDCA；（2）若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为4 19565，求AD的长.【答案】（1）见解析（2）12AD或32.【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC 平面SBD，从而推出BCSD，再证明BASD，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直；（2）以 B 为坐标原点，BC，BD所在直线为x轴，y轴，过点 B 作平面BCD的垂线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DADS，平面SCD的一个法向量(1,3,1)m，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD，在BCD中，4CD，30BCD，由余弦定理可求得，2 3BC，222CDBDBC，即BCBD，又平面SBD平面BCD，平面SBD平面BCDBD，BC平面BCD，BC 平面SBDBCSD，等边SBD中，SAAD，则BASD，且BCBAB，SD平面BCA，SDCA.（2）以 B 为坐标原点，BC，BD所在直线为x轴，y轴，过点 B 作平面BCD的垂线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出第 15 页 共 23 页则(0,0,0)B，(23,0,0)C，(0,2,0)D，(0,1,3)S，故(2 3,2,0)CD，(0,1,3)SD，设平面SCD的一个法向量为(,)mx y z，则0,0,m CDm SD即2 320,30,xyyz取1x，则3y，1z，所以(1,3,1)m，设(0,3),(01)DADS，故(0,2,3)A，则(0,2,3)BA，故|sincos,|m BAm BAmBA22|2 333|4 195655(2)3，解得14或34，则12AD或32.【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2 分，多选题答对得3 分，无论单选题还是多选题答错得0 分；每名参赛的消费者至多答题3 次，答题过程中得到3 分或 3 分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500 名第 16 页 共 23 页消费者中作出调研，所得结果如下所示：男性消费者女性消费者选择方案一15080选择方案二150120（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n adbcKab cdac bd，nabcd.2P Kk0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（）见解析，3.05（）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与 6.635 比较大小，即可得到结论；（2）（）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：男性消费者女性消费者总计选择方案一15080230选择方案二150120270总计300200500第 17 页 共 23 页22500(150 12015080)4.8312302703002006.635K，故没有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（）X的所有可能取值为0，2，3，4，则1111(0)455100P X，1148(2)2455100P X，375(3)4100P X，14416(4)455100P X，故X的分布列为：X0234P110081007510016100所以187516305()02343.05100100100100100E X.（）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100PP X，小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000PP X，因为21PP，所以小明选择方案一更有可能获得奖品.【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20已知椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为12,F F.（）若124PFPF，求点 P 到点1,02M距离的最大值；第 18 页 共 23 页（）若过点4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C分别交于,E F两点，点0,0,ABAyBy分别在直线22,F E F F上，比较22,F AF B的大小关系，并说明理由.【答案】（）最大值52；（）22F AF B，见解析.【解析】（）根据122PFPFa，得点 P 在椭圆C上.设点00,P xy，则2200143xy，可得220002,2113,44PMxxx，可求PM最大值；（）设直线EF的方程为4yk x，1122,E x yF xy（11x且21x）.把直线EF的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AFBFkk，可得22OF AOF B，即得线段22,F AF B的大小关系.【详解】（）依题意，点P 在椭圆C上.设点00,P xy，则2200143xy，故22222220000000011311319322444444PMxyxxxxxx，其中02,2x，故当02x时，2max254PM，PM的最大值为52.（）设直线EF的方程为4yk x，1122,E x yF xy（11x且21x）.由224143yk xxy，得2222433264120kxk xk.依题意22223244364120kkk，即2104k，第 19 页 共 23 页则212221223243641243kxxkkx xk.因为2222121211AFBFEFFFyykkkkxx1212121212258441111kx xxxk xk xxxxx2222126412322584343011kkkkkxx所以直线2AF的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF AOF B.因为2OFAB，所以22F AF B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21已知函数2()lnf xxmx（）若12m，证明：函数()f x 在区间2,3上有且仅有1 个零点；（）若关于x的不等式22()f xm在1,2上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（）见解析；（）2,2.【解析】（）先判断函数()f x 在区间2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（）令()2()g xf x，由题意只需2min)1,2(,g xmx.对m分类讨论即求.【详解】（）证明：函数()f x 的定义域为0,.当12m时，22()ln6ln2mf xxxxx，则2622()2333fxxxxxxxx，当2,3x时，()0fx，函数()f x 在2,3上单调递增，第 20 页 共 23 页又2346ln 296ln 30ff，故函数()f x 在2,3上有且仅有1 个零点.（）令2()2()2lng xf xxmx，则24()4,1,2mxmg xxxxx；当16m时，()0g x对1,2x恒成立，()g x在1,2上单调递减，2min()(2)8ln 2g xgmm，又16m，不等式无解，m；当4m时，()0gx对1,2x恒成立，()g x在1,2上单调递增，2min()(1)2g xgm，又4m，22m；当16m4时，令()0g x，得1,22mx，当12mx时，()0g x；当22mx时，()0g x，()g x在1,2m上单调递减，在,22m上单调递增，2minln2224mmmmg xgm，11ln242mm；令4mt14t，则114ln22tt，易知14ln2ytt在1,4t上单调递增，则14ln2tt4，从而114ln22tt不可能成立，舍去.综上所述，实数m的取值范围为2,2.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3 5 cos33 5sinxy（为参数）.第 21 页 共 23 页以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为6cos.（）求曲线1C的极坐标方程以及曲线2C的直角坐标方程；（）若曲线12,C C交于,M N两点，求直线MN的极坐标方程以及,M N的极坐标（要求写出的极径非负，极角在0,2上）.【答案】（）26 sin360；2260 xyx；（）极坐标方程为cos3 24；,M N的极坐标为73 2,6,04MN或76,0,3 2,4MN.【解析】（）先把曲线1C的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos得26cos，即得曲线2C的直角坐标方程；（）由曲线12,C C的直角坐标方程求出直线MN的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（）依题意，曲线221:345Cxy，故22636xyy即曲线1C的极坐标方程为26sin360；曲线2C:26cos，即2260 xyx，则曲线2C的直角坐标方程为2260 xyx.（）联立222263660 xyyxyx，两式相减可得6xy，即cossin6，故2cos64，即直线MN的极坐标方程为cos3 24；联立22660 xyxyx故29180 xx，第 22 页 共 23 页解得33xy或60 xy故,M N的极坐标为73 2,6,04MN或76,0,3 2,4MN【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23已知函数()324f xxx（1）求不等式()8fx的解集；（2）若关于x的不等式2()3f xmxx的解集为R，求实数m的取值范围.【答案】（1）,13,；（2）3,.【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224mxx恒成立，求解2()24g xxx的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248xx当3x时，原式化为3428xx，故73x，解得3x；当32x时，原式化为3248xx故3x，解得3x；综上所述，不等式()8f x的解集为,13,（2）依题意，23243xxmxx即224mxx224mxx对xR恒成立令2()24g xxx222213,224,224,215,2xxxxxxxxxxmax()(1)3,3g xgm故实数m的取值范围是3,【点睛】第 23 页 共 23 页此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.