【中考12】江苏省苏州市中考数学试题分类解析专题9三角形.pdf

【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形1/17 2001-2012 年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12 专题）专题 9：三角形一、选择题1.（2001 江苏苏州3 分）已知等腰三角形的一腰长为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为【】A13 B14 C15 D16【答案】D。【考点】等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形的性质，可以推出另一条腰长，即可得周长：624=16。故选 D。2.（2001 江苏苏州3 分）已知 ABC中，C=90，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 c=3b，则 cosA=【】A23 B223 C13 D103【答案】C。【考点】锐角三角函数定义。【分析】由已知条件，根据锐角三角函数定义直接求解即可：在ABC中，C=90，c=3b，cosA=ACb1=AB3b3。故选 C。3.（2001 江苏苏州3 分）如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是 ABC 的边 BC、CA、AB的三等分点，若ABC的周长为L，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为【】A13L B3L C2L D23L【答案】D。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】点 A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是 ABC 的边 BC、CA、AB的三等分点，ABC AC1B2，ABC C2BA1，ABC B1A2C。C1B2：BC=1：3，C2A1：AC=1：3，B1A2：AB=1：3。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形2/17 六边形A1A2B1B2C1C2的周长=23（AB+BC+CA）。ABC的周长为 L，六边形A1A2B1B2C1C2 的周长=23L。故选择D。4.（江苏省苏州市2002 年 3 分）如图，ABC中，C=90，BC=2，AB=3，则下列结论中正确的是【】A.sinA53 B.cosA23 C.sinA23D.tanA52【答案】C。【考点】锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可：ABC中，C=90，BC=2，AB=3，2222ACABBC325。根据锐角三角函数的定义，得BC2AC5BC22 5sinAcosAtanAAB3AB3AC55；。C 选项正确，其余选项。故选C。5.（江苏省苏州市2003 年 3 分）如图，ABC 中，03C90sinA=5，则 BC：AC=【】A.3：4 B.4：3 C.3：5 D.4：5【答案】A。【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】根据3sinA=5设出两边长，利用勾股定理求出第三边长，从而可求出BC：AC：3sinA=5，设 BC=3x，AB=5x，则 AC=4x。BC：AC=ab=3x：4x=3：4。故选 A。6.（江苏省2009 年 3 分）如图，给出下列四组条件：ABDEBCEFACDF，；ABDEBEBCEF，；【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形3/17 BEBCEFCF，；ABDEACDFBE，其中，能使ABCDEF的条件共有【】A1 组B2 组C3 组D4 组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：ABDEBCEFACDF，可用“SSS”判定ABCDEF；ABDEBEBCEF，可用“SAS”判定ABCDEF；BEBCEFCF，可用“ASA”判定ABCDEF；ABDEACDFBE，是“SSA”，不能判定ABCDEF；因此能使ABCDEF的条件共有3 组。故选 C。7.（江苏省苏州市2010 年 3 分）如图，在ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上若BDCD，BCDE，2DE，则AB的长度是【】A4 B5 C6 D7【答案】A。【考点】平行线的判定，三角形中位线定理。【分析】由BCDE，根据同位角相等两直线平行的判定，可得/ABDE，又BDCD，所以DE是ABC的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质得AB的长度：=24ABDE。故选 A。8.（江苏省苏州市2011 年 3 分）如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD的中点。若EF2，BC 5，CD 3，则 tan C 等于【】A 34 B43 C35 D45【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形4/17【答案】B。【考点】三角形中位线定理,勾股定理逆定理,锐角三角函数定义。【分析】连接 BD,在ABD中，E、F 分别是 AB、AD的中点，且EF2，BD 4。在BDC中，BD=4，BC5，CD 3，222BCBDCD。BDC是直角三角形。4tanCCD3。故选 B。二、填空题1.（江苏省苏州市2002 年 2 分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的周长比为 【答案】3：2。【考点】相似三角形的性质。【分析】根据相似三角形的性质得：两个相似三角形的周长比等于它们的相似比，故它们的周长比为3：2。2.（江苏省苏州市2003 年 2 分）如图，ABC中，D、E分别在 AB、AC上，DE/BC，若 AD：AB=1：2，则ADEABCSS：。【答案】1：4。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】在ABC中，DE BC，ADE ABC。又AD：AB=1：2，ADEABCSS：1：4。3.（江苏省苏州市2003 年 2 分）如图，已知 1=2，若再增加一个条件就能使结论“AB DE=AD BC”成立，则这个条件可以是 _。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形5/17【答案】B=D（答案不唯一）。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】要使 AB?DE=AD?BC 成立，只要ABBCADDE，从而只要ABC ADE 即可，在这两三角形中，由 1=2可知B AC=DAE，还需的条件可以是 B=D或C=AED（答案不唯一）。4.（江苏省苏州市2004 年 3 分）如图，CD是 RtABC斜边 AB上的中线，若CD=4，则 AB=。【答案】8。【考点】直角三角形斜边上的中线的性质。【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质直接求解：AB=2CD=8。5.（江苏省苏州市2004 年 3 分）若等腰三角形的腰长为4，底边长为2，则其周长为 【答案】10。【考点】等腰三角形的性质。【分析】根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其周长：周长=4+4+2=10。6.（江苏省苏州市2005 年 3 分）如图，等腰 ABC的顶角为120，腰长为 10，则底边上的高AD=。【答案】5。【考点】等腰三角形的性质，解直角三角形，含30角的直角三角形的性质【分析】先求出底角等于30，再根据30角的直角三角形的性质求解：如图 BAC=120，AB=AC，B=12（180120）=30。AD=12AB=5。7.（江苏省苏州市2011 年 3 分）如图，已知 ABC 是面积为3的等边三角形，ABC ADE，AB【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形6/17 2AD，BAD 45，AC与 DE相交于点F，则 AEF的面积等于 （结果保留根号）【答案】334。【考点】相似三角形的性质等边三角形的性质,特殊角的三角函数。【分析】过点 C作 CG，G是垂足，ABC 是等边三角形，CG 3AB2。又SABC3，即13ABAB=322，AB2。又AB 2AD，AD 1。又 ABC ADE，ADE 是等边三角形。过点 F 作 FH AE，H是垂足，BAD 45，BAC EAD 60，EAF 45。AFH是等腰直角三角形。设 AH FHh，在 RtFHE中E60，EH1h，FHh，0FH3tanEtan60EH113hhh。AEF1333S12413。三、解答题1.（2001 江苏苏州6 分）已知小山的高为h，为了测得小山顶上铁塔AB的高 x，在平地上选择一点P，在 P点处测得B点的仰角为，A点的仰角为，（见表中测量目标图）（1）试用、和 h 的关系式表示铁塔高x；（2）在下表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中、的数值；（3）根据表中数据求出铁塔高x 的值（精确到0.01m）。题目测量山顶铁塔的高【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形7/17 测量目标已知数据山高 BC h=153.48 测得数据测量项目第一次第二次平均值仰角 29172919=仰角 34013357=2.（江苏省苏州市2002 年 5 分）燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B为 550，外口宽AD为180mm，燕尾槽的深度为70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）。【答案】解：过 A点作 AE BC，垂足为E，【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形8/17 在RABEt中，AEtanBBE，AE70BE49.0tantan55B，BC=2BE AD 249.0180278。答：里口宽BC约为 278mm。【考点】解直角三角形的应用【分析】过 A点作 AE BC，垂足为E，则 BC=2BE AD，在RABEtE中，根据三角函数即可求得BE的长，从而求解。3.（江苏省苏州市2003 年 5 分）苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”。如图，BC是过塔底中心B的铅垂线。AC是塔顶 A偏离 BC的距离。据测量，AC约为 2.34 米，倾角 ABC约为 248，求虎丘塔塔身AB的长度（精确到0.1 米）【答案】解：在 RtABC中，sin ABC=ACAB，AB=AC sin ABC=2.34 sin2 4847.9。答：虎丘塔塔身AB长约为 47.9m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】在 RtABC中已知 ABC和 AC就可以应用锐角三角函数求出AB。4.（江苏省苏州市2004 年 6 分）如图，苏州某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm,深为 30cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角 BCA 设计为 12，求 AC的长度。（精确到 1 cm）【答案】解：过点B作 BD AC于 D，由题意可得：BD=60cm，AD=60cm，【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形9/17 在 RtBDC中：tan12=BD CD，CD=BD tan12=600.2126282.2（cm）。AC=CD-AD=282.2-60=222.2222（cm）。答：AC的长度约为222 cm。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】过点 B作 BD AC于 D，由题意可得，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m；在 RtBCD中，用正切函数即可求得CD的长，从而由AC=CD AD求出 AC的长。5.（江苏省苏州市2004 年 6 分）已知：如图，正 ABC 的边长为a,D为 AC边上的一个动点，延长AB至 E，使 BE=CD，连结 DE，交 BC于点 P。（1）求证：DP=PE；（2）若 D为 AC的中点，求BP的长。【答案】解：（1）证明：过点D作 DF AB，交 BC于 F。ABC为正三角形，CDF=A=60。CDF为正三角形。DF=CD。又BE=CD，BE=DF。又DF AB，PEB=PDF，PBE=PFD。在DFP和EBP中，PEBPDFBEFDPBEPFD，DFP EBP（ASA）。DP=PE （2）由（1）得 DFP EBP，可得FP=BP。D 为 AC中点，DF ABBF=12BC=12a。BP=12BF=14a。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理。【分析】（1）过点 D作 DF AB，构造三角形全等，可证得CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由 ASA证得DFP EBP，从而得DP=EP。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形10/17（2）若 D为 AC的中点，则 DF是ABC 的中位线，有 BF=12BC=12a，点 P是 BF的中点，得到 BP=12BF=14a。6.（江苏省苏州市2005 年 6 分）为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.为标明限高，请你根据该图计算CE.【答案】解：在 ABD中，ABD 90，BAD 18。tan BAD BDBA。BD9tan18。CD BD BC 9tan18 0.5。在ABD中，CDE ABD BAD 72。CEED，sin CDE CECD。CECD sin CDE(9tan180.5)sin72 2.3（m）。答：CE为 2.3 m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】应用锐角三角函数定义解直角三角形ABD和 CDE 即可。7.（江苏省苏州市2005 年 6 分）如图一，等边 ABC 中，D是 AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AE BC；（2）如图二，将（1）中等边 ABC 的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作 EDC改成相似于 ABC。请问：是否仍有AE BC？证明你的结论。【答案】解：（1）证明：ABC 和EDC都是等边三角形，ECD=ACB=600。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形11/17 ECD ACD=ACB ACD，即 ACE=BCD。又AC=BC，EC=DC，ACE BCD（SAS）。EAC=B=600。EAC=ACB。AE BC。（2）仍有 AE BC，证明如下：ABC EDC，ECD=ACB，BCAC=DCEC。ECD ACD=ACB ACD，即 ACE=BCD。且BCDC=ACEC。ACE BCD。EAC=B。在 ABC中，AB=AC，B=ACB。EAC=ACB。AE BC。【考点】等边和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。【分析】（1）由 ABC和EDC都是等边三角形，通过ACE 和BCD全等的判定，得到 EAC=B，同时，由等边三角形内角相等的性质得到EAC=ACB，从而根据内错角相等，两直线平行的判定，得到AE BC的结论。（2）与（1）仿，不过将证全等变为证相似。8.（江苏省苏州市2006 年 6 分）如图，在一个坡角为15 的斜坡上有一棵树，高为AB 当太阳光与水平线成 500 时测得该树在斜坡上的树影BC的长为 7m，,求树高(精确到 0.1m)【答案】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则 AD CD。BCD=150，ACD=500。在 RtCDB中，CD=7 cosl50，BD=7 sinl50。在 RtCDA中，AD=CD tan500=7cosl50tan500 AB=AD BD=(7cosl50tan500一 7sin150)=7(cosl50tan500一 sinl50)6.2(m)。答：树高约为6.2m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形12/17【分析】构造直角三角形CDB和 CDA，过点 C作水平线与AB的延长线交于点D，应用锐角三角函数定义解这两个直角三角形即可求。9.（江苏省苏州市2007 年 6 分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与 FG垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和 BC(杆子的底端分别为D，C)，且 DAB=66.5(1)求点 D与点 C的高度差 DH；(2)求所用不锈钢材料的总长度l(即 AD+AB+BC，结果精确到0.1 米)(参考数据：sin66.5 0.92，cos66.5 0.40，tan66.5 2.30)【答案】解：(1)DH=1.6 34=l.2，点 D与点 C的高度差 DH为 12 米。(2)过 B作 BM AH于 M，则四边形BCHM 是矩形。MH=BC=1。AM=AH MH=2.2l=l.2。在 RtAMB中，A=66.5AB=AM1.23.0cos66.50.40。l=AD+AB+BC1+3.0+1=5.0。答：点 D与点 C的高度差DH为 l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0 米。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】(1)由看台是四级高度相等的小台阶和看台高为l.6米，即可求出点D与点 C的高度差DH。（2）过 B作 BM AH于 M，构造直角三角形AMB，应用锐角三角函数定义即可求解。10.（江苏省苏州市2007 年 7 分）如图，已知AD与 BC相交于 E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CH AB于 H，CH交 AD于 F(1)求证：CD AB；(2)求证：BDE ACE；(3)若 O为 AB中点，求证：OF=12BE【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形13/17 11.（江苏省苏州市2008 年 6 分）如图，四边形 ABCD 的对角线AC与 BD相交于 O点，1=2，3=4求证：(1)ABC ADC；(2)BO=DO【答案】证明：（1）在 ABC和ADC中，【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形14/17 12ACAC34，ABC ADC（ASA）。（2）ABC ADC，AB=AD。又 1=2，AO=AO，ABO ADO。BO=DO。【考点】全等三角形的判定和性质【分析】由已知用AAS判定 ABC ADC，得出AB=AD，再利用 SAS判定 ABO ADO，从而得出BO=DO。12.（江苏省2009 年 10 分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东 60方向且与A相距 10km处现有一艘轮船从位于点B南偏西 76方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A的正北方向的D处（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）（参考数据：31.73，sin760.97，cos760.24，tan764.01）【答案】解：（1）设 AB与l交于点 O。在RtAOD中，OAD=600，AD=2 ADOA4cos60。又 AB=10，OB=AB OA=6。在RtBOE中，OBE=OAD=600，BEOB cos603（km）。观测点B到航线l的距离为3km。（2）在RtAOD中，ODAD tan602 3，在RtBOE中，OEBE tan603 3，DE=OD OE=5 3。在RtCBE中，CBE=760，BE=3，CEBE tanCBE3tan76。【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形15/17 CDCEDE3tan 765 33.38（km）。15minh12，CD12CD12 3.3840.6112（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解RtAOD和RtBOE即可求得观测点B到航线l的距离。（2）解RtAOD、RtBOE和RtCBE，求得 CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。13.（江苏省苏州市2010 年 6 分）如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE(1)求证：ACDBCE；(2)若D=50，求B的度数【答案】解：(1)证明：点C是线段AB的中点，ACBC，又CD平分ACE，CE平分BCD，1=2，2=3。1=3。在ACD和BCE中，13CDCEACBC，ACDBCE SAS。(2)1+2+3=180，1=2=3=60。ACDBCE，ED50。180370BE。【考点】三角形全等的判定性质，三角形的内角和定理，平角的定义。【分析】(1)根据 SAS即可判定两个三角形全等。（2）利用全等三角形的性质求出1与3的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角。14.（江苏省苏州市2011 年 5 分）如图，小明在大楼30 米高（即 PH 30 米）的窗口 P处进行观测，测得【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形16/17 山坡上 A处的俯角为15，山脚 B处的俯角为60，已知该山坡的坡度i（即 tan ABC）为 1：3，点 P、H、B、C、A在同一个平面上点H、B、C在同一条直线上，且PH HC (1)山坡坡角（即 ABC）的度数等于 度；(2)求 A、B两点间的距离（结果精确到0.1 米，参考数据：31.732）【答案】解：(1)30。(2)设过点 P的水平线为PQ，则由题意得：QPA 15，QPB 60，PQ HC，PBHQPB 60，APB QPB QPA 45。又13tanABC33，ABC 30。ABP 180 ABC PBH 90。在 RtPBC中，PB 0PH30203sinPBHsin 60。在 RtPBA中，AB PB 20 334.6。答：A、B两点间的距离约34.6 米。【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数,三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定。【分析】(1)由 tan ABC1333，知 ABC=300。(2)欲求 A、B两点间的距离,由已知可求得 PBA 是等腰直角三角形,从而知 AB=PB。因此在 RtPBC中应用三角函数求解即可。15.（2012 江苏苏州8 分）如图，已知斜坡AB长 60 米，坡角（即 BAC）为30，BC AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台 DE和一条新的斜坡BE.（请将下面 2 小题的结果都精确到0.1 米，参考数据）.若修建的斜坡BE的坡角(即BAC)不大于45,则平台DE的长最多为 米；一座建筑物GH距离坡脚 A点 27 米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即【中考 12 年】江苏省苏州市2001-2012 年中考数学试题分类解析专题 9 三角形17/17 HDM)为 30.点 B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG CG，问建筑物GH高为多少米？【答案】解：（1）11.0。（2）过点 D作 DP AC，垂足为P。在 RtDPA中，DP=12AD=1230=15，PA=AD?cos30=303=15 32。在矩形 DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=PAAG=15 3+27。在 RtDMH 中，HM=DM?tan30=（15 3+27）315+933，GH=HM MG=15+15+9 345.6。答：建筑物GH高为 45.6 米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意得出，BEF 最大为 45，当 BEF=45 时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：修建的斜坡BE的坡角（即 BEF）不大于45，BEF 最大为 45，当BEF=45 时，EF最短，此时ED最长。DAC=BDF=30，AD=BD=30，BF=EF=12BD=15，DF=15 3。DE=DF EF=15（31）11.0。（2）利用在RtDPA中，DP=12AD，以及 PA=AD?cos30，从而得出DM的长，利用HM=DM?tan30得出即可。