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    2020届高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.7对数与对数函数(讲)【含答案】.pdf

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    2020届高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.7对数与对数函数(讲)【含答案】.pdf

    专题 2.7 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y ax(a0,且 a 1)与对数函数ylogax(a0,且 a 1)互为反函数.知识点一对数的概念如果 axN(a0,且 a1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlogaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.知识点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:alogaNN;logaabb(a0,且 a1).(2)对数的运算法则如果 a0 且 a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logaMNlogaMlogaN;logaMnnlogaM(nR);logamMnnmlogaM(m,nR,且 m 0).(3)换底公式:logbNlogaNlogab(a,b 均大于零且不等于1).知识点三对数函数及其性质(1)概念:函数ylogax(a0,且 a 1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,).(2)对数函数的图象与性质a1 0a1 时,y0;当 0 x1 时,y1 时,y0;当 0 x0 在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数知识点四反函数指数函数yax(a0,且 a 1)与对数函数ylogax(a0,且 a 1)互为反函数,它们的图象关于直线 yx 对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab1logba;(2)logambnnmlogab.其中 a0,且 a1,b0,且 b1,m,nR.2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0,且 a 1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a,1,函数图象只在第一、四象限.考点一对数的运算【典例 1】(2019 广东中山一中模拟)计算:lg14 lg 25 10012_.【答案】20【解析】原式(lg 22lg 52)10012 lg122 52 10lg 102 10 2 10 20.【方法技巧】1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abN?b logaN(a0,且 a 1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.【变式 1】(2019 河南新乡一中模拟)已知 ab1,若 logablogba52,ab ba,则 a_,b_.【答案】42【解析】设logbat,则 t1,因为 t1t52,所以 t2,则 ab2.又 abba,所以 b2b bb2,即 2b b2,又 ab1,解得 b 2,a4.考点二对数函数图象及其应用【典例 2】(2019 广西桂林十八中模拟)当 0 x12时,4xlogax,则 a 的取值范围是()A.0,22B.22,1C(1,2)D(2,2)【答案】B【解析】易知0a1,函数 y4x与 y logax 的大致图象如图,则由题意可知只需满足loga12412,解得 a22,22a1,故选 B.【方法技巧】(1)识别对数函数图象时,要注意底数a 以 1 为分界:当a 1 时,是增函数;当0a1 时,是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0),且以 y 轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解【变式 2】(2019 四川棠湖中学模拟)设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x1,x2,则()Ax1x20 Bx1x20 Cx1x21 D0 x1x21【答案】D【解析】作出y10 x与 y|lg(x)|的大致图象,如图显然 x10,x20.不妨令 x1 x2,则 x1 1x20,所以 10 x1 lg(x1),10 x2 lg(x2),此时 10 x1 10 x2,即 lg(x1)lg(x2),由此得 lg(x1x2)0,所以 0 x1x21,故选 D.考点三比较对数值的大小【典例 3】【2019 年高考天津文数】已知5log 2a,0.5og2.l0b,0.20.5c,则,a b c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab【答案】A【解析】因为551log 2log52a,0.50.5log0.2log0.252b,10.200.50.50.5c,即112c,所以acb.故选 A.【方法技巧】(1)若对数值同底数,利用对数函数的单调性比较(2)若对数值同真数,利用图象法或转化为同底数进行比较(3)若底数、真数均不同,引入中间量进行比较【变式 3】【2019 年高考全国卷文数】已知0.20.32log 0.220.2abc,则()AabcBacbCcabDbca【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a0.20221,b0.3000.20.21,c即01,c则acb故选 B考点四解简单的对数不等式【典例 4】(2019 山东枣庄八中模拟)设函数 f(x)log2x,x0,log12x,x0.若 f(a)f(a),则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(,1)(1,)C(1,0)(1,)D(,1)(0,1)【答案】C【解析】由题意得a0,log2a log2a或a0,log2a log2 a,解得 a1 或 1a0.故选 C.【方法技巧】解决此类问题时应注意两点:(1)真数大于0;(2)底数 a 的值【变式 4】(2019 广东湛江一中模拟)已知函数f(x)2x,x0 且 a1,设 t(x)3ax,则 t(x)3ax 为减函数,x 0,2时,t(x)的最小值为32a,当 x0,2时,f(x)恒有意义,即 x0,2时,3ax0 恒成立.32a0.a0 且 a1,a 的取值范围是(0,1)1,32.(2)t(x)3ax,a0,函数 t(x)为减函数.f(x)在区间 1,2上为减函数,ylogat 为增函数,a1,x 1,2时,t(x)最小值为 32a,f(x)最大值为f(1)loga(3a),32a0,loga(3a)1,即a32,a32.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间 1,2上为减函数,并且最大值为1.

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