2020届福建省泉州市2017级高三下学期3月线上考试数学(理)试卷参考答案.pdf

线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 1页共 14页泉州市 2020 届高三毕业班适应性线上测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分（思想方法分），但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、单项选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B2C3 B4A5 D6B7 C8 A9B10 C1【解析】(3)0=03Ax x xxx，2Bx x，2Bx xRe,则()032=02IIABxxx xxxRe，故答案选B.2【解析】复数222(1i)2i-4+2i422 5,|()()12i125555zzi，则复数z的模为2 55，故答案选C.3【解析】设iiiA xy（，）,则Viiiyx，即直线iOA的斜率，由图可知，直线2OA的斜率最小，即2V最小；根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应312,AAA在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为312,BB B，由图可知2A到2B经历的时间最长，所以123T,T,T中最大的是2T.故答案选B4【解析】由1a，2a，4a成等比数列得2214=aa a即2111=(9)（+3）aa a解得31a，101109=101034531652Sad.故答案选A.线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 2页共 14页5【解析】法一：552121-1xx，通项551T21(1)rrrrCx，故当1r时，55 14111 1T21(1)801Cxx，所以4-80a法二：令1tx,则1xt，21=21xt，5523450123452121xtaa ta ta ta ta t，55 11141 1T2(1)80Ctt，所以4-80a6【解析】依题意可得，12)2()0(,8)2()0(ffff，故切线为：812xy，选 B7【解析】由题意xf在R上是递增函数，所以bbb23200，解得01b.8【解析】如图所示：正方体1111ABCDA BC D的边长为3，,M N分别为1,AB DD的三等分点，且11NDBM.三棱锥1NB MB即为所求三棱锥，113(1 3)3322V,故选 A.9【解析】选B.因为5sinsin2cAC，由正弦定理得5,52accac，又因为04)(22bca，所以642222acbca，代入)2(41222222bcacaS=)35(4122=2.10【解析】如图设11,A x y，22,B xy，线段AB的中点,MMMxy，22112222222211xyabxyab，两式相减得：2121221212yyxxbxxayy2218MMxbay，2020届福建省泉州市2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 3页共 14页228MMbyxa 设33,C xy，44,D xy，线段CD的中点,NNN xy，同理可得：228NNbyxa ABCDkk/AB CD，易知,P M N三点共线，2211NMMNyyxx，将代入得：2222882211MNMNbbxxaaxx，即22410MNbxxa，222244abca，即2245ca，2252cea，故选C.二、多项选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。11BD12ABD11 题选项12 题选项可得分数全部正确BDABD5 分部分正确B、DA、B、D、A B、A D、BD3 分11【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP在)s(t内所转过的角度为t6，则66POtx.则点P的纵坐标为)66(sin6ty，点P距 离 水 面 的 高 度 关 于 时 间)s(t的 函 数3)66(sin6)(ttf；3333)62(sin6)3(f，选项 A错误；33)66(sin6)1(f，2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 4页共 14页33)667(sin6)7(f，)7()1(ff，选项 B正确；由6)(tf得，21)66(sint解 得t212,612()kkkN，选 项C 错 误；)8()4()(tftftf3)66(sin6t3)26(sin6t3)676(sin6t展开整理得9)8()4()(tftftf为定值，选项D正确；故答案为BD.12.【解析】因为xf是奇函数，所以xfxf，又xfxf11，所以xfxfxf2.所以xfxfxf24，可得函数xf的周期为4，选项 A 正确；0022fff，即022fff，又因为函数周期为4，所以当n为偶数时，0nf，选项 B 正确；因为111ff，周期4T，所以22222(1)2(2)3(3)6(6)1-3+5=17ffff，所以选项 C是错的；222222222222222(1)2(2)3(3)42(42)1-3+5-7+9+4n+1)15397414112 3579414123411212448812fffnfnnnnnnnnnnn（所以选项 D 是正确的.故选 ABD.三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置。13851491524yx，22（本小题第一空2 分，第二空3 分.）163413【解析】a-b=-2-1（，），a+b=3 2（，），所以，83-2+2-1=0=5（）（），.14【解析】由2116nnnnaaaa可得：221160nnnnaaaa，即11(3)(2)0nnnnaaaa，2020届福建省泉州市2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 5页共 14页因为0na，所以1=3nnaa，所以na是首项为10a，公比为3 的等比数列，所以4725aaaa22225259a qa qqaa.15【解析】由己知可得2p，所以C的方程为24yx；由对称性，不妨设00.2)P xx（，因为抛物线2:4Cyx的焦点(1,0)F，(1,0)A,0|1PFx，2220000|(1)(2)(1)4PAxxxx02000201|12=|24(1)41(1)xPFPAxxxx，当且仅当01x时取等号，|PFPA取最小值22.16【解析】解法一：由已知易得PAB是直角三角形，过P作PDAB，垂足为D，易得3 32PD，92AD，32BD.连接CD，因为平面PAB平面ABC，由面面垂直的性质定理，可得PD平面ABC，所以PCD，3 3tan2PDCDCD，可知当CD取最小值时，tan最大.设CDy，CAx，则10CBx.因为180CDACDB，所以coscos0CDACDB，即2222229310220932222yxyxyy，所以215122yx，当152x时，y取到最小值2 3，即CD的最小值为2 3.所以tan的最大值为3 33422 3.解法二：由已知易得PAB是直角三角形，过P作PDAB，垂足为D，易得3 32PD，连接CD，因为平面PAB平面ABC，由面面垂直的性质定理，可得PD平面ABC，所以PCD，3 3tan2PDCDCD，可知当CD取最小值时，tan最大.2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 6页共 14页由点C到A，B两点的距离和为10，可知点C的轨迹是以,A B为焦点的椭圆E.设AB的中点为O，以O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.由6AB，可得椭圆E的方程为2212516xy，点C在椭圆E上，设00,C xy，则220012516xy.由32BD，得3,02D.则2222200000009337316 13552225254xxCDxyxxx.20925()12256CDx，可得当0256x时，CD取得最小值，最小值为2 3.所以tan的最大值为3 33422 3.四、解答题：共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注满分12 分解析：（1）由cos(sinsin)sin(2coscos)得cos sincossin2sinsincossincos.1 分整理得cos sin+sincoscossin+sincos2sin（）（），即得sin+sin+2sin（）（）.3 分因为在ABC中，所以sin+sin=sin（）（）,sin+sin（），2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 7页共 14页所以sinsin2sin.4 分由正弦定理得ABCBCA2.5 分（2）因为CBCA，ABCBCA2，所以ABCBCA，ABC为等边三角形.6 分设ADC，），（0，则ABCACDABCDSSS四边形060sin21sin212ACDCDA2AC43sin41.8 分在ADC中，由余弦定理得ADCDCDADCDAACcos22225cos4.9 分所以)cos45(43sin41ABCDS四边形1635cos3sin41）（15 3sin2316（）.10 分因为0，所以3233，所以1)3sin(23，得311sin()4232.11 分所以315 385 3sin()16231616.因此，四边形ABCD面积的取值范围为3 85 31616，.12 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 8页共 14页18本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注解析：解法一：（1）在正三棱柱111ABCA B C中，因为1AA平面ABC，BD平面ABC，所以1AABD1 分在等边ABC中，D是AC的中点，所以BDAC2 分又1AAACA，所以BD平面11ACC A3 分又BD平面1BC D，所以平面1BC D平面11ACC A4 分（2）取1AA的中点M，11A B的中点N，连接MN，则点F的轨迹就是线段MN7 分（回答正确2 分，作图 1 分）由图可知当点F与点N重合时，二面角1CBDF的余弦值取到最大值8 分以DA、DB所在的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系Dxyz（如图所示）则(0,0,0)D，(0,2 3,0)B，1(2,0,4)C，()(1,3,4)N F，(0,2 3,0)DB，1(2,0,4)DC，(1,3,4)DF9 分设平面1DBC的一个法向量为111()mx,y,z由10,0,DB mDCm得1112 30,240,yxz令12x，解得11z所以(2,0,1)m10 分设平面DBF的一个法向量为222()nx,y,z由0,0,DB nDFn得22222 30,340,yxyz令24x，解得21z所以(4,0,1)n11 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 9页共 14页因此77 85cos,85517m nm nmn故二面角1CBDF的余弦值的最大值为7 858512 分解法二：（1）同解法一4 分（2）取1AA的中点M，11AB的中点N，连接MN，则点F的轨迹就是线段MN7 分（回答正确2 分，作图 1 分）由图可知当点F与点N重合时，二面角1CBDF的余弦值取到最大值8 分连结EN，易得ENBD，所以二面角1CBDF的余弦值的最大值等于二面角1EBDC9 分由（1）得BD平面11ACC A，所以BDDE，1BDDC，所以1EDC为二面角1EBDC的平面角 10 分在1EDC中，13EC，17ED，12 5DC，由余弦定理，得2221111172097 85cos2852172 5EDDCECEDCED DC故二面角1CBDF的余弦值的最大值为7 858512 分19.本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注满分12 分解析：（1）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为1xty，1 分代入22143xy得2234)690tyty（，.2 分设1122(,),(,)A xyB xy，则1226+=34tyyt，1229=34y yt.3 分若2AFFB,则122yy，解得2 55t，.4 分所以，l的方程为5(1)2yx.5 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 10页共 14页（2）由（1）得AB的中点坐标为224334 34ttt（，）.7 分所以2222122212 112(1)|113434ttABtyyttt|=.9 分因为M是PAB的外心,所以M是线段AB的垂直平分线与AP的垂直平分线的交点，AB的垂直平分线为2234()3434tyt xtt令=0y，得21=34xt，即21(,0)34Mt，所以，222133|1|3434tMFtt.10分222212(1)|1234433|334tABttMFt，所以，|ABMF为定值.12 分20.本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，相互独立事件的概率乘法公式等基础知识，游戏公平的原则，考查应用意识等，考查概率思想、分类讨论思想等，导向对数学建模等核心素养的关注.【解析】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6，3283327P X，2132144339P XC，2232125339P XC，3116327P X.所以，随机变量X的分布列如下表所示：X3456P8274929127所以，842134564279927E X；（2）依题意，当198n时，棋子要到第1n站，有两种情况：由第n站跳1站得到，其概率为23nP；由第1n站跳2站得到，其概率为113nP.所以，112133nnnPPP.线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 11页共 14页同时减去nP得1111211119833333nnnnnnnPPPPPPPn；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为9998972133PPP，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813PP.所以10099PP，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.21本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养满分12 分解:(1)xxxexeaxxeaxxf111令xeaxgx.1 分则21xxexgx,当,0,10 xgx当0,0 xgx,所以xg在1,0递减,在，1递增,所以eagxg1min.3 分因为0,1eaa所以,0 xg恒成立,则当10,10,0 xxfxxf时，时所以xf在1,0递增，1递减，所以1x是xf唯一极值点.4 分所以xf只有一个极值点.5 分（2）因为0 x,不等式可化为xexexxaln恒成立,令xexexxxhln,只需xhamin.6 分因为xhxexexxx21ln1,令exxx1ln,则xxxx111当0,1,0,1,0 xxxx,所以x在1,0递增,，1递减.7 分又013122eee,021e,0e.所以x在1,0存在唯一零点0 x,在，1存在唯一零点ex，.8 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 12页共 14页当0,000 xhxxx时，,当0,010 xhxxx时，当0,01xhxex时，当0,0,xhxex，所以xh在ex,100和，上为减函数,在,1,0ex和上为增函数，所以中较小者，与是ehxhxh0min.9 分1eeeh，因为01ln000exxx,所以exex100,所以0 xh0000lnxexexx=00 xex=1ee.11 分综上,1mineexh,所以1eea.所以，满足题意的a的取值范围是1eea.12 分（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程本小题综合考查直线与圆的参数方程、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化、极坐标的几何含义、面积公式、三角恒等变换及三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注满分10 分解：（1）由4xtykt,消去参数t得1l的普通方程4ykx,.1 分设,P x y,由题意得41.ykxyxk，.2分消去k得 C 的普通方程22400 xyxy（）.3 分把222,cosxyx代入上式，0cos42，.4 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 13页共 14页可得 C 的极坐标方程为4cos（0 4，）.5 分（2）由题意可设2121(,(,004),),AB，.6 分1212|sin4 2 coscos2444AOBSOA OBuur uuu r.7 分21cos2sin 24 cossincos42222 2 cos 24，.8 分所以当cos 214，即(Z)4kk时，.9 分AOB的面积取得最大值，其最大值为22 2.10 分23选修 45：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的意义、基本不等式等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象及数学建模等核心素养的关注满分10 分解:（1）当1x时,02a恒成立,此时Ra.1分当1x时,原不等式可等价转化为1232xxxa.2 分令1232xxxxg,则原不等式恒成立，只需xgamin.2 分因为41441232xxxxxxg,.3 分当且仅当232xx或时“=”号成立,.4 分所以4minxg,即4a.4 分综上知，a的最大值4m.5 分（2）由（1）可得22qppq，即421 qp.6 分因为02,01qp所以，.7 分2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案线上市质检数学（理科）参考解答与评分标准第 14页共 14页73212321qpqpqp，.9 分当且仅当21qp，即4,3 qp时“=”成立,.10 分所以qp的最小值为7.10 分说明：令tqp，转化为求函数)1(122ppppt的最小值，或转化为“由关于p的二次方程02)12tptp（有大于 1 的解，求t的最小值”问题，请参照前述解答，酌情相应给分.2020届福建省泉州市 2017级高三下学期 3月线上考试数学（理）试卷参考答案